1、2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及參考答案 1 選擇題（57=35）1. 對(duì)正整數(shù)n，記n！=12.n,則1!+2!+3!+.+10!的末位數(shù)是( )A0 B1 C3 D5【分析】時(shí)，！的個(gè)位數(shù)均為0，只考慮前4個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)之和即可，1+2+6+4=13，故式子的個(gè)位數(shù)是3.本題選C2. 已知關(guān)于x的不等式組恰好有5個(gè)整數(shù)解，則t的取值范圍是( ) 【分析】，則5個(gè)整數(shù)解是注意到時(shí)，只有4個(gè)整數(shù)解所以，本題選C3. 已知關(guān)于x的方程恰好有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值有( )個(gè)A1 B2 C3 D4【分析】，下面先考慮增根：）令，則，當(dāng)時(shí)，（舍）；）令，則，當(dāng)時(shí)，（舍）；再考慮等根：）對(duì)，當(dāng).故，共3個(gè)

2、.本題選C4. 如圖，已知ABC的面積為24，點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F在線段BC的延長(zhǎng)線上，且BC=4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為( )A3 B4 C5 D6【分析】設(shè)底邊上的高為，則，本題選D5. 在分別標(biāo)有號(hào)碼2,3,4,.,10的9個(gè)球中，隨機(jī)取出兩個(gè)球，記下它們的標(biāo)號(hào)，則較大標(biāo)號(hào)被較小標(biāo)號(hào)整除的概率是( ) 【分析】 本題選B二填空題（57=35）6. 設(shè)，b是a2的小數(shù)部分，則的值為 【分析】考慮到，則則7. 一個(gè)質(zhì)地均勻的正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4、5、6擲這個(gè)正方體三次，則其朝上的面的數(shù)的和為3的倍數(shù)的概率是 【分析】對(duì)第一次向上面為1時(shí)，后面兩

3、次所得數(shù)字與1的和是3的倍數(shù)有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12種；對(duì)于首次擲得向上的面是2，3，4，5，6的，后面兩次與首次的和為3的倍數(shù)是輪換對(duì)稱(chēng)的，故和為3的倍數(shù)共有，而總次數(shù)是次，則其概率為.8. 已知正整數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，則abc的最大值為 【分析】先消去c，再配方估算觀察易知上式中，故，經(jīng)試算，時(shí)，均不是整數(shù)；當(dāng)時(shí)，于是有，故9. 實(shí)數(shù)a、b、c、d滿(mǎn)足：一元二次方程x2+cx+d=0的兩根為a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的兩根為c、d，則所有滿(mǎn)足條件的數(shù)組（a、b

4、、c、d）為 【分析】由根與系數(shù)關(guān)系知，然后可得（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)本題在化簡(jiǎn)過(guò)程中，總感覺(jué)還有，此處僅給出一組，好像不嚴(yán)謹(jǐn)，期待官方答案10. 小明某天在文具店做志愿者賣(mài)筆，鉛筆每支售4元，園珠筆每支售7元，開(kāi)始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆共350支，當(dāng)天雖然沒(méi)有全部賣(mài)完，但是他的銷(xiāo)售收入恰好是2013元，則他至少賣(mài)出了 支圓珠筆【分析】設(shè)4元的賣(mài)x支，7元的賣(mài)y支，則令，則，又，即，即他至少賣(mài)了207支圓珠筆三解答題（420=80）11如圖，拋物線y=ax2+bx-3，頂點(diǎn)為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB=OC=3OA直線與y軸交于點(diǎn)D，求DBC-CB

5、E【分析】易知，作EFCO于F，連CE，易知OBC、CEF都是等腰直角三角形，則CBE是直角三角形分別在RtOBD、RtBCE中運(yùn)用正切定義，即有，則從而可得DBC-CBE=4512如圖，已知AB為圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，D為線段OB內(nèi)一點(diǎn)(不是端點(diǎn))，滿(mǎn)足CDAB，DECO，E為垂足，若CE=10，且AD與DB的長(zhǎng)均為正整數(shù)，求線段AD的長(zhǎng)【分析】設(shè)圓O半徑為r，則由相似或三角函數(shù)或射影定理可知，又由相交弦定理（考慮垂徑時(shí)）或連AC、BC用相似或三角函數(shù)，易知，而令，/即，顯然有，則，即，為正整數(shù)，故，又也為正整數(shù)，經(jīng)逐一試算，僅當(dāng)這一組是正整數(shù)，故.13設(shè)a、b、c是素?cái)?shù)，記，當(dāng)時(shí)，a

6、、b、c能否構(gòu)成三角形的三邊長(zhǎng)？證明你的結(jié)論【分析】a、b、c是素?cái)?shù)，則為整數(shù)，則，為正整數(shù)化簡(jiǎn)整理后，有),不能?chē)扇切?)綜上所述，以a、b、c不能?chē)扇切?4如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱(chēng)M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱(chēng)86為415的魔術(shù)數(shù)) 求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，an，滿(mǎn)足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m，在a1，a2，an中都至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”【分析】考慮到魔術(shù)數(shù)均為7的倍數(shù)，又a1，a2，an互不相等，不妨設(shè)，余數(shù)必為1、2、3、4、5、6，0，設(shè)，（），至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”因?yàn)椋╧是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，而除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，