1、第五章 結構剛度矩陣 與荷載向量,計算結構力學,5-1 概述,以圖示框架結構為例，設有n個未知量:,相應的結點荷載向量為:,則結構剛度方程可寫為:,K-稱為結構剛度矩陣(或稱總剛度矩陣),本章討論K的形成及程序設計， 以及P的形成。,5-2 應用能量原理形成 結構剛度矩陣,其中:,結構在外荷載作用下的總勢能可以寫成：,NE是單元數,單元結點位移,整體坐標系中的單元剛度矩陣,NF單元自由度數,N結構未知量總數,C0或1。指明單元結點位移向量是由結構結點位移向量中的哪幾個分量所組成,令:,(5)式反映了結構的離散過程，實際上表明了結構離散化后的變形協調條件。,將(5)式代入(3)式：,結構總勢能為

2、：,于是：,K是由k經過C變換后裝配而成。,由于勢能駐值原理等價于平衡方程，故裝配總剛的有限元集合過程遵循平衡條件。,CNFxN是單元定位向量的增廣寫法：一個單元對應一個Ce，且有：,討 論,例1：,解：給單元結點編號，并寫出各單元 的定位向量：,1,2,由(5)式可寫出各單元的結點位移向量與結構結點位移向量的關系式：,由此可得到各單元的C,如對第單元，可寫出:,即Cij的行號與MW e的行號一致，把 的序號作為C 的列號j，便可由MW e得到C e 。,5-3 按單元定位向量裝 配結構剛度矩陣,MW處理了約束，以及主從關系，無效未知量等特殊結點信息，也是C矩陣的實用(增廣)寫法。,MW是按單

3、元結點編號順序由結點的結構未知量編號順序所組成的向量(列陣)。,單元定位向量可方便地指出單元的各個未知量在結構總體未知量中的對應位置(總體序號)。 由此也就可以確定單元剛度矩陣中的元素在結構剛陣中的位置。,例2：求圖示連續(xù)梁的結構剛度矩陣。,注意以下寫法：,得到結構總剛度矩陣為：,主系數與副系數: 相關未知量： 相關結點： 相關單元：,結構剛度矩陣的組成規(guī)律專有名詞,凡未知量i的相關結點所在單元 稱為末知量i的相關單元。,與未知量i在同一單元的未知量叫做未知量i的相關未知量。若i，j相關，則Kij0若i，j不相關，則Kij=0,未知量i的相關未知量所在結點稱為 未知量i的相關結點。,5-4 形

4、成結構剛度矩陣的 直接剛度法,不是列向量乘行向量,也不是向量的內積(點積),ai與bi不進行任何運算。,2、由單元定位向量的指標并積形成下標矩陣,如果將某個單元的定位向量代入上式，由上節(jié)中的例題可明顯看出H中的元素就表示這個單元的剛度系數在結構剛度矩陣K中的下標。,解：如圖,各單元的定位向量為 ：MW=1 2T MW=2 3T,例3：求圖示連續(xù)梁的單元剛度矩陣在結構剛度矩陣中的下標矩陣。,根據并積定義：,清楚地表明了各單剛系數在總剛中的位置，參考前節(jié)例題,例4：求圖示剛架中第單元的剛度系數對結構剛度矩陣的貢獻。,式中圓括號內的元素就是第單元剛度系數在K中的下標。 式中含零的元素說明單剛中此元素

5、經C夾乘后為零,參考(5-2-9)式,不須疊加,只有H中的元素與結構K中下標一致時才進行疊加。 這樣便可根據單元定位向量的并積作為結構剛度矩陣K的下標直接來裝配結構剛度矩陣。這就是直接剛度法。,上式并積的進一步說明： 單元結點位移的序號為 1 2 3 4 5 6 (I,J) 單元的定位向量為 0 0 0 1 0 2 (L,K) 則意味著：,表示疊加到結構剛陣中去,由此可看出：由MW的并積形成下標矩陣，完全確立了單剛k中的元素在總剛K中位置，從而由數學的角度說明了用MW裝配K的過程。,上述過程的FORTRAN程序模塊可寫成： L=MW(I) K=MW(J) ZK(L,K)=ZK(L,K)+DK(

6、I,J),3、形成K的程序設計框圖,本章新的變量和數組: NAI：EA或EI分組數(截面特性分組數)； DK(I,J)： 單元剛度矩陣，其中I,J(16):單剛的行列號； ZK(L,K)： 結構剛度矩陣,其中L,K(1N):總剛的行列號。,程序設計框圖,4、形成結構剛度K的源程序設計,C THE PROGRAM OF KJEXAM DIMENSION JW ( 3,20 ),J TX (4,20), JH ( 2,20 ), * MW (6), JMH ( 20 ) REA L * 8 CX (20), SY ( 20 ), SL (20),EA ( 5 ), * X (20),Y(20),X

7、SA ( 20,7 ),ZK (50,50), El (5) WRITE(*,*) FINDING THE MW OF EI.EMENTS OPEN( 1, FILE = KJE. DA T ),數據文件名為KJE.DAT,READ( 1,*) NE, NJ,NJT,NAI READ( 1,* ) ( (JH( I,J ),I = 1,2),J =1,NE ) READ( 1,* ) (JTX( I,J),I=1,4),J=1,NJT) READ( 1,* ) (JMH(I),I= 1,NE) READ( l,* ) (EA(I),I= 1,NAI) READ( l,* ) (EI(I),I=

8、1,NAI) READ(1,* ) (X(I),I=1,NJ) READ( l,* ) ( Y(l),I=1, NJ) CALL QJW ( NJ, NJT,JTX,JW,N) DO 10 M= 1,NE CALL QMW ( M,NE,NJ,JH, JW,MW) WRITE( *, 100)M, ( MW(I), I = 1,6),10,CALL DCH ( NE, NJ,JH,X, Y, SL,CX, S Y ) CALL QXS(NE,NAI,JH,JMH,SL, CX,SY,EA, * EI,XSA) CALL KJX 1 ( NE, N, XSA,NJ, JH,JW,ZK ) WRI

9、TE( *,* )THIS IS STRUCTURAL * MATRAIX ZK WRITE(*,50) (ZK(I,J),I= I,N),J= I,N) 100 FORMAT ( 1X, ELEMT, NO = I5,/6 X, MW * =,6I5) 50 FORMAT(9 F9.1 ) STOP END,SUBROUTINE KJX 1 (NE, N, XSA, NJ, JH, JW,ZK ) DIMENSION JH(2,NE),JW(3,NJ ),MW(6) REAL * 8 DK ( 6 6), ZK (50, 50),XSA( NE,7), * XS (7),ZK(50,50)

10、CALL ZERO2 ( ZK, 50,50) DO 20 M=1,NE DO 25 I= 1,7 XS ( I ) =XSA ( M,I) 25 CONTINUE,CALL DKX( XS,DK ) WRITE( *,* )THIS IS ELEMENT * MATRAIX WRHE( *,15) M 15 FORMAT(1X, ELEMENT NO.=,I5) WRHE( *,11) (DK(I,J),l=l,6),J=l,6) 11 FORMAT(1X,6FI0.2) CALL QMW ( M, NE, NJ,JH,JW,MW ) DO 30 I=1,6 L= MW(I) IF ( L.

11、 LE. 0 ) GO TO 30,DO 40 J=1,6 K= MW(J) IF (K. LE.0) GO TO 40 ZK(L, K) = ZK (L,K)+DK (I, J) 40 CONTINUE 30 CONTINUE 20 CONTLNUE RETURN END,本程序是在“形成結構單元定位向量”的程序基礎上擴充而成； 本程序是用滾雪球的方法，擴充部分用紅色表示 本程序的總剛KNxN采用滿陣存儲。,數據文件 KJE.DAT 共8句 NE與NJ分別為單元總數與結點總數 NJT是特殊結點數 NAI為截面特性分組數 JH(2,NE)為單元兩端結點編號數組 JMH(NE)為截面特性分組號數

12、組 JTX(4,NJT)為特殊結點約束信息數組 EA(NAI)為各組單元的EA EI(NAI)為各組單元的El X(NJ)為各結點的X坐標 Y(NJ)為各結點的Y坐標,5、形成結構剛度矩陣K的算例,目的： 通過程序運行的中間步驟來說明直接剛度法的運算過程，要注意程序運行過程中所打印的中間結果：如單元定位向量、單元剛度矩陣等，通過對單元循環(huán)而直接形成結構剛度矩陣。,例5：形成圖示三層框架的結構剛度矩陣。 已知E=0.26x108KN/m2,梁和柱為矩形截面,尺寸bh分別為0.3x0.5m和0.3x0.6m。,解:先進行結點編號和單元編號 計算梁、柱截面的有關物理量,梁: A=0.3x0.5=0.

13、15m2 EA=390000KN I=0.3x0.53/12=0.003l25m4 EI=8125KNm2,柱：A=0.3x0.6=0.18m2 EA=468000KN I=0.3x0.63/12=0.0054m4 EI=14040KNm2,輸人數據文件KJE.DAT內容 9,8,2,2 3,1,4,2,5,3,6,4,7,5,8,6,1,2,3,4,5,6 7,1,1,1,8,1,1,1 1,1,1,1,1,1,2,2,2 468000,390000 14040,8125 0,6,0,6,0,6,0,6 10,10,7,7,4,4,0,0,部分結果為： K11=71240 K17 =-135

14、4 K22=156451 K18=38176,5-5K的特性,1）KNxN，N由JW數組確定； 2）K=KT，K是對稱數組； 3）若未知量i, j不相關，則Kij=0； 4）帶狀特性，即非零元素分布在主對角線附近； 5）K為稀疏陣，非零元素一般只占10左右； 6）考慮約束處理后,K正定； 7）主對角線上Kij0。,5-6 等效結點力,對于 K=P 上式中P與一一對應 在實際工程中，有： 單元荷載、廣義荷載（支座移動、變溫），故必須研究上述情況下這些單元的等效荷載，推導等效荷載時采用虛功的不變性原理，即單元荷載與等效結點力在任何虛位移上所作的虛功相等，這實際上就是靜力等效原則。 靜力等效移置只對

15、所討論單元的應力分布有影響，而不影響結構整體的應力分布。,1 、用形函數求等效結點力,如圖單元荷載Q，單元等效結點力FE，設單元發(fā)生虛位移v*,各結點虛位移為*，由虛功等效，得：,代入上式，并取特例x=l/2，考慮到Q力方向向下，故將Q代換成Q，便有：,故有：,上式正好是固端反力，但符號相反，由此可推出FE的另一計算公式：,式中F0為梁的固端反力，當q(x)為分布荷載時，由(2)式可推出,公式(3)是桿單元的特例，固端反力可由結構力學求出，列在附表，并編入程序。 公式(3)僅對兩端剛性連接的桿件，對于鉸結點，需重推導形函數。,2、 用固端反力求等效結點力FE,附表 固定端梁的固端反力F0,附表

16、(續(xù)) 固定端梁的固端反力F0,關于附表，應注意 此時z軸向里，Mzi逆時針為正； 廣義荷載列在7、8二欄； FE是在局部系里計算的，在由FE求P時，仍需進行坐標變換，由于,所以變換公式為：,5-7 按單元定位向量裝配荷載向量,列入P中的荷載有： 1.直接作用在結點上的結點荷載，可直接裝配； 2.單元等效結點荷載FE。,將FE按單元的MW裝配P是很簡單的，因為FE的分量個數與MW的元素個數相等，所以在每個FE中的分量對應地在MW中有一個未知量編號，因此可以正確地疊加到P中去，若MW中對應的元素是0或-1，則相應的FE中分量就不必疊加。,形成右端項P的程序設計：可在形成結構剛陣的主程序中直接調用

17、形成結點荷載的子程序SUB. YDX NLX(1,1)=NPJNLX(2,1)=NPMCALL YDX(1,N,NE,NJ,NJZ,1,NPJ,NPM, JH, NLX,JW,JZH,SL,CX,SY,PJZ,PMZ,FLZ,P) 其中，NPJ：受載結點數 NPM：受載單元數 NLX(2，NL)：荷載組信息 NL：荷載組數，每組有兩個信息，即：受載結點數NPJ和受載單元數NPM,*,子程序SUB. YDX見教材P120。子程序中有兩個輸入語句，可加在數據文KJE.DAT的后面，作為第9句、第10句。 第9句見P120，輸入結點荷載信息： 結點荷載信息數組PJZ(NPJ,2)，其中NPJ為受載結點數，第1列即PJZ(I,1)需輸入兩個信息JD.x 式中，JD：荷載作用的結點號 x：荷載作用的方向，