中國 高考數(shù)學母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數(shù)學母題 (楊培明 直線合成 的 二次曲線系方程及其應用 由 完全四邊形 的 兩對“直線對”合成 的 曲線系 我們 把完全四邊形的每組相對的邊和兩條對角線稱為一對“直線對” ;利用 完全四邊形的 兩對“直線對” 合成 的 二次曲線系這一技巧處理一些具有深度的解析幾何問題 ,有 化繁為簡、 簡潔明快的優(yōu)點 . 母題結(jié)構(gòu) :己知 完全 四邊形 對“直線對” 方程分別為 :,則 過四邊形 個頂點 A、 B、 C、 D 的二次線系 G:(0. 母題 解 析 :易證 ,在此從略 . 子題類型 :(2013 年 江西 高考 文科 試題 )橢圓 C:222(ab0)的離心率 e=23,a+b =3.( )求橢圓 ( )如圖 ,A,B,的頂點 ,上除頂點外的任意點 ,直線 ,直線 P 于點 M,設 斜率為 k,斜率為 m,證明 :2定值 . 解析 :( )由 e=22123 a=2b,又由 a+b=3 a=2,b=1 橢圓 C:42x+; ( )設 N(n,0),則 AB:y=0,BP:,DP:,AD:=0 過 A,B,P,:(2)+ y(0 2- n)4;由曲線系 G 為 橢圓 C: ,4 =2k+1,n=12 24 由 AD:=0 與 BP: M(12 24 24 212 1. 點評 :當 四邊形 (i=1,2,3,4)時 ,則過 A、 B、 C、 : . 子題類型 :(2011 年四川 高考 理 科 試題 )橢圓有兩頂點 A()、 B(1,0),過其焦點 F(0,1)的直線 l 與橢圓交與 C、D 兩點 ,并與 x 軸交于點 C 與直線 于點 Q. ( )當 |232 時 ,求直線 l 的方 程 ; ( )當點 P 異于 A、 B 兩點時 ,求證 : 定值 . 解析 :( )橢圓 2y=1,直線 l:y= 3 x+1; ( )設直線 CD:=0,AC:n=0,直線 BD:,則 P(),Q(,) ;由過A,B,C,D 四點的二次曲線系 G:y()+ (n)(0 -1)1+;由曲線系 G 為 橢圓 C:2x2+ ,1+ =1. 點評 :在四邊形 ,兩條對角線方程為 (i=1,2),其中一組對邊方程為 (i=1,2),則過 A、 B、 C、 D 四點的二次線系 G: 或 . 個頂點處的切線 合成 子題類型 :(2015 年 陜 西 高考試題 )如圖 ,橢圓 E:222(ab0)經(jīng)過點 A(0, 且離心率為22.( )求橢圓 E 的方程 ; ( )經(jīng)過點 (1,1)且斜率為 k 的直線與橢圓 E 交于不同的兩點 P,Q(均異于點 A),證明 :直線 斜率之和為 2. 解析 :( )由 b=1,e=22122 橢圓 E:22x+; ( )設 直線 AP:,AQ:,PQ:,橢圓 E 在點 A 處的切線 :y+1=0,則 過 A,P,Q 三 點的二次曲線系G:( (y+1)( 1 x+(2- k)y+1+ (10;由曲線系 G 為 橢圓 E: ,2- k=0 k1+ k=2. 點評 :在 三條邊方程順次為 (i=1,2,3),曲線 處的切線 方程為 g=0,則過 A、 B、 C、 : 或 . 1.(2005 年 重慶 高考試題 )連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是 (填寫所有正確選項的序號 ).菱形 ;有 3 條邊相等的四邊形 ;梯形 ;平行四邊形 ;有一組 對角相等的四邊形 . 2.(2011 年四川 高考 文 科 試題 )過點 C(0,1)的橢圓222(ab0)的離心率為23,橢圓與 x 軸交于兩點 A(a,0),B(),過點 C 的直線 l 與橢圓交于另一點 D,并與 x 軸交于點 P,直線 直線 于點 Q. ( )當直線 l 過橢圓右焦點時 ,求線段 長 ;( )當點 P 異于點 B 時 ,求證 : 為定值 . 3.(2013年 江西 高考 理科 試題 )如圖 ,橢圓 C:222(ab0)經(jīng)過點 P(1,23),離心率 e=21, 直線 l 的方程為 x=4.( )求橢圓 C 的方程 ; ( )經(jīng)過右焦點 F 的任一弦 (不經(jīng)過點 P),設直線 直線 l 相交于點 M,記 B,斜率分別為 k1,k2,是否存在常數(shù) ,使得 k1+k 3？若存在 ,求 的值 ;若不存在 ,說明理由 . 易知 正確 ,下面證明 : 不正確 ,實質(zhì)上 ,只需證 不正確 ,可證其等價命題 :過一平行四邊形四個頂點的二次曲線不是拋物線 ;設平行四邊形的兩組對邊分別為 :ax+by+(i=1,2)和 y+(i=1,2)(a:b A:B),則過平行四邊形的四個頂點的二次曲線系 G:(ax+by+ax+by+ (y+y+0,其中 A2, B2,系數(shù)為 2( 二次曲線系 G 是拋物線 , ,且 0, 0 或 , ,且 0, 0;由 ( + (=( (=0 a:b=A:B,矛盾 故選 . ( )橢圓42x+,|716; ( )由直線 AB:y=0,AC:x+2,設直線 BD:m=0,直線 CD:=0,則 P(),Q(4 24由過A,B,C,D 四點的二次曲線系 G:(x+2m)+ y()=0 2 n)+ )4m+2+ );由曲線系 G 為 橢圓 C: 2 n=0,4m+2+ =0 2(2m+1)n=2=2 24 . ( )由 e=22121 3 由21a+249b=1 , 橢圓 C:42x+32y=1; ( )由 F(1,0),設 直線 AB:,PA:m=0(m=23PB:n=0(n=2