1、目 錄0360間的三角函數(shù)典型例題分析2弧度制典型例題分析3任意角的三角函數(shù)典型例題分析一5任意角的三角函數(shù)典型例題精析二8同角三角函數(shù)的基本關系式典型例題分析誘導公式典型例題分析用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值典型例題分析三角公式總表正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質典型例題分析3函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象典型例題分析正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質典型例題分析已知三角函數(shù)值求角典型例題分析全章小結高考真題選講0360間的三角函數(shù)典型例題分析例1 已知角的終邊經過點P(3a，-4a)(a0，0360)，求解的四個三角函數(shù)解 如圖2-2：x=3a，y=-4a，a0例2 求315的四個三角函數(shù)解

2、 如圖2-3，在315角的終邊上取一點P(x，y)設OP=r，作PM垂直于x軸，垂足是M，可見POM=45注：對于確定的角，三角函數(shù)值的大小與P點在角的終邊上的位置無關，如在315的角的終邊上取點Q(1，-1)，計算出的結果是一樣的弧度制典型例題分析角度與弧度的換算要熟練掌握，見下表例2 將下列各角化成2k+(kZ，02)的形式，并確定其所在的象限。它是第二象限的角注意：用弧度制表示終邊相同角2k+(kZ)時，是的偶數(shù)倍，而不是的整數(shù)倍A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限sin0，tg0 因此點P(sin，tg)在第四象限，故選D解 M集合是表示終邊在第一、二、三、四象限的角平分線上的

3、角的集合N集合是表示終邊在坐標軸(四個位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分線上的角的集合任意角的三角函數(shù)典型例題分析一 例1 已知角的終邊上一點P(-15，8)(R，且0)，求的各三角函數(shù)值分析 根據三角函數(shù)定義來解A1 B0 C2 D-2例3 若sin20，且cos0，試確定所在的象限分析 用不等式表示出，進而求解解 sin20，2在第一或第二象限，即2k22k+，kZ)當k為偶數(shù)時，設k=2m(mZ)，有當k為奇數(shù)時，設k=2m+1(mZ)有為第一或第三象限的角又由cos0可知在第二或第四象限綜上所述,在第三象限義域為x|xR且xk，kZ函數(shù)y=tgx+ctgx的定義域是說明 本例進一

4、步鞏固終邊落在坐標軸上角的集合及各三角函數(shù)值在每一象限的符號，三角函數(shù)的定義域例5 計算(1)a2sin(-1350)+b2tg405-(a-b)2ctg765-2abcos(-1080)分析 利用公式1，將任意角的三角函數(shù)化為02間(或0360間)的三角函數(shù)，進而求值解 (1)原式=a2sin(-4360+90)+b2tg(360+45)-(a-b)2ctg(2360+45)-2abcos(-3360)=a2sin90+b2tg45-(a-b)2ctg45-2abcos0=a2+b2-(a-b)2-2ab=0 任意角的三角函數(shù)典型例題精析二例1 下列說法中，正確的是 A第一象限的角是銳角B銳

5、角是第一象限的角C小于90的角是銳角D0到90的角是第一象限的角【分析】本題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90的角”和“0到90的角”在角的概念推廣以后，這些概念容易混淆因此，弄清楚這些概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關鍵【解】第一象限的角可表示為|k36090k360，kZ，銳角可表示為|090，小于90的角為|90，0到90的角為|090因此，銳角的集合是第一象限角的集合當k=0時的子集，故(A)，(C)，(D)均不正確，應選(B)(90)分別是第幾象限角？【分析】 由sincos0，所以在二、四象限；由sintan0，所以在二、三象限因此為第二象限的角，然

6、后由角的【解】(1)由題設可知是第二象限的角，即90k360180k360(kZ)，的角(2)因為 1802k36023602k360(kZ)，所以2是第三、第四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角(3)解法一：因為 90+k360180k360(kZ)，所以 180k36090k360(kZ)故 90k36090k360(kZ)因此90是第四象限的角解法二：因為角的終邊在第二象限，所以的終邊在第三象限將的終邊按逆時針旋轉90，可知90的終邊在第四象限內【說明】在確定形如k180角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論；確定象限時，k與k是等效的例3 已知集合E=|cossin，02，F(xiàn)=|tans

7、in，那么EF是區(qū)間 【分析】 解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值隨角的變化而遞增或遞減的變化情況可由三角函數(shù)的性質判斷，也可由三角函數(shù)線判斷用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易【解法一】 由正、余弦函數(shù)的性質， 【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，ATMP，即tansin，由正弦線和余弦線可看出，當應選(A)可排除(C)，(D)，得A.【說明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有ATMP，即tansin，所以(B)，(C)，(D)均不成立用排除法也有些別的方法，可自己練習例 4 (1)已知角終

8、邊上一點P(3k，4k)(k0)，求sin，cos，tan的值；【分析】利用三角函數(shù)的定義進行三角式的求值、化簡和證明，是三兩個象限，因此必須分兩種情況討論【解】(1)因為x3k，y=4k，例5 一個扇形的周長為l，求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大【分析】解答本題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式本題是求扇形面積的最大值，因此應想法寫出面積S以半徑r為自變量的函數(shù)表達式，再用配方法求出半徑r和已知周長l的關系【解】設扇形面積為S，半徑為r，圓心角為，則扇形弧長為l2r所以【說明】在學習弧度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公形的問題中，中心角用弧度表示較方便本例實際上

9、推導出一個重要公式，即當扇形周長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值本題也可將面積表示為的函數(shù)式，用判別式來解【分析】第(1)小題因在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值，但沒有確定角的象限，因此有兩組解；第(3)小題角可能在四個象限或是軸線角，因此需分兩種情況討論【解】(3)因為sin=m(|m|1)，所以可能在四個象限或的終邊在x軸上例7(1)已知 tan=m，求sin的值；【分析】(1)已知tan的值求sin或cos，一般可將tan母都是sin和cos的同次式，再轉化為關于tan的式子求值，轉化的方法是將分子、分母同除以cos(或cos2，這里cos0)，即可根據已

10、知條件求值【說明】 由tan的值求sin和cos的值，有一些書上利用公很容易推出，所以不用專門推導和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關系式和方法均可解決函數(shù)的定義來證明由左邊=右邊，所以原式成立【證法三】(根據三角函數(shù)定義)設P(x，y)是角終邊上的任意一點，則左邊=左邊，故等式成立例9 化簡或求值：【分析】 解本題的關鍵是熟練地應用正、余弦的誘導公式和記住特殊角的三角函數(shù)值=sincos(因為為第三象限角)例10 (1)若 f(cos x)=cos9x，求f(sin x)的表達式； 【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f(sin x)化成f(cos(90x)是充分利用已知條件和誘導公式的

11、關鍵在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法【解】(1)f(sin x)f(cos(90x)cos9(90x)=cos(2360909x)cos(909x)=sin9x；1同角三角函數(shù)的基本關系式典型例題分析1已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值解 sin0角在第三或第四象限(不可能在y軸的負半軸上)(2)若在第四象限，則說明 在解決此類問題時，要注意：(1)盡可能地確定所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號(2)盡可能地避免使用平方關系(在一般情況下只要使用一次)(3)必要時進行討論 例2 已知sin=m(|m|1)，求tg的值(2)當m=1時，的終邊在y軸上，tg無意義(3)當在

12、、象限時，cos0當在第、象限時，cos0，說明 (1)在對角的范圍進行討論時，不可遺漏終邊在坐標軸上的情況(2)本題在進行討論時，為什么以cos的符號作為分類的標準，而不按sin的符號(即m的符號)來分類討論呢？你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎？2三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡的結果應滿足下述要求：(1)函數(shù)種類盡可能地少(2)次數(shù)盡可能地低(3)項數(shù)盡可能地少(4)盡可能地不含分母(5)盡可能地將根號中的因式移到根號外面來化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡例3 化簡sin2tg+cos2ctg+2sincos=seccsc解2 原式=(sin2tg+sincos)+(cos

13、2ctg+sincos)=tg(sin2+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg =seccsc說明 (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類的思路進行的(2)解2中的逆用公式將sincos用tg表示，較為靈活，解1與解2相比，思路更自然，因而更實用例4 化簡：分析 將被開方式配成完全平方式，脫去根號，進行化簡 3三角恒等式的證明證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質上的同，這個過程，往往是從化簡開始的這就是說，在證明三角恒等式時，我們可以從最復雜處開始例5 求證 cos(2sec+tg)(sec-2tg)=2

14、cos-3tg分析 從復雜的左邊開始證得右邊=2cos-3tg=右邊例6 證明恒等式(1)1+3sin2sec4+tg6=sec6(2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2分析 (1)的左、右兩邊均較復雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡證明 (1)右邊-左邊=sec6-tg6-3sin2sec4-1=(sec2-tg2)(sec4+sec2tg2+tg2)-3sin2sec4-1=(sec4-2sec2tg2+tg2)-1=(sec2-tg2)2-1=0 等式成立=sin2A+cos2A=1故原式成立在解題時，要全面地理解“繁”與“簡”的關系實際上，將

15、不同的角化為同角，以減少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上兩點在三角變換中有著廣泛的應用分析1 從右端向左端變形，將“切”化為“弦”，以減少函數(shù)的種類 分析2 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，進而可以約分，達到化簡的目的 說明 (1)當題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦(如解法1)，或將弦化為切(如解法2)以減少函數(shù)的種類(2)要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列=sec+tg 等式成立說明 以上證明中采用了“1的代換”的技巧，即將1用sec2-tg2代換，可是解題者怎么會想到這種代換的呢？

16、很可能，解題者在采用這種代換時，已經預見到代換后，分子可以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎上的，當然，對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法”即證明“左邊-右邊=0” 左邊=右邊誘導公式典型例題分析例1 求下列三角函數(shù)值：解(1)sin(-1200)=-sin1200=-sin(3360+120) =-sin120=-sin(180-60)(2)tg945=tg(2360+225)=tg225=tg(108+45)=tg45=1例4 求證(1)sin(n+)=(-1)nsin；(nZ) (2)cos(n+)=(-1)ncos證明 1當n為奇數(shù)時，設n=2k

17、-1(kZ)則(1)sin(n+)=sin(2k-1)+=sin(-+)=-sin=(-1)nsin (-1)n=-1)(2)cos(n+)=cos(2k-1)+=cos(-+)=-cos=(-1)ncos2當n為偶數(shù)時，設n=2k(kZ)，則(1)sin(n+)=sin(2k+)=sin=(-1)nsin(-1)n=1)(2)cos(n+)=cos(2k+)=cos=(-1)ncos由1，2，本題得證例5 設A、B、C是一個三角形的三個內角，則在sin(A+B)-sinC cos(A+B)+cosC tg(A+B)+tgC ctg(A+B)-ctgCA1個 B2個 C3個 D4個解 由已知，

18、A+B+C=，A+B=-C，故有sin(A+B)-sinC=sin(-C)-sinC=sinC-sinC=0為常數(shù)cos(A+B)+cosC=cos(-C)+cosC=-cosC+cosC=0為常數(shù) tg(A+B)+tgC=tg(-C)+tgC=-tgC+tgC=0為常數(shù)ctg(A+B)-ctgC=ctg(-C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC不是常數(shù)從而選(C)用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值典型例題分析例1 利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角或角的范圍P，則(2)如圖2-11，過點(1，-1)和原點作直線交單位圓于點p和p，則滿足條件的所有角是三角公式總表L弧長=R= S扇=L

19、R=R2=正弦定理：= 2R（R為三角形外接圓半徑）余弦定理：a=b+c-2bc b=a+c-2ac c=a+b-2ab S=a=ab=bc=ac=2R=pr=(其中, r為三角形內切圓半徑) 同角關系：商的關系：= 倒數(shù)關系：平方關系： （其中輔助角與點（a,b）在同一象限，且）函數(shù)y=k的圖象及性質：（）振幅A，周期T=, 頻率f=, 相位，初相五點作圖法：令依次為 求出x與y， 依點作圖誘導公試sincostgctg-+-+-+-+2-+-2k+三角函數(shù)值等于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號；即：函數(shù)名不變，符號看象限sincontgctg+-+-+-三角函

20、數(shù)值等于的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把看作銳角時，原三角函數(shù)值的符號;即：函數(shù)名改變，符號看象限和差角公式 其中當A+B+C=時,有:i). ii).二倍角公式：(含萬能公式) 三倍角公式：半角公式：（符號的選擇由所在的象限確定） 積化和差公式： 和差化積公式： 反三角函數(shù)：名稱函數(shù)式定義域值域性質反正弦函數(shù)增 奇反余弦函數(shù)減反正切函數(shù)R 增 奇反余切函數(shù)R 減 最簡單的三角方程方程方程的解集正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質典型例題分析例1 用五點法作下列函數(shù)的圖象(1)y=2-sinx，x0，2描點法作圖： 例2 求下列函數(shù)的定義域和值域解 (1)要使lgsinx有意義，必須且只須sinx0

21、，解之，得 2kx(2k+1)，kZ又0sinx1， -lgsinx0定義域為(2k，(2k+1)(kZ)，值域為(-，0的取值范圍，進而再利用三角函數(shù)線或函數(shù)圖象，求出x的取值范圍。利用單位圓(或三角函數(shù)圖象)解得(2)由讀者自己完成，其結果為例4 求下列函數(shù)的最大值與最小值： (2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2sinx-1，1，例5 求下列函數(shù)的值域|cosx|1 cox2x1說明 上面解法的實質是從已知關系式中，利用|cosx|1消去x，從而求出y的范圍例6 比較下列各組數(shù)的大小分析 化為同名函數(shù)，進而利用增減性來比較函數(shù)值的大小解 (1)sin194

22、=sin(180+14)=-sin14cos160=cos(180-20)=-cos20=-sin700147090，sin14sin70，從而 -sin14-sin70，即 sin194cos160而y=cosx在0，上是減函數(shù)，故由01.391.471.5可得cos1.5cos1.47cos1.39例7 求下列函數(shù)的單調區(qū)間解(1)設u=2x當u(2k-1)，2k(kZ)時，cosu遞增；當u2k，(2k+1)(kZ)時，cosu遞減 例8 下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為(D)為奇函數(shù)，應選(D)函數(shù)不具有奇偶性說明 奇(偶)函數(shù)的定義域必須對稱于原點，這是奇(偶)函數(shù)必須滿足的條件，解題時不可忽

23、視函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象典型例題分析例1 已知函數(shù)y=f(x)，將f(x)的圖象上的每一點的縱坐標保持不變，結果與D相同，故選D例2(3)函數(shù)f(x)=lg(sin2x)的增區(qū)間為_；(4)函數(shù)f(x)=|sinx|的增區(qū)間為_分析 基本方法是轉化為y=sinx與y=cosx的單調區(qū)間的求法但既要注意定義域，還要注意復合函數(shù)的單調性質的運用解 2A=3-(-5)=8，A=4所得點的縱坐標伸長(A1)或縮短(0A1)到原來的A倍(橫坐標不變)再將圖象上所有點向上b0或向下b0平移|b|個單位，同一周正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質典型例題分析例2 比較下列各組數(shù)的大小tg1，tg2，t

24、g3 解 (1)tg2=tg(2-)，tg3=tg(3-)tg(2-)tg(3-)tg1 即tg2tg31由于y=ctgx在(0，)內是減函數(shù)，所以已知三角函數(shù)值求角典型例題分析2(+)-=4k+-，kZ，從而sin(2+)與sin之間的聯(lián)系被發(fā)現(xiàn)故 sin(2+)=sin2(+)-sin(4k+-)=sin(-) 全章小結一、本章主要內容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)之間的關系，誘導公式，以及三角函數(shù)的圖象和性質二、根據生產實際和進一步學習數(shù)學的需要，我們引入了任意大小的正、負角的概念，采用弧度制來度量角，實際上是在角的集合與實數(shù)的集合R之間建立了這樣的一一對應關系：每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(角的弧度數(shù)等于這個實數(shù))與它對應采用弧度