中國 高考數(shù)學母題一千題 (第 0001 號 ) 關(guān)于 f(x)的一元二次方程的圖解法 解決 一類 函數(shù) 零點 問題 的 通 法 關(guān)于 方程 bf(x)+c=0的實根 問題 是高考的一典型母題 ,因其中函數(shù) f(x)與 實 數(shù) a,b,c 都有選擇的靈 活 性 ,因此 , 其子 題 具有廣泛 的生長 空間 ,母題的 解題程 序 是 : 母題結(jié)構(gòu) :已知 函數(shù) f(x),研究 關(guān)于 x 的 方程 x)+bf(x)+c=0 的實根 問題 . 解 題 程序 :作出所函數(shù) f(x)的圖像 ;研究 關(guān)于 t 的 一元二次方程 bt+c=0,并把方程 x)+bf(x)+c=0 根的問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù) f(x)圖像與直線 y=y=利用韋達定理得 :t1+ab,此解決相關(guān)問題 . 子題類型 :(2005 年上海高考試題 )設定義域為 f(x)= 1,0 1|,1|x 關(guān)于 f2(x)+bf(x)+c=0有 7 個不同實數(shù)解的充要條件是 ( ) (A) (B)b0,且 b1,如 ,1,k= 足 條 件 ,所以 正確 ;由 圖 知 ,方程恰有 4 個實 根 y1=1,k=41所以正確 ;由 圖知 ,方程恰有 5 個實 根 ,k=0 所以正確 ;由 圖 知 ,方程恰有 8 個實 根 (0,1),如1,2,k=92滿 足 條 件 ,所以正確 ,正確命 題 的 個數(shù)為 4,假命 題 的 個數(shù)為 0,故 選 (A). 點評 :常見問題有 : 根的個數(shù) (或已知根的個數(shù) ,求參數(shù)的取值范圍 ); 求參數(shù) (或求 所有 根的 和 ). 數(shù) 子題類型 :(2013 年安徽高考試題 )(理 )若函數(shù) f(x)=x3+bx+c 有極值點 x1, f(關(guān)于 x 的方程3(f(x)2+2af(x)+b=0 的不同實根個數(shù)是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析 :不妨設 x1 f(x)=x3+bx+c 有極值點 x1, f(x1 函數(shù)的圖像如圖 ,又由極值點的定義及 方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 f(x)=或 f(x)=圖知 ,方程 f(x)=,方程 f(x)=個數(shù)是 1,故選 (A). 點評 :利用 三次 函數(shù)的 導函數(shù)是二次 函數(shù) ,并由 極值來限定函數(shù)的圖像 ,使得母題的生成達到了極致 . 1,(2003 年 全國 高考試題 )已知 方程 (m)(n)=0 的四個根組成一個首項為41的等差數(shù)列 ,則 |于 ( ) (A)1 (B)43(C)21(D)832.(2009 年 福建 高考試題 )函數(shù) f(x)=bx+c(a 0)的圖象關(guān)于直線 x=據(jù)此可推測 ,對任意的非零實數(shù) a,b, c,m,n,p,關(guān)于 x 的方程 mf(x)2+nf(x)+p=0 的解集都不可能是 ( ) (A)1,2 (B)1,4 (C)1,2,3,4 (D)1,4,16,64 3.(2010 年全國高中數(shù)學聯(lián)賽 廣西 預 賽試題 )已知定義域為 f(x)=)2(1)2(|2| 1若關(guān)于 x 的方程 f2(x)+bf(x) +c=0 恰有 5 個不同的實數(shù)解 x1,x2,x3,x4, f(x1+x2+x3+x4+于 ( ) (A)21(B)41(C)81(D)1614.(2013年安徽高考試題 )(文 )若函數(shù) f(x)=x3+bx+x1, f(x1關(guān)于 (f(x)2+2af(x)+ b=0 的不同實根個數(shù)是 ( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 5.(2014 年 全國 高中數(shù)學聯(lián)賽四川預賽試題 )已知 a,b,c,d 均為實數(shù) ,函數(shù) f(x)=3cx+d(a0)有兩個極值點 x1,x1滿足 f(方程 af(x)2+bf(x)+c=0 的實根個數(shù)是 ( ) (A)0 個 (B)2 個 (C)3 個 (D)4個 設 f(x)= (m)(n)=0 f2(x)+(m+n)f(x)+;設 f(x)= 根 分 別為 x1,x2,f(x)=根 分 別為 x3,x4,1,則 3 y1=f(41)=y2=f(43) =m+n=-(y1+811,mn=671615 | )( 2 =C). 設 關(guān)于 f(x)的方程 mf(x)2+nf(x)+p=0的 兩根 分 別為 f(x)=y1,f(x)= f(x)=根 分 別為 x1,x2,f(x) =根 分 別為 x3, x1+ab,x3+x1+x2=x3+證知 ,(D)不符合 D). 作 f(x)的圖像知 如圖 ,f(x)的圖像關(guān)于直線 x=2 對稱 ,所以 ,方程 f2(x)+bf(x)+c=0 恰有 5 個 不同的實數(shù)解 f(x)= 個不同的實數(shù)解 ,其中一根 x=2,另兩根的和 =4,且 f(x)= 個不同的實數(shù)解 ,其兩根的和 =4 x1+x2+x3+x4+0 f(x1+x2+x3+x4+C). 由 f(x)=x3+bx+c 有極值點 x1, f(x1函數(shù)的圖像如圖 , 又由極值點的定義及 方程 3(f(x)2+2af(x)+b=0 f(x)= f(x)=圖知 , 方程 f(x)=,方程 f(x)=,故選 (A). 由 a0