安徽省宿州市 2017 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x|1， B=x|2x ，則 A B=（ ） A B C D 2復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足（ 1+i） z=2 3i，則復(fù)數(shù) z 的虛部是（ ） A B C D 3向量 ， 滿(mǎn)足 | |=1， | |=2， （ + ） =0，則 在 方向上的投影為（ ） A B C 0 D 4如圖程序框圖 的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b 的值分別為 84， 48，則輸出的 a 的值為（ ） A 8 B 12 C 24 D 36 5函數(shù) 的圖象大致為（ ） A B C D 6已知不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?D，點(diǎn)集 T=（ |Z，（ z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的點(diǎn) ，則 T 中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為（ ） A 10 B 11 C 15 D 16 7某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體 的表面積為（ ） A 45 B C D 60 8將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位，再向下平移 4 個(gè)單位，得到函數(shù) g（ x）的圖象，則函數(shù) f（ x）的圖象與函數(shù) g（ x）的圖象（ ） A關(guān)于點(diǎn)（ 2， 0）對(duì)稱(chēng) B關(guān)于點(diǎn)（ 0， 2）對(duì)稱(chēng) C關(guān)于直線(xiàn) x= 2 對(duì)稱(chēng) D關(guān)于直線(xiàn) x=0 對(duì)稱(chēng) 9已知 的展開(kāi)式中 x 與 項(xiàng)的系數(shù)之比為 1： 4，則 a4+ ） A 16 B 12 C 8 D 4 10以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） 命題 “若 x=y，則 逆否命 題是真命題； 已知 ， 是不同的平面， m， n 是不同的直線(xiàn)， m ， n ， ，則 m n； 直線(xiàn) 2ax+y+1=0， x+2=0， 充要條件是 ； A 1 B 2 C 3 D 4 11在 ， ， 2， 3，一只小螞蟻從 內(nèi)切圓的圓心處開(kāi)始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與 邊距離不低于 1 個(gè)單位時(shí)其行動(dòng)是安全的，則這只小螞蟻在 任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是（ ） A B C D 12函數(shù) f（ x）在 R 上的 導(dǎo)函數(shù)為 f（ x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x，都有 f（ x） +2017 4034x，若 f（ t+1） f（ t） +4034t+2017，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題 已知函數(shù) ，則 = 14在三棱錐 A ，側(cè)棱 兩垂直， 面積分別為 、 、 ，則三棱錐 A 外接球的體積為 15已知點(diǎn) G 是 重心，內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，且，則角 B 的大小是 16直線(xiàn) l 過(guò)拋物線(xiàn) C： p 0）的焦點(diǎn) F，與拋物線(xiàn) C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn) D，若 |6， ，則 p= 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17（ 12 分）數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 ，且 ， 等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18（ 12 分）如圖所示，四邊形 等腰梯形， 直角三角形，平面 平面 直， C， N，點(diǎn) O、 D、 E 分別是 B 的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn) E 作平行于平面 截面分別交 點(diǎn) F、 G， G 的中點(diǎn) （ ）證明： （ ）若直線(xiàn) 平面 成的角的正弦值為 ，求二面角 D H 的余弦值 19（ 12 分）某綜藝節(jié)目為增強(qiáng)娛樂(lè)性，要求現(xiàn)場(chǎng)嘉賓與其場(chǎng)外好友連線(xiàn)互動(dòng)凡是拒絕表演節(jié)目的好友均無(wú)連線(xiàn)好友的機(jī)會(huì)；凡是選擇表演節(jié)目的好友均需連線(xiàn)未參加過(guò)此活動(dòng)的 3 個(gè)好友參與此活動(dòng)，以此下去 （ ）假設(shè)每個(gè)人選擇表演與否是等可能的，且互不影響，則某人選擇表演后，其連線(xiàn)的 3 個(gè)好友中不少于 2 個(gè)好友選擇表演 節(jié)目的概率是多少？ （ ）為調(diào)查 “選擇表演者 ”與其性別是否有關(guān)，采取隨機(jī)抽樣得到如表： 選擇表演 拒絕表演 合計(jì) 男 50 10 60 女 10 10 20 合計(jì) 60 20 80 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，是否有 99%的把握認(rèn)為 “表演節(jié)目 ”與好友的性別有關(guān)？ 將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查 3 名男性好友，設(shè) X 為 3 個(gè)人中選擇表演的人數(shù)，求 X 的分布列和期望 附： ； P（ 0（ 12 分）已知橢圓 ，焦距為 2，離心率 e 為 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 M、 N，直線(xiàn) x 軸交于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) F 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 G，求 面積的最大值 21（ 12 分）設(shè)函數(shù) （ ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ ）若函數(shù) f（ x）存在極值，對(duì)于任意的 0 在正實(shí)數(shù) 得 f（ f（ =f（ （ 試判斷 x1+ 2大小關(guān)系并給出證明 請(qǐng)考生在 22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 .選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 22（ 10 分）在直角坐標(biāo)系 ，曲線(xiàn) （ t 為參數(shù)， t R），曲線(xiàn) （ 為參數(shù)， 0， 2） （ ）以 O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，求曲線(xiàn) 極坐標(biāo)方程； （ ）若曲線(xiàn) 曲線(xiàn) 交于點(diǎn) A、 B，求 | 選修 4等式選講 23設(shè)函數(shù) f（ x） =|x 2|+|x a|， x R （ ）求證：當(dāng) a= 1 時(shí)，不等式 x） 1 成立； （ ）關(guān)于 x 的不等式 f（ x） a 在 R 上恒成立，求實(shí)數(shù) a 的最大值 2017 年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5 分，共 60 分 有一項(xiàng)是符合題目要求的 . 1已知集合 A=x|1， B=x|2x ，則 A B=（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 先分別求出集合 A 和 B，由此能求出 A B 【解答】 解： 集合 A=x|1=x| 1 x 1， B=x|2x =x|x ， A B=x| =（ ， 1） 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運(yùn)用 2復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足（ 1+i） z=2 3i，則復(fù)數(shù) z 的虛部是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出 【解答】 解：（ 1+i） z=2 3i， （ 1 i）（ 1+i） z=（ 2 3i）（ 1 i）， z= i， 則復(fù)數(shù) z 的虛部是 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力 與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 3向量 ， 滿(mǎn)足 | |=1， | |=2， （ + ） =0，則 在 方向上的投影為（ ） A B C 0 D 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式求出 、 夾角的余弦值，再根據(jù)向量投影的定義寫(xiě)出運(yùn)算結(jié)果 【解答】 解：向量 ， 滿(mǎn)足 | |=1， | |=2， （ + ） =0， + =12+1 2 ， 為 、 的夾角； ； 在 方向上的投影為 | | （ ） = 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平面向量數(shù)量積和向量投影的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 4如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的 “更相減損術(shù) ”執(zhí)行該程序框圖，若輸入 a， b 的值分別為 84，48，則輸出的 a 的值為（ ） A 8 B 12 C 24 D 36 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算出當(dāng)前的 a， b 的值，即可得到結(jié)論 【解答】 解：由 a=84， b=48，滿(mǎn)足 a b， 則 a 變?yōu)?84 48=36， 由 b a，則 b 變?yōu)?48 36=12， 由 a b，則， a=36 12=24， 由 a b，則， a=24 12=12， 由 a=b=12， 則輸出的 a=12 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查算法和程序框圖，主要考查循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解和運(yùn)用，以及賦值語(yǔ)句的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題 5函數(shù) 的圖象大致為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的圖象；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點(diǎn)以及函數(shù)的極值的符號(hào)，判斷選項(xiàng)即可 【解答】 解：函數(shù) ，可得 f（ x） =2x（ ），令 f（ x） =0，可得 x=0 或 x= ， 函數(shù) 由 3 個(gè)極值點(diǎn)，排除 C， D； 當(dāng) x= 時(shí)， f（ ） =2（ 1 0，排除 B， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值點(diǎn)的求法，函數(shù)的圖象的判斷，是中檔題 6已知不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?D，點(diǎn)集 T=（ |Z，（ z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的點(diǎn) ，則 T 中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為（ ） A 10 B 11 C 15 D 16 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用 z 的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的最值點(diǎn)，結(jié)合直線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即 可 【解答】 解：如圖，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖， 則使 z=x+y 取得最小值的點(diǎn)僅有一個(gè)（ 0， 1）， 使 z=x+y 取得最大值的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)， 但屬于集合 T 的只有 6 個(gè)，（ 0， 5），（ 1， 4），（ 2， 3），（ 3， 2），（ 4，1），（ 5， 0）， T 中的點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為： 1+5+4+3+2+1=16 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線(xiàn)條數(shù)的確定，利用數(shù)形結(jié)合求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵本題非常容易做錯(cuò)，抽象符號(hào)容量大，能否解讀含義顯得非常重要了，屬中檔題 7某幾何體的三視圖如圖 所示，則該幾何體的表面積為（ ） A 45 B C D 60 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以邊長(zhǎng)為 3，和 4 的直角三角形為底面的三棱柱，切去了一個(gè)邊長(zhǎng)為 3，和 4 的直角三角形為底面，高是 3 的三棱錐，累加各個(gè)面的面積可得，幾何體的表面積 【解答】 解：由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個(gè)以邊長(zhǎng)為 3，和 4 的直角三角形為底面的三棱柱，切去了一個(gè)邊長(zhǎng)為 3，和 4 的直角三角形為底面，高是3 的三棱錐（如圖） D 是切去的三棱錐 可得：矩形 的面積為 ： 5 3=15， 梯形 的面積為： = ， 梯形 的面積為： ， 底面 面積為： ， 三角形 直角三角形：其面積為： ， 該幾何體的表面積為： 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀 8將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位，再向下平移 4 個(gè)單位，得到函數(shù) g（ x）的圖象，則函數(shù) f（ x）的圖象與函數(shù) g（ x）的圖象（ ） A關(guān)于點(diǎn)（ 2， 0）對(duì)稱(chēng) B關(guān)于點(diǎn)（ 0， 2）對(duì)稱(chēng) C關(guān)于直線(xiàn) x= 2 對(duì)稱(chēng) D關(guān)于直線(xiàn) x=0 對(duì)稱(chēng) 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 根據(jù)三角函數(shù)的平移變換求出 g（ x），通過(guò)圖象的對(duì)稱(chēng)中點(diǎn)坐標(biāo)可得判斷 【解答】 解：函數(shù) 令 （ k Z）， 解得 x= 對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是（ ， 0） 函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位，再向下平移 4 個(gè)單位，可得g（ x） =33x+ ） 4 令 3x+ =k Z）， 解得 x= 對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)是（ ， 4） 對(duì)稱(chēng)中心不相同，故 C， D 選項(xiàng)不對(duì) 兩個(gè)函數(shù)對(duì)稱(chēng)的縱坐標(biāo)為 2，故 A 不對(duì) 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角函數(shù)的圖象的平移變換后的對(duì) 稱(chēng)性的判斷利用對(duì)稱(chēng)中心或?qū)ΨQ(chēng)軸即可判斷 9已知 的展開(kāi)式中 x 與 項(xiàng)的系數(shù)之比為 1： 4，則 a4+ ） A 16 B 12 C 8 D 4 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【分析】 直接利用 的展開(kāi)式中 x 與 項(xiàng)的系數(shù)之比為 1：4，得到 系，然后利用基本不等式求解最小值即可 【解答】 解： 的展開(kāi)式中 x 與 項(xiàng)的系數(shù)之比為 1： 4， （ + ）：（ 4=1： 4， |2， a4+2|8 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，基 本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力 10以下四個(gè)命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（ ） 命題 “若 x=y，則 逆否命題是真命題； 已知 ， 是不同的平面， m， n 是不同的直線(xiàn)， m ， n ， ，則 m n； 直線(xiàn) 2ax+y+1=0， x+2=0， 充要條件是 ； A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 ，命題 “若 x=y，則 真命題，其的逆否命題與原命題同真假； ，已知 ， 是不同的平面， m， n 是 不同的直線(xiàn)， m ， n ， ，則 m、n 不一定垂直； ，當(dāng) a= ； ，由微積分的基本定義可判定； 【解答】 解：對(duì)于 ，命題 “若 x=y，則 真命題，其的逆否命題與原命題同真假，故正確； 對(duì)于 ，已知 ， 是不同的平面， m， n 是不同的直線(xiàn)， m ， n ， ，則 m、 n 不一定垂直，故錯(cuò)； 對(duì)于 ，當(dāng) a= ，故錯(cuò)； 對(duì)于 ，由微積分的基本定義知 正確； 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了命題真假的判定，屬于基礎(chǔ)題 11在 ， ， 2， 3，一只小螞蟻從 內(nèi)切圓的圓心處開(kāi)始隨機(jī)爬行，當(dāng)螞蟻（在三角形內(nèi)部）與 邊距離不低于 1 個(gè)單位時(shí)其行動(dòng)是安全的，則這只小螞蟻在 任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 由題意，與 邊距離等于 1 個(gè)單位，組成的圖形 ABC與 似，內(nèi)切圓半徑為 1，求出 ABC與 面積比為 1： 4，即可求出這只小螞蟻在 任意行動(dòng)時(shí)安全的概率 【解答】 解：由題意，與 邊距離等于 1 個(gè)單位，組成的圖形 ABC與 似，內(nèi)切圓半徑為 1， 設(shè) 切圓的半徑為 r，則 ， r=2， ABC與 相似比為 1： 2， ABC與 面積比為 1： 4， 這只小螞蟻在 任意行動(dòng)時(shí)安全的概率是 ， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何概型，考查面積為測(cè)度，屬于中檔題 12函數(shù) f（ x）在 R 上的導(dǎo)函數(shù)為 f（ x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x，都有 f（ x） +2017 4034x，若 f（ t+1） f（ t） +4034t+2017，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 構(gòu)造函數(shù) g（ x） =f（ x） 2017017x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到 g（ t+1） g（ t），得到關(guān)于 t 的不等式，求出 t 的范圍即可 【解答】 解：設(shè) g（ x） =f（ x） 2017017x， 則 g（ x） =f（ x） 4034x+2017 0， 故 g（ x）在 R 遞減， 而 g（ t+1） g（ t） =f（ t+1） f（ t） 4034t 2017 0， 即 g（ t+1） g（ t）， 故 t+1 t，解得： t ， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題 二、填空題 （ 2017宿州一模）已知函數(shù) ，則= 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 由函數(shù)的解析式、特殊角的三角函數(shù)值先求出 的值，再求出的值 【解答】 解：由題意知， ， 則 = = =1， 所以 f（ 1） = =1，即 =1， 故答案為： 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查分段函數(shù)的函數(shù)值，對(duì)于多層函數(shù)值應(yīng)從內(nèi)到外依次求值，注意自變量的范圍，屬于基礎(chǔ)題 14在三棱錐 A ，側(cè)棱 兩垂直， 面積分 別為 、 、 ，則三棱錐 A 外接球的體積為 8 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 利用三棱錐側(cè)棱 兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，求出長(zhǎng)方體的三度，從而求出對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可求解外接球的體積 【解答】 解：三棱錐 A ，側(cè)棱 兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑， 設(shè)長(zhǎng)方體的三度為 a， b， c，則由題意得： ， ， ， 解得： a=2 ， b=2 ， c=2， 所以球的直 徑為： =2 所以球的半徑為 ， 所以三棱錐 A 外接球的體積為 =8 故答案為： 8 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，以及長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在 15已知點(diǎn) G 是 重心，內(nèi)角 A、 B、 C 所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，且，則角 B 的大小是 【考點(diǎn)】 平面向量的基本定理及其意義 【分析】 點(diǎn) G 是 重心，可得： ，由題意 ，可得 a=5， b=7， c=8，根據(jù)余弦定理可得角 B 的大小 【解答】 解：由題意：點(diǎn) G 是 重心，可得： ， ， 可得 a=5， b=7， c=8， 由余弦定理可得： ， 0 B ， B= 故答案為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查重心的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題 16直線(xiàn) l 過(guò)拋物線(xiàn) C： p 0）的焦點(diǎn) F，與拋物線(xiàn) C 交于 A、 B 兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn) D，若 |6， ，則 p= 3 【考點(diǎn)】 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 過(guò) A， B， F 向準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，利用拋物線(xiàn)的定義得出直線(xiàn) 斜率，計(jì)算 |得 F 為 中點(diǎn)，利用中位線(xiàn)定理得出 p 的值 【解答】 解： 過(guò) A， B， F 作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為 A， B， F， 則 |=|6， |=| |=p ， |2|2|， 直線(xiàn) l 的斜率為 ， |2|=12， F 是 中點(diǎn) |= |=3，即 p=3 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了拋物線(xiàn)的定義與性質(zhì)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，屬于中檔題 三、解答題（本大題共 5 小題，共 70 分 明過(guò)程或演算步驟 .） 17（ 12 分）（ 2017宿州一模）數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 足 ，且， 等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式 【分析】 （ ）由 ，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得 1，即 1由 ， 等差數(shù)列，得 2（ ） =a1+得 ，即可求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) ，確定通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【解答】 解：（ ）由 ，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得 1，即 1 由 ， 等差數(shù)列，得 2（ ） =a1+得 故數(shù)列 以 3 為首項(xiàng)， 3 為公比的等比數(shù)列，所以 n （ ） =3n+1， ，則 = = （ ）， 所以數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 （ ） +（ ） + +（ ） = （ ） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和 18（ 12 分）（ 2017宿州一模）如圖所示，四邊形 等腰梯形， 面 平面 直， C， N，點(diǎn) O、 D、E 分別是 中點(diǎn)過(guò)點(diǎn) E 作平行于平面 截面分別交 C 于點(diǎn) F、 G， H 是 中點(diǎn) （ ）證明： （ ）若直線(xiàn) 平面 成的角的正弦值為 ，求二面角 D H 的余弦值 【考點(diǎn)】 二面角的平面角及求法；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由題意知等腰梯形 直角 成二面角的平面角為 得 平面 平 面 平面 平面 可 （ ）以 O 為原點(diǎn)，分別以 ， ， 為 x 軸、 y 軸、 z 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 設(shè) OA=a， OB=b，則 O（ 0， 0， 0）， A（ a， 0， 0）， B（ 0， a， 0）， D（ 0， 0，b）， C（ a， 0， 0）利用向量法求解 【解答】 解：（ ）證明：因?yàn)辄c(diǎn) O、 D 分別是等腰梯形 底 以 C， 則 是等腰梯形 直角 成二面角的平面角為 即 平面 又平面 平面 平面 因?yàn)?面 以 （ ）以 O 為原點(diǎn)，分別以 ， ， 為 x 軸、 y 軸、 z 軸 的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示 設(shè) OA=a， OB=b，則 O（ 0， 0， 0）， A（ a， 0， 0）， B（ 0， a， 0）， D（ 0， 0，b）， C（ a， 0， 0） 所以 E（ ， F（ 0， ）， G（ ， H（ ），有 ，平面 一個(gè)法向量為 設(shè)直線(xiàn) 平 面 成 的 角 為 ，則 |= ，得 a=b 設(shè)平面 法向量為 ，由 ，取 y=1，得， 所以 = ， 因?yàn)槎娼?D H 為銳二面角，所以二面角 D H 的余弦值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了空間線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面位置關(guān)系，即向量法求空間角，屬于中檔題 19（ 12 分）（ 2017宿州一模）某綜藝節(jié)目為增強(qiáng)娛樂(lè)性，要求現(xiàn)場(chǎng)嘉賓與其場(chǎng)外好友連線(xiàn)互動(dòng)凡是拒絕表演節(jié)目的好友均無(wú)連線(xiàn)好友的機(jī)會(huì)；凡是選擇表演節(jié)目的好友均需連線(xiàn)未參加過(guò)此活動(dòng)的 3 個(gè)好友參與此活動(dòng)，以此下去 （ ）假設(shè)每個(gè)人選擇表演與否是等可能的，且互不影響，則某人選擇表演后，其連線(xiàn)的 3 個(gè)好友中不少于 2 個(gè)好友 選擇表演節(jié)目的概率是多少？ （ ）為調(diào)查 “選擇表演者 ”與其性別是否有關(guān)，采取隨機(jī)抽樣得到如表： 選擇表演 拒絕表演 合計(jì) 男 50 10 60 女 10 10 20 合計(jì) 60 20 80 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，是否有 99%的把握認(rèn)為 “表演節(jié)目 ”與好友的性別有關(guān)？ 將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機(jī)調(diào)查 3 名男性好友，設(shè) X 為 3 個(gè)人中選擇表演的人數(shù)，求 X 的分布列和期望 附： ； P（ 考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ ）利用列舉法，確定基本事件的個(gè)數(shù)，即可求出概率； （ ） 根據(jù) 2 2 列聯(lián)表，得到 可得出結(jié)論； 由題意，每名男性選擇表演的概率為 ，則 X B（ 3， ），可得 X 的分布列和期望 【解答】 解：（ ）這 3 位好友選擇表演分別記為 A， B， C，則 ， ， 分別表示這 3 位好友拒絕表演這 3 位好友參與該活動(dòng)的可能結(jié)果為 A， B， C， ，B， C， A， ， C， A， B， ， ， ， C， A， ， ， ， B， ， ， ， 共有 8 種其中 3 位好友不少于 3 位好友選擇表演的可能結(jié)果有 4種根據(jù)古典概型公式，所求概率為 P= = ； （ ） 根據(jù) 2 2 列聯(lián)表，得到 以有 99%的把握認(rèn)為 “表演節(jié)目 ”與好友的性別有關(guān) 由題意，每名男性選擇表演的概率為 ，則 X B（ 3， ）， 所以隨機(jī)變量 X 的概率分布列為： X 0 1 2 3 P 故隨機(jī)變量 X 的期望為 = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查概率的計(jì)算，考查 X 的分布列和期望，考查獨(dú)立性 檢驗(yàn)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題 20（ 12 分）（ 2017宿州一模）已知橢圓 ，焦距為 2，離心率 e 為 （ ）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ ）過(guò)點(diǎn) 作圓 的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 M、 N，直線(xiàn) x 軸交于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 交橢圓 C 于 A、 B 兩點(diǎn)，點(diǎn) F 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 G，求 面積的最大值 【考點(diǎn)】 直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系 【分析】 （ ）由橢圓的焦距為 2，離心率 e 為 求出 a， b，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ ）由題意，得 O、 M、 P、 n 四點(diǎn)共圓，該圓的方程為（ x ） 2+（ y ）2= ，圓 O 的方程為 x2+，直線(xiàn) 方程為 x+2y 1=0，設(shè) A（ B（ 則 |從而 S 大， |最大可設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 x=，由 ，得（ 3） =0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，能求出 面積的最大值 【解答】 解：（ ） 橢圓 ，焦距為 2，離心率 e 為 由題意， 2c=2，解得 c=1， 由 e= ，解得 a=2 b= 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 （ ）由題意，得 O、 M、 P、 n 四點(diǎn)共圓， 該圓的方程為（ x ） 2+（ y ） 2= ， 又圓 O 的方程為 x2+， 直線(xiàn) 方程為 x+2y 1=0，令 y=0，得 x=1， 即點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（ 1， 0），則點(diǎn) F 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 G（ 1， 0） 設(shè) A（ B（ 則 | S 大， |最大 由題意知，直線(xiàn) l 的斜率不為零，可設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 x=， 由 ，得（ 3） 9=0， ， 又 直線(xiàn) l 與橢圓 C 交于不同的兩點(diǎn)， 0，即（ 6m） 2+36（ 3） 0， m R， 則 S | = ， 令 t= ，則 t 1， S = = 令 f（ t） =t+ ，則函數(shù) f（ t）在 ， + ）上單調(diào)遞增，即當(dāng) t 1 時(shí)， f（ t）在 1， + ）上單調(diào)遞增， f（ t） f（ 1） = ， S 3 故 面積的最大值為 3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓、直線(xiàn)方程、根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用 21（ 12 分）（ 2017宿州一模）設(shè)函數(shù) （ ）討論 f（ x）的單調(diào)性； （ ）若函數(shù) f（ x）存在極值，對(duì)于任意的 0 在正實(shí)數(shù) 得 f（ f（ =f（ （ 試判斷 x1+ 2大小關(guān)系并給出證明 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （ ）分別計(jì)算 f（ f（ ），作差得到 f（ f（ ）= ，設(shè) t= ，則 t 1，得到關(guān)于 t 的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單 調(diào)性判斷即可 【解答】 解：（ ） f（ x）的定義域?yàn)椋?0， + ）， f（ x） = 4 a） = ， 當(dāng) a 0 時(shí)，則 f（ x） 0，所以 f（ x）在（ 0， + ）上單調(diào)遞增 當(dāng) a 0 時(shí)，則由 f（ x） =0 得， x= ， x= 1（舍去）； 當(dāng) x （ 0， ）時(shí)， f（ x） 0，當(dāng) x （ ， + ）時(shí)， f（ x） 0； 所以 f（ x）在（ 0， ）上單調(diào)遞增，在（ ， + ）上單調(diào)遞減； 綜上所述，當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在（ 0， + ）上單調(diào)遞增 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）在（ 0， ）上單調(diào)遞增，在（ ， + ）上單調(diào)遞減 （ ）由（ ）知，當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x）存在極值 f（ f（ =4（ a（ x1+ +（ 4 a）（ 由題設(shè)得 f（ = = a（ x1+（ 4 a）， 又 f（ ） =