1、第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù),總綱目錄,教材研讀,1.角的概念的推廣,考點(diǎn)突破,2.弧度制的定義和公式,3.任意角的三角函數(shù),考點(diǎn)二扇形的弧長與面積公式,考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角,考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義,1.角的概念的推廣 (1)定義:角可以看成是平面內(nèi)的一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形. (2)分類 (3)所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合S=|=+k360,kZ.,教材研讀,2.弧度制的定義和公式 (1)定義:把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角,弧度記作rad. (2)公式,3.任意角的三角函數(shù),1.與角的終邊相同的角可表示為()

2、 A.2k+45(kZ)B.k360+(kZ) C.k360-315(kZ)D.k+(kZ),答案C=180=360+45=720-315, 與角的終邊相同的角可表示為k360-315,kZ.弧度制與角度制 不能混用,故A、B不對.,C,2.(2016北京東城期中)已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0),則cos 的值為 () A.0B.-1C.-D.,答案B角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0), x=-1,y=0,r=1,cos =-1,故選B.,B,3.若角同時滿足sin 0且tan 0,則角的終邊一定落在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限,答案D由sin 0,可知的終邊可能位于第三

3、象限或第四象限,也可能與y軸的非正半軸重合.由tan 0,可知的終邊可能位于第二象限或第四象限,故的終邊只能位于第四象限.,D,4.(2018北京海淀高三期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)C在x軸的正半軸上.在ABC中,若cosAOC=-,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 () A.-B.C.-3D.3,答案A設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x0(x00),由三角函數(shù)的定義得=-, 解得x0=-或x0=(舍去),故選A.,A,5.已知圓的一條弦的長等于半徑長,則這條弦所對的圓心角的大小為 .,答案,解析弦長等于半徑長,該弦與兩半徑構(gòu)成的三角形為正三角形. 故該弦所對的圓心角的大小為.,考點(diǎn)一象限角及終邊相同

4、的角,考點(diǎn)突破,典例1(1)設(shè)集合M=,N= ,那么() A.M=NB.MN C.NMD.MN= (2)終邊在直線y=x上的角的集合是. (3)如果是第三象限角,那么角2的終邊落在.,答案(1)B(2) (3)第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上,解析(1)M=,-45,45,135,225, N=,-45,0,45,90,135,180,225,顯 然有MN.故選B. (2)在(0,)內(nèi)終邊在直線y=x上的角是, 終邊在直線y=x上的角的集合為. (3)由是第三象限角,得+2k+2k(kZ), 2+4k23+4k(kZ). 角2的終邊落在第一象限或第二象限或y軸的非負(fù)半軸上.,方法技巧 (1

5、)給出一個角,判斷該角的終邊所在象限的方法:先將此角化為k360+(0360,kZ)的形式,即找出與此角終邊相同的角(0360),再由角終邊所在的象限來判斷此角是第幾象限角. (2)已知的終邊所在的象限,求或n(nN*)的終邊所在的象限的方法: 將的范圍用不等式(含有k(kZ)表示,然后兩邊同除以n或乘以n,再對k進(jìn)行討論,得到或n(nN*)的終邊所在的象限.,1-1若角是第二象限角,則是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角,答案C是第二象限角,+2k+2k,kZ,+k+ k,kZ. 當(dāng)k為偶數(shù)時,是第一象限角; 當(dāng)k為奇數(shù)時,是第三象限角.,C,1-2

6、在與2 010角終邊相同的角中,絕對值最小的角的弧度數(shù)為.,-,解析2 010=12-, 與2 010角終邊相同的角中,絕對值最小的角的弧度數(shù)為-.,答案-,考點(diǎn)二扇形的弧長與面積公式,典例2(1)已知扇形周長為10,面積是4,則扇形的圓心角的大小為. (2)如圖,已知扇形的圓心角=120,弦AB長12 cm,則該扇形的弧長l=cm.,答案(1)(2),解析(1)設(shè)圓心角是,半徑是r, 則或(舍), 故扇形的圓心角的大小為. (2)設(shè)扇形的半徑為r cm,如圖. 由sin 60=,得r=4,l=|r=4= cm.,方法技巧 解決有關(guān)扇形的弧長和面積問題的常用方法及注意事項(xiàng) (1)解決有關(guān)扇形的

7、弧長和面積問題時,要注意角的單位,一般將角度化為弧度. (2)求解扇形面積的最值問題時,常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題,利用配方法使問題得到解決. (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時,要合理地利用圓心角所在的三角形.,變式2-1在本例(1)中,若去掉條件中的“面積是4”,則扇形的半徑和圓心角取何值時,可使其面積最大?,解析設(shè)圓心角是,半徑是r,則2r+r=10. 所以扇形的面積S=r2=r(10-2r)=r(5-r) =-+, 當(dāng)且僅當(dāng)r=時,扇形面積S最大,且Smax=,此時=2. 所以當(dāng)r=,=2時,扇形面積最大.,2-2已知圓中一段弧的長度等于該圓內(nèi)接正方形的邊長,求這段弧所對的圓心角是多

8、少.,解析設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r,正方形的邊長為r, 所求圓心角的弧度數(shù)是=.,考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義,典例3已知角的終邊上一點(diǎn)P(-,m)(m0),且sin =,求cos ,tan 的值.,解析由題設(shè)知x=-,y=m, r2=|OP|2=(-)2+m2(O為原點(diǎn)),r=. sin =, r=2, 即3+m2=8,解得m=. 當(dāng)m=時,r=2,x=-,y=, cos =-,tan =-; 當(dāng)m=-時,r=2,x=-,y=-, cos =-,tan =.,易錯警示 利用三角函數(shù)的定義,求一個角的三角函數(shù)值,需確定三個量:角的終邊上任意一個異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r.若題目中已知角的終邊在一條直線(非坐標(biāo)軸)上,則要注意在終邊上任取一點(diǎn)有兩種情況(點(diǎn)所在象限不同).,3-1(2016北京海淀期中)若角的終邊過點(diǎn)(1,-2),則cos= .,答案,解析由三角函數(shù)的定義可得sin =-,則cos=-sin =