2017年課標(biāo)高考 母題 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 079 中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題 (第 021 號(hào) ) 由函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性到對(duì)稱(chēng)函數(shù) 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是函數(shù)奇偶性的拓展 ,函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性是一個(gè)函數(shù)所具有的性質(zhì) ,而對(duì)稱(chēng)函數(shù)則 是 兩 個(gè)函數(shù) 之間的關(guān)系 ;對(duì)稱(chēng) 又分為 軸對(duì)稱(chēng) 和 中心對(duì)稱(chēng) ;函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 與 對(duì)稱(chēng)函數(shù) 是 課標(biāo) 高考命題 的一個(gè)突出的特色 . 母題結(jié)構(gòu) :( )(函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 ) (軸對(duì)稱(chēng) ):f(a+x)=f( f(x)的 圖像關(guān)于直線 x=2稱(chēng) ; (中心對(duì)稱(chēng) ): f(a+x)+f(2c f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn) M(2c)對(duì)稱(chēng) ; ( )(對(duì)稱(chēng)函數(shù) ) (軸對(duì)稱(chēng) ) 若函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱(chēng) ,則 g(x)=f(2函數(shù) f(x)與反函數(shù) x)的圖象關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱(chēng) ; (中心對(duì)稱(chēng) )若函數(shù) g(x)的圖象與函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) M(a,b)對(duì)稱(chēng) ,則g(x)=2 母題 解 析 :略 . 子題類(lèi)型 :(2016年 高考 全國(guó)甲卷 文 科 試 題 )已知函數(shù) f(x)(x R)滿(mǎn)足 f(x)=f(2若函數(shù) y=| y=f(x)圖象的交點(diǎn)為 (x1,(x2, ,(xm,則mi ) (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 解析 :由 y=| y=f(x)圖象 都關(guān)于直線 x=1 對(duì)稱(chēng) 每對(duì) ;當(dāng) m 為偶數(shù)時(shí) ,mi 2m=m;當(dāng) m 為奇數(shù)時(shí) ,mi 21m+1=B). 點(diǎn)評(píng) :函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性是 偶函數(shù)的拓展 ,也可以視為 偶函數(shù) 平移的結(jié)果 ;如偶函數(shù) y=f(x+a)向右平移 y=f(x)的圖象關(guān)于直線 x=若 g(x)=f(a+ x)f(x),則 g(x)關(guān)于直線 x=2稱(chēng) . 同 類(lèi) 試題 : 1.(2014 年 高考 課 標(biāo) 試題 )已知 偶 函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=2 對(duì)稱(chēng) ,f(3)=3,則 f( . 2.(2010 年 第 二十一 屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 (高一 )試 題 )方程 f(x+3)f(10有 5 個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 ,則這 5 根之和為 ( ) (A)0 (B)5 (C) (D)子題類(lèi)型 :(2016 年 高考 全國(guó)甲卷 理科 試 題 )已知函數(shù) f(x)(x R)滿(mǎn)足 f(2-f(x),若函數(shù) y=與 y=f(x)圖象的交點(diǎn)為 (x1,(x2, ,(xm,則 mi ii (=( ) (A)0 (B)m (C)2m (D)4m 解析 :由 y=與 y=f(x)圖象 都關(guān)于 (0,1)對(duì)稱(chēng) 每對(duì) ,且對(duì) mi ii (=mi mi +22m=B). 點(diǎn)評(píng) :函數(shù)的 中心對(duì)稱(chēng) 是 奇 函數(shù)的拓展 ,也可以視為 奇 函數(shù) 平移的結(jié)果 ;如 奇 函數(shù) y=f(x+a)向右平移 y=f(x)的圖象關(guān)于 點(diǎn) M(a,0)對(duì)稱(chēng) ; 三次函數(shù) f(x)=cx+d(a 0)的對(duì)稱(chēng)中心 M(f(. 同 類(lèi) 試題 : 080 備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)的一條捷徑 2017年課標(biāo)高考 母題 3.(1998 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高一 試 題 )設(shè) 函數(shù) f(x)=(x+a)3對(duì)任意 實(shí)數(shù) x 都有 f(2+x)=則 f(f(3)= . 4.(2011 年課標(biāo) 高考試題 )函數(shù) y=11y=2x(x 4)的圖像所有交 點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于 ( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 子題類(lèi)型 :(2015年 高考 課 標(biāo) 試題 )設(shè)函數(shù) y=f(x)的圖像與 y=2x+y=且 f(f(1, 則 a=( ) (A) (B)1 (C)2 (D)4 解析 :在 y=f(x)的圖像 上任取一點(diǎn) P(x,y),則點(diǎn) P(x,y)關(guān)于直線 y=稱(chēng) 點(diǎn) Q(x)在 y=2x+ 2-y+a= y=x) f(x)=x);由 f(f(1 (1 a=D). 點(diǎn)評(píng) :求函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于 點(diǎn) M(或 直線 l)的對(duì)稱(chēng)圖象的解析式 ,基本的方法是逆向變換 ,即在所求函數(shù)上任取一點(diǎn) P(x,y),并求出點(diǎn) P(x,y)關(guān)于 點(diǎn) M(或 直線 l)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo) Q(用 x,把點(diǎn) y=f(x)的解析式中得關(guān)于 x,y 的方程 ,由此解出 y,即得所求函數(shù)的解析式 ,并且要關(guān)注函數(shù)的定義域 .若 f(x)為單調(diào) 函數(shù) ,且方程 f(x)+根為 程 x)+根為 x1+b. 同 類(lèi) 試題 : 5.(2013 年 北京 高考試題 )函數(shù) f(x)的圖象向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度 ,所得圖象與曲線 y=y 軸對(duì)稱(chēng) ,則 f(x)=( ) (A) (B) (C) (D).(2012 年 高考 課 標(biāo) 試題 理科 第 12 題 )設(shè)點(diǎn) P 在曲線 y=21點(diǎn) Q 在曲線 y=x)上 ,則 |最小值為 ( ) (A)1 (B) 2 (1 (C)1+ (D) 2 (1+ 7.(2014年 山東 高考試題 )對(duì)于函數(shù) f(x),若存在常數(shù) a 0,使得 都有 f(x)=f(2則稱(chēng) f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù) ) (A)f(x)= x (B)f(x)= (C)f(x)= (D)f(x)=x+1) 8.(2014 年 大綱 高考試題 )奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R,若 f(x+2)為偶函數(shù) ,且 f(1)=1,則 f(8)+f(9)=( ) (A) (B) (C)0 (D)1 9.(2009 年山東高考試題 )己知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x)滿(mǎn)足 f(-f(x),且在區(qū)間 0,2上是增函數(shù) f(x)= m(m0),在區(qū)間 上有四個(gè)不同根 x1,x2,x3, x1+x2+x3+ . 10.(2011 年 第 二十二 屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 (高 二 )試 題 )已知函數(shù) y=f(x)滿(mǎn)足 f(3f(3+x),且方程 f(x)=0 有 x1, , x1+ + . 11.(2010 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 河北 預(yù) 賽試題 )函數(shù) f(x)=x+1 的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為 ( ) (A)() (B)(1,2) (C)(2) (D)(1,12.(2013 年 第 二十 四 屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽 (高一 )試 題 )函數(shù) y=x+1 的圖像關(guān)于 ( ) (A)點(diǎn) (1,2)成中心對(duì)稱(chēng) (B)點(diǎn) ()成中心對(duì)稱(chēng) (C)直線 x=1 成軸對(duì)稱(chēng) (D)直線 x=軸對(duì)稱(chēng) 13.(2010 年 全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東 初賽 試題 )函數(shù) f(x)=x+4 圖像的對(duì)稱(chēng)中心為 . 14.(2008 年全 國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 湖南初賽 試題 )設(shè)函數(shù) f(x)=x+14,且 f(a)=1,f(b)=19,則 a+b= . 15.(2008 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 湖南 預(yù) 賽試題 )設(shè)函數(shù) f(x)定義在 R 上 ,給出下述三個(gè)命題 :滿(mǎn)足 f(x+2)+f(24 的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn) (2,2)對(duì)稱(chēng) ;滿(mǎn)足 f(x+2)=f(2函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=2對(duì)稱(chēng) ;函數(shù) f( f()在同一坐標(biāo)系中 ,其圖象關(guān)于直線 x=2 對(duì)稱(chēng) 真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 16.(2006年全國(guó)高考試題 )函數(shù) y=f(x)的圖象與函數(shù) g(x)=x0)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) ,則 y=f(x)的表達(dá)式為 ( ) (A)f(x)=x0) (B)f(x)=x)( (D)f(x)=x)( x1+(x3+ 2=4 x1+x2+x3+12+4=由 f(3+x)=f(3 f(x)的圖象關(guān)于直線 x=3 對(duì)稱(chēng) 每 兩根之和 =6; 當(dāng) n=2k 為偶數(shù)時(shí) ,x1+ +k=3n; 當(dāng)n=2k+1 為 奇 數(shù)時(shí) ,有一根為 3,另 外 每 兩根之和 =6 x1+ +6k=3(2k+1)=x1+ +n. 由 a=1,b= f(1)=2 對(duì)稱(chēng)中心為 (1,2)B). 由 a=1,b= f(1)=2 對(duì)稱(chēng)中心為 (1,2)A). 由 a=1,b=2 32 f(2770 對(duì)稱(chēng)中心為 (770). 由 a=1,b=3 1 f(10 f(x)圖象 的 對(duì)稱(chēng) 中心 M(0);又因2191=102a+b=由 是真命題 ;又由 x+2 x=2 是真命題 D). 在 函數(shù) y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn) P(x,y),由題知 ,點(diǎn) P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) Q(y)在 g(x)=x0)的圖象上 -y=x) y=x) f(x)=x