中國(guó) 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號(hào) ) 愿與您共建真實(shí)的中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 定積分與幾何概型交匯 問(wèn)題 的 類型和解 法 定積分與幾何概型的結(jié)合是因高考而產(chǎn)生的獨(dú)特問(wèn)題 ,在此類問(wèn)題中 ,定積分作為求面積的工具 ,起到關(guān)鍵性作用 . 母題結(jié)構(gòu) :(幾何概型 ):P(A)=構(gòu)成事件 A 的區(qū)域面積與構(gòu)成全部結(jié)果的區(qū)域面積的比值 . 解 題 程序 :定積分與幾何概型的 交匯有二種基本類型 :一是以用 定積分求面積 為主的幾何概型問(wèn)題 ;二是把相關(guān)條件的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型問(wèn)題 . 子題類型 :(2014 年福建高考試題 )如圖 e(e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) ) 的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆 ,則他落到陰影部分的概率為 . 解析 :(法一 )由 y= y=y=x 對(duì)稱 陰影部分的面積為 2 10 )( x=2(10=2; 又邊長(zhǎng)為 e 的正方形的面積為 落到陰影部分的概率為22e; (法二 )陰影部分的面積為 2e (2 落到陰影部分的概率為22e. 點(diǎn)評(píng) :由 定積分求面積 ,要充分利用圖形的對(duì)稱性 ;本題由反函數(shù)的對(duì)稱性得圖形的對(duì)稱性 ,給出兩種解法 ,其中解法一中的原函數(shù)易求 . 子題類型 :(2012 年湖南高 考試題 )函數(shù) f(x)= x+ )的導(dǎo)函數(shù) y=f (x)的圖像 如圖所示 ,其中 ,A,若在曲線段 成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) ,則該點(diǎn)在 的概率為 . 解析 :由 f(x)= x+ ) f (x)= x+ ) B 到 x 軸的距離 = ;由圖知 ,|2T= 1|=2;由 f (x)是最小正周 T=2的周期函 數(shù) 曲線段 =- (=22x |22=2 該點(diǎn)在 的概率 =4. 點(diǎn)評(píng) :由 定積分求面積 ,可巧用圖形的全等性和函數(shù)的周期性 ;本題 同時(shí)利用圖形的全等性和函數(shù)的周期性 求面積 . 子題類型 :(2013 年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東預(yù)賽試題 )設(shè) E 為正方形 B 的中點(diǎn) ,分別在邊 任取兩點(diǎn) P、 Q,則 銳 角的概率為 . 解析 :設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 1,AP=x,BQ=y,則 (= 1(0x, y) 所求概率為兩直線 x=1,y=1 及曲線 1所圍成圖形的面積與 邊長(zhǎng)為 1 的正方形的面積之比 =434141=43 41=43點(diǎn)評(píng) :把相關(guān)條 件的概 率 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概 型問(wèn)題 ,從而利用定積分求面積 解決之 ,是一種重要的 解 題程序 . 1.(2010 年陜西高考試題 )從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn) M(x,y), 則點(diǎn) M 取自陰影部分的概率為 . 2.(2012 年福建高考試題 )如圖所示 ,在邊長(zhǎng)為 1 的正方形 任取一點(diǎn) P, 則點(diǎn) P 恰好取自陰影部分的概率為 ( ) (A)41(B)51(C)61(D)713.(2014 年遼寧高考試題 )正方形的四個(gè)頂點(diǎn) A(1),B(1,C(1,1),D() 分別在拋物線 y=y=如圖所示 ,若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形 , 則質(zhì)點(diǎn)落在陰影 區(qū)域的概率是 . 4.(2015 年 福 建 高考試題 )如圖 ,點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 (1,0),點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 (2,4),函數(shù) f(x) =在矩形 隨機(jī)取一點(diǎn) ,則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于 . 5.(2010 年課標(biāo)高考試題 )設(shè) y=f(x)為區(qū)間 0,1上的連續(xù)函數(shù) ,且恒有 0 f(x) 1,可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分10 )( 先產(chǎn)生兩組 (每組 區(qū)間 0,1上的均勻隨機(jī)數(shù) x1, ,y1, ,此得到 x1,i=1,2, , N),再數(shù)出其中滿足 f(i=1,2, ,N)的點(diǎn)數(shù) 么由隨機(jī)模擬方法可得積分 10 )( . 6.(2010 年“華約”自主招生 試題 )在蒲豐投鐘試驗(yàn)中 ,平行線間距為 a,針長(zhǎng)為 b,試求針與線相交的概率與 a、 b 的關(guān)系 ,并求什么情況下概率是1. 由 長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為 3,陰影部分部分的面積 =10 23 0=1 點(diǎn) M 取自陰影部分部分的概率 =31. 由 正方形 面積為 1,陰影部分的面積 = 10 )( 1 點(diǎn) P 取自陰影部分的概率 =C). 由 正方形 面積為 4,陰影部分的面積 =4(1-10 238 質(zhì)點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率 =32. 由矩形 面積 =4,陰影部分面積 =4-21 25 概率 P=125. 由題意可知)(10 10 )( 積分 10 )( 令 P 表示針的中點(diǎn) ,則點(diǎn) P 必在某相鄰兩平行線 m,n 的內(nèi)部 (含平行線 m,n 上 ). 設(shè)針與 m,n 的夾角為 ( 0, ),點(diǎn) P 到距離 m,n 的最小值為 y(y 0,2a), 則 針與線相交 y2 =( ,y)| 0, ,y 0,