中國 高考數(shù)學母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題 (楊培明 “老”的數(shù)列求和 ,“新”的求解方法 裂項求和法替代錯位相減法 若 等差數(shù)列 ,等比數(shù)列 ,求數(shù)列 前 n 項和 錯位相減法、公式法、導數(shù)法、分組法 ,還有更加絕妙的裂項求和法 . 母題結(jié)構(gòu) :當 q 1 時 ,求證 :(an+b)1( qb)-1qa(2)1( qb母題 解 析 :由 (1( qb)-1qa(2)1( qb1( qa( 2)1( qban+b)子題類型 :(2014年 江西 高考試題 )已知首項都是 1 的兩個數(shù)列 0,n N+)滿足 . ( )令 cn=求數(shù)列 通項公式 ; ( )若 n+1,求數(shù)列 前 n 項和 解析 :( )由 112 ( )由 n+1,2 3n+1;令 an+b) 3n,且滿足 (an+a+b) 3n+1-(an+b) 3n=(2 3n+1 2a+2b=62a=6,3a+2b=a=3,b=3 3n,且 Sn=a1+a2+ +( +(3 3n+1+9. 點評 :構(gòu)造裂項式是求和的關(guān)鍵 :針對 an+b) an+b)qn+k,令 xn+y)滿足 此可求 x,y,并得通項 an=而可得數(shù)列 前 n=巧 子題類型 :(2013 年山東 高考試題 )設(shè) 等差 數(shù)列 前 n 項和為 4=4S2,. ( )求數(shù)列 通項公式 ; ( )設(shè)數(shù)列 前 n 項和為 n+= (為實數(shù) ).令 cn=n N+),求 數(shù) 列 前 n 項 和 解析 :( )設(shè) 公差為 d,由 S2, 4d=8d,2d=2(d+1 ,d=2 ( )由 Tn+= n;當 n 2時 ,22cn=41 ) an+b)(41)滿足 a=b=98 8)(41)Rn=c1+ +( +(41)n+94. 點評 :針對 an+b) an+b) xn+y)滿足 解較為簡 單 . 子題類型 :(2014年 安徽 高考試題 引伸 )數(shù)列 足 ,=(n+1)an+n(n+1),n N*. ( )證明 :數(shù)列 等差數(shù)列 ; ( )設(shè) n 題為 n求數(shù)列 前 n 項和 解析 :( )由 ,=(n+1)an+n(n+1)11 數(shù)列 首項為 1,公差為 1 的 等差數(shù)列 ; ( )由n bn=3n;令 yn+z) 3n,且滿足 2x+y)n+x+y+z 3n+1-(yn+z) 3n=3n 2(6x+2y)n+(3x+3y+2z)=2x=1,6x+2y=0,3x+3y+2z=0 x=21,y=z=23 213) 3n Sn=b1+ +( +(211) 3n+1點評 :裂項 求和法可拓展到求 數(shù)列 (bn+c)前 至可用于 數(shù)列 f(n)其中 f(n)是 項式 )的前 n. 1.(2004年 湖南 高考試題 )已知數(shù)列 首項為 的等比數(shù)列 ,( )證明 :126, ( )求和 Tn= +2.(2004年 重慶 高考試題 )設(shè)數(shù)列 足 :,5,=35+31an(n=1,2, ). ( )令 bn=n=1,2, ),求數(shù)列 通項公式 ; ( )求數(shù)列 前 n 項和 3.(2014年 四 川 高考 文科 試題 )設(shè)等差數(shù)列 公差為 d,點 (an,函數(shù) f(x)=2n N*). ( )證明 :數(shù)列 等 比 數(shù)列 ; ( )若 ,函數(shù) f(x)的圖象在點 (a2,的切線在 x 軸上的截距為 2 數(shù)列 前 n 項和 4.(2014年 四 川 高考 理科 試題 )設(shè)等差數(shù)列 公差為 d,點 (an,函數(shù) f(x)=2n N*). ( )若 2,點 (函數(shù) f(x)的圖象上 ,求數(shù)列 前 n 項和 ( )若 ,函數(shù) f(x)的圖象在點 (a2,的切線在 x 軸上的截距為 2數(shù)列 的前 n. 5.(2007年 福 建 高考試題 )數(shù)列 前 N 項和為 Sn,=2Sn(n N*). ( )求數(shù)列 通項 ( )求數(shù)列 前 n 項和 6.(2013年 湖南 高考試題 )設(shè) 前項和 ,已知 0,21Sn,n N*. ( )求 a1,求數(shù)列 通項公式 ; ( )求數(shù)列 前 n 項和 ( )略 ;( )5164n+2516)( )32)n;( )2)n 3n(n+1)+(6n+18)(32)(