1、1,第四章 二維平面晶體學(xué),本章主要討論可以抽象出二維平面點陣結(jié)構(gòu)的客體的對稱性。,如晶體的表面，截面等。,二維晶體學(xué)所見即所得，許多結(jié)論可直接推廣到三維。,10個點群，5種點陣，17個空間群。,32個點群，14種點陣，230個空間群。,2,4-1 群論基礎(chǔ)（II）,4-1-1 共軛，共軛類,3,群G中所有元素可分為若干個共軛類，每一元素屬于且僅屬于G 的一個共軛類。,定義2： 群G中的所有相互共軛的元素的集合稱為G的一個共軛類。,定義3： 設(shè)A,X為兩個操作，則滿足B=XAX-1的操作B稱為與A近似， 或稱B與A是近似操作。,共軛操作要求a,b,x皆為群元素，相似關(guān)系A(chǔ),B,X可不是群元素。

2、,若A 是一個方矩陣，則滿足B=XAX-1的矩陣B稱為A的相似矩陣， 相應(yīng)的變換稱為相似變換。,互為相似的矩陣間有兩個不變量：,（1）相似矩陣具有相同的跡。點操作矩陣W的跡Tr(W) 不隨坐標(biāo)系選取而變。,（2）相似矩陣具有相同的矩陣行列式。點操作矩陣的Det(W) 不隨坐標(biāo)系選取而變。,4,5,對稱操作群中,共軛操作有十分鮮明的幾何意義,6,交換群的每一個元素自成一個共軛類。,對于交換群中的任意兩個元素a,b,有ab=ba,即a=bab-1,交換群中所有元素對任一元素的共軛變換均將這一元素變?yōu)樽陨怼?即所有操作都將任一操作的對稱要素共軛變換為自身。,例：單軸群Cn是交換群，群中的任何旋轉(zhuǎn)都不

3、會改變對稱軸的位置。,例：C2h是交換群。,7,相似操作也有十分鮮明的幾何意義：,滿足B=XAX-1的操作A，B是同類型的操作，X是使操作A的幾何要素 與操作B的幾何要素重合的操作。,相似操作關(guān)系WB=XWAX-1可以理解為：在B處完成一件產(chǎn)品（WB） 等效于將工廠由B處搬到A處（X-1），然后在A處完成制作（WA） 最后將工廠由A處運回B處（X）。,引入相似操作的便利在于： 在B處不易完成的操作，可轉(zhuǎn)化為在A處完成。,8,例：證明定理3-3a,例：由定理3-1a說明相似旋轉(zhuǎn)操作的幾何意義。,9,例相似旋轉(zhuǎn)操作的幾何意義證明一個重要定理。,定理4-1（萬花筒原理）：,證明：如圖，將X軸取在鏡面

4、mj上，并使之與鏡面mi和mj 的交線垂直。反映mi將點（x，y，z）操作至（x，-y，z）。,mj對（x，y，z）的操作？,把對鏡面mj的反映轉(zhuǎn)化對鏡面mi 反映的表達式。,由相似操作的概念,10,11,4-1-2 子群，子群的陪集，子群的陪集展開,定義1：設(shè)H為群G的一個子群，a為G的一個元素，a左乘H的 每一個元素得到的集合aH稱為H的一個左陪集，同理 可定義H的右陪集。,定理4-2 ：1）有限群的子群H的每一左（右）陪集中的元素個數(shù) 與H中的個數(shù)相同。 2）H的任何兩個左（右）陪集的兩組元素或全部相同 或全不同。,定理4-3（Lagrange陪集展開定理） ： 群G的階q為其子群H的階

5、r 的整數(shù)倍。,證明,12,4-1-3 共軛子群，不變子群,定義1：設(shè)H為群G的一個子群，g為G的一個元素，則集合,構(gòu)成一個群，稱為H的共軛子群。,定義2：若對稱操作群中存在著一組對稱要素互易位置的操作， 則稱這組對稱要素相互共軛。,13,4-1-4 直積群,1. 外直積群,外直積群G具有如下性質(zhì)：,（1）G滿足群的定義。,（2）G中兩個直積因子群H和P都是G的不變子群。,（3）G的階q=rs。,14,2. 半直積群,半直積群G具有如下性質(zhì)：,（1） 構(gòu)成群。,（2）G中第一直積因子群H是P的不變子群。,（3）G的階q=rs。,15,4-1-5 同構(gòu)與同態(tài),16,兩個同構(gòu)群的一一對應(yīng)關(guān)系不會由

6、于運算而改變,定理4-4 ：n階群A和n階群B同構(gòu)的充要條件是乘法表相同,所有的二階群和三階群都是同構(gòu)的。,有限群的同構(gòu)具有傳遞性。,17,同構(gòu)允許多一對應(yīng),18,4-2 平面晶體學(xué)點群,4-2-1 點群的直觀體現(xiàn)：對稱要素系和對稱等效點系,點群的客體可以是：宏觀晶體，微觀點陣，晶體各種物理性質(zhì)的 函數(shù)空間等。,晶體學(xué)點群個數(shù)：,點群平移對稱性限定了晶體對稱軸的軸次， 所以限定了晶體學(xué)點群的個數(shù)。,對稱要素系 指點群中各對稱操作據(jù)以進行的，采取一定空間 布局的一組對稱要素，簡稱對稱系。,有限客體的對稱系與該客體之點群包含等價的對稱性內(nèi)容。,一個點群唯一地對應(yīng)一種對稱系，一種對稱系唯一地對應(yīng)一種

7、點群。,點群的封閉性對應(yīng)于對稱系的完整性,在點群的任何對稱操作前后，對稱系守恒。,19,對稱系中的共軛和共軛類借助于點群的對稱操作來定義。,若群中存在使一組對稱要素互易位置（但不可辨別）的操作， 則稱這組對稱要素相互共軛。,相互共軛的一組對稱要素組成共軛對稱系。,4-2-2 第I類點操作（旋轉(zhuǎn)）構(gòu)成的點群,三維空間的對稱軸在二維空間退縮為“對稱點”。,二維平面點群的對稱系中不能有兩個或兩個 以上不重合對稱軸。,否則產(chǎn)生平移。,20,4-2-3 包含第II類點操作（反映）的點群,平面中的反演等價于二重旋轉(zhuǎn)，二維空間的反演等價于第I類操作。,三維空間的對稱面在平面空間內(nèi)退縮為“對稱線”。,平面點群

8、的對稱系中有兩個或兩個以上的對稱面時，這些對稱面 必然交于一線，形成對稱軸。,21,22,4-3 平面點陣,4-3-1 平面點陣，基矢，晶胞,23,24,4-3-2 五種平面點陣,依據(jù)點陣的點群對稱性來推導(dǎo)二維點陣的所有類型。,25,26,27,28,4-3-3 點陣點群,29,30,4-4 平面空間群I：點式空間群,晶體學(xué)空間群是微觀晶體對稱操作的集合。,點陣可視為單個單個同種原子作為點陣點的簡單晶體,點陣這一特殊晶體的空間群如何表示？,31,32,4-4-1 點式空間群的構(gòu)成，13個點式空間群,33,34,（1）.二重旋轉(zhuǎn)與點陣平移的組合：新的二重旋轉(zhuǎn),35,（2）.4重旋轉(zhuǎn)與點陣平移的組合：新的4重旋轉(zhuǎn)和二重旋轉(zhuǎn),P4空間群的對稱系和對稱等效點系。,對稱圖案,36,（3）.3重旋轉(zhuǎn)與點陣平移的組合：新的3重旋轉(zhuǎn),P3空間群的對稱系和對稱等效點系。,37,（4）.6重旋轉(zhuǎn)與點陣平移的組合：,P6空間群的對稱系和對稱等效點系。,38,（5）.反映與平移的組合：,39,4-4-2 點式空間群的HM符號,40,討論：,41,42,P4空間群的對稱系和對稱等效點系。,43,4-4-3 空間群的基本對稱操作，位置點與位置點群,44,4-5 平面空間群II: 非點式空間群,討論點式空間群時，有兩方面的對稱性內(nèi)容尚