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1、第五節(jié) 典型例題,n階行列式的計算是學習線性代數(shù)的基礎，在以后的各章中都要用到它。這里主要應該掌握的基本方法是：,1. 用n階行列式的性質(zhì)把一般行列式化成特殊行列式（如上三角行列式等）來計算。,2. 用n階行列式的展開定理，把行列式按某一行（列）展開，即化高階行列式為低階行列式來計算。(Laplace定理),3. 其他方法：對于具有特殊形式的行列式，有一些特殊的方法：遞推、歸納、加邊等.,1,證明,用數(shù)學歸納法,證明范得蒙(Vandermonde)行列式,例1,(1),2,3,n-1階范德蒙行列式,注意：范德蒙行列式是等于零a1, a2, , an中至少有兩元素相等.,4,例2計算,利用范德蒙

2、行列式計算行列式，應根據(jù)范德 蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列 式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果。,5,解,6,上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知,7,例3,計算n階行列式,加邊法：行列式的每行或每列除對角線上元素外分別是某個數(shù)的倍數(shù).,8,9,這種形式的行列式簡稱“兩邊加一對角線”行列式，它必可利用行列式性質(zhì)化為三角形行列式而求得其值，所以,10,11,12,例4,計算n階行列式,13,解,將左上角的x改寫為(xa)a，第一列的(a)均改寫為0( a)，于是第一列各元素均為兩項之和，于是,即,（1）,14,利用類似的方法，可得,（2）,故從式（1）與（2）中

3、可以消去Dn-1,15,例5,計算n階行列式,16,解法1,化為三角行列式,此題的特點與2例6相同. 把各行都加到第一行上，然后提出公因式x+(n 1)a，得,(-a),(-a),(-a),17,18,解法2,化為兩邊加一對角線行列式,(-1),(-1),(-1),19,20,21,加邊法,將Dn添加一行、一列，構(gòu)成n+1階行列式。,解法3,(-1),(-1),(-1),22,把行列式的第2、3、n+1列分別提出公因子x-a，得,23,24,解法4,遞推法,將Dn的第一列元素都寫成兩個元素之和，然后將Dn拆成兩個n階行列式的和，再利用遞推關系,25,26,例6 計算行列式,27,解：此類型行列式稱為三對角線型，常采用方法是將兩條次對角線中某一條上元素全化為零或遞推法.,28,29,=,30,=n+1.,31,例7用行列式定義計算

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