第 1 頁（共 15 頁） 2015年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學試卷 一、選擇題：本大題共 15 小題，每小題 3 分，共 45 分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的 . 1設集合 M=0， 1， 2，則（ ） A 1 M B 2M C 3 M D 0 M 2若關于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2，則實數(shù) m 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 3 值等于（ ） A B C D 4函數(shù) f（ x） =定義域是（ ） A（ 1， 1） B 1， 1 C 1， 1） D（ 1， 1 5若 3x=2，則 x=（ ） A 1 1 D 6設向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 =0，則（ ） A | | | | B | | | | C | |=| | D = 7設 方程 2x+x=8 的解若 （ n， n+1）（ n N*），則 n 的值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 8要得到函數(shù) f（ x） =22x ）的圖象，只需將函 數(shù) g（ x） =22x+ ）的圖象（ ） A向右平移 個單位 B向左平移 個單位 C向右平移 個單位 D向左平移 個單位 9已知向量 ， 滿足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，則向量 ， 的夾角為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 10當 時，函數(shù) f（ x） =（ ） A最大值是 1，最小值是 1 B最大值是 1，最小值是 C最大值是 2，最小值是 2 D最大值是 2，最小值是 1 11若 a 0 且 a 1，則函數(shù) y= y= x）的圖象可能是（ ） 第 2 頁（共 15 頁） A B CD 12設 G 是 重心， a， b， c 分別是角 A， B， C 所對的邊，若 a +b +c = ，則 形狀是（ ） A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形 13若不等式 0 對任意的 x （ 0， 恒成立，則實數(shù) a 的最大值是（ ） A 2 B C 2 D 3 14函數(shù) f（ x） =（ + +2）（ +1）的值域是（ ） A 2+ ， 8 B 2+ ， +） C 2， +） D 2+ ， 4 15若直角 接于單位圓 O， M 是圓 O 內(nèi)的一點，若 | |= ，則 | + + |的最大值是（ ） A +1 B +2 C +1 D +2 二、填空題：本大題共 8 個小題，每小題 6 分 6 分 . 16若集合 A=x|x 0，則 A= ； R（ A） = 17若 10x=2， 10y=3，則 103x y= 18若扇形的半徑為 ，圓心角為 120，則該扇形的弧長等于 ；面積等于 19函數(shù) f（ x） =x R）的最小正周期為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 20設 、 （ 0， ）， +） = ， ，則 ， 21在矩形 ， ，若 P 為 的動點，則 的最小值為 22不等式 00） 2a+一切非零實數(shù) x， y 均成立，則實數(shù) a 的取值范圍為 23函數(shù) f（ x） =（ a） x+1）的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù) a 的取值范圍為 三、解答題：本大題共 2 小題，共 719 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 24在 ， | |=c， | |=b 第 3 頁（共 15 頁） （ ）若 b=3， c=5， ，求 | |； （ ）若 | |=2， 與 的夾角為 ，則當 | |取到最大值 時，求 接圓的面積 25設函數(shù) f（ x） =x2+bx+c（ a 0， b， c R），若 f（ 1+x） =f（ 1 x）， f（ x）的最小值為 1 （ ）求 f（ x）的解析式； （ ）若函數(shù) y=|f（ x） |與 y=t 相交于 4 個不同交點，從左到右依次為 A， B， C， D，是否存在實數(shù) t，使得線段 | | |構成銳角三角形，如果存在，求出 t 的值；如果不存在，請說明理由 第 4 頁（共 15 頁） 2015年浙江省杭州市高一（下）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 15 小題，每小題 3 分，共 45 分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的 . 1設集合 M=0， 1， 2，則（ ） A 1 M B 2M C 3 M D 0 M 【考點】 元素與集合關系的判斷 【分析】 根據(jù)集合中元素的確定性解答 【解答】 解：由題意，集合 M 中含有三個元素 0， 1， 2 A 選項 1 M，正確； B 選項 2M，錯誤； C 選項 3 M，錯誤， D 選項 0 M，錯誤； 故選： A 2若關于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2，則實數(shù) m 等于（ ） A 1 B 2 C 1 D 2 【考點】 不等關 系與不等式 【分析】 利用一元一次不等式的解法即可得出 【解答】 解： 關于 x 的不等式 2 0 的解集是 x|x 2， m 0， ，因此 ，解得 m=1 故選： C 3 值等于（ ） A B C D 【考點】 運用誘導公式化簡求值 【分析】 把所求式子中的角 150變?yōu)?180 30，利用誘導公式 簡后，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求出值 【解答】 解： = = 故選 D 4函數(shù) f（ x） =定義域是（ ） A（ 1， 1） B 1， 1 C 1， 1） D（ 1， 1 【考點】 函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關于 x 的不等式，解出即可 【解答】 解：由題意得： 1 0，解得： 1 x 1， 故函數(shù)的定義域是（ 1， 1）， 第 5 頁（共 15 頁） 故選： A 5若 3x=2，則 x=（ ） A 1 1 D 【考點】 指數(shù)式與對數(shù)式的互化 【分析】 由 3x=2，根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化關系可得 x=利用換底公式化為 【解答】 解： 3x=2，由指數(shù)式與對數(shù)式的互化關系可得 x=， 故選 D 6設向量 =（ x， 1）， =（ 1， y），若 =0，則（ ） A | | | | B | | | | C | |=| | D = 【考點 】 平面向量的坐標運算 【分析】 根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模即可判斷 【解答】 解： 向量 =（ x， 1）， =（ 1， y）， =0， =x+y=0， | |= ， | |= ， | |=| |， 故選： C 7設 方程 2x+x=8 的解若 （ n， n+1）（ n N*），則 n 的值為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 函數(shù)的零點與方程根的關系 【分析】 由題意可得 +8=0令 f（ x） =2x+x 8=0，由 f（ 2） 0， f（ 3） 0，可得（ 2， 3）再根據(jù) （ n， n+1）（ n N*），可得 n 的值 【解答】 解： 方程 2x+x=8 的解， +8=0 令 f（ x） =2x+x 8=0， f（ 2） = 2 0， f（ 3） =3 0， （ 2， 3） 再根據(jù) （ n， n+1）（ n N*），可得 n=2， 故選： B 8要得到函數(shù) f（ x） =22x ）的圖象，只需將函數(shù) g（ x） =22x+ ）的圖象（ ） A向右平移 個單位 B向左平移 個單位 C向右平移 個單位 D向左平移 個 單位 【考點】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 【分析】 根據(jù)函數(shù) y=x+）的圖象變換，左加右減可得答案 第 6 頁（共 15 頁） 【解答】 解： f（ x） =22x ） =2（ x ） ， g（ x） =22x+ ） =2（ x+ ） =2（ x + + ） =2（ x + ） =f（ x+ ）， 將函數(shù) g（ x） =22x+ ）的圖象向右平移 個單位，得到函數(shù) f（ x） =22x ）的圖象 故選： C 9已知向量 ， 滿足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，則向量 ， 的夾角為（ ） A 30 B 60 C 120 D 150 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 首先由已知的等式展開得到兩個向量的模壓機數(shù)量積的等式，求出兩個向量的數(shù)量積，利用數(shù)量積公式求夾角 【解答】 解：因為向量 ， 滿足 | |=4， | |=3，且（ 2 3 ） （ 2 + ） =61，所以4 ， 即 64 27 4 =61，所以 = 6，所以 ，所以 =120； 故選： C 10當 時，函數(shù) f（ x） =（ ） A最大值是 1，最小值是 1 B最 大值是 1，最小值是 C最大值是 2，最小值是 2 D最大值是 2，最小值是 1 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用 【分析】 首先對三角函數(shù)式變形，提出 2 變?yōu)榉蟽山呛偷恼夜叫问剑鶕?jù)自變量的范圍求出括號內(nèi)角的范圍，根據(jù)正弦曲線得到函數(shù)的值域 【解答】 解： f（ x） =2（ =2x+ ）， ， 第 7 頁（共 15 頁） f（ x） 1， 2， 故選 D 11若 a 0 且 a 1，則函數(shù) y= y= x）的圖象可能是（ ） A B CD 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 直接根據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷 【解答】 解：當 a 1 時，由 y= x）可知函數(shù)的定義域為 x 0，且函數(shù)單調(diào)遞減，y=調(diào)遞增， 當 0 a 1 時，由 y= x）可知函數(shù)的定義域為 x 0，且函數(shù)單調(diào)遞增， y=調(diào)遞減， 故選： B 12設 G 是 重心， a， b， c 分別是角 A， B， C 所對的邊，若 a +b +c = ，則 形狀是（ ） A直角三角形 B等邊三角形 C鈍角三角形 D等腰直角三角形 【考點】 向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義 【分析】 利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四邊形法則即可得出 【解答】 解： G 是 重心， = ， = ， =， 又 a +b +c = ， （ a b） +（ a c） +（ b c） = ， a b=a c=b c， a=b=c 形狀是等邊三角形 故選： B 13若不等式 0 對任意的 x （ 0， 恒成立，則實數(shù) a 的最大值是（ ） A 2 B C 2 D 3 【考點】 三角函數(shù)的最值 第 8 頁（共 15 頁） 【分析】 利用換元法令 t=等式可整理為 0 恒成立，得 ，利用分離常 數(shù)法求出實數(shù) a 的最大值即可 【解答】 解：設 t= x （ 0， ， t （ 0， 1， 則不等式即為 0 在 t （ 0， 1恒成立， 即 在 t （ 0， 1恒成立， a 3 故選： D 14函數(shù) f（ x） =（ + +2）（ +1）的值域是（ ） A 2+ ， 8 B 2+ ， +） C 2， +） D 2+ ， 4 【考點】 函數(shù)的值域 【分析】 容易得出 f（ x）的定義域為 1， 1，并設 ，兩邊平方，根據(jù) 且得出 ，從而得出 ，求導，根據(jù)導數(shù)在 上的符號即可判斷函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，從而得出 y 的范圍，即得出函數(shù) f（ x）的值域 【解答】 解： f（ x）的定義域為 1， 1； 設 ，則 ； 1 x 1； 0 1 1， ； 2 4； ，且 ，設 y=f（ x）； ； ，令 y=0 得， ，或 0； 在 上單調(diào)遞增； 時， y 取最小值 ， t=2 時， y 取最大值 8； ； 原函數(shù)的值域為 故選 A 第 9 頁（共 15 頁） 15若直角 接于單位圓 O， M 是圓 O 內(nèi)的一點，若 | |= ，則 | + + |的最大值是（ ） A +1 B +2 C +1 D +2 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 由直角三角形可知 O 為斜邊 中點，于是 + + =2 + =3 + ，所以當 和 同向時，模長最大 【解答】 解：設直角三角形的斜邊為 直角 接于單位圓 O， O 是 中點， | + + |=|2 + |=|3 + |， 當 和 同向時， |3 + |取得最大值 |3 |+| |= +1 故選： C 二、填空題：本大題共 8 個小題，每小題 6 分 6 分 . 16若集合 A=x|x 0，則 A= （ ， 0 1， +） ； R（ A） = （ 0， 1） 【考點】 補集及其運算 【分析】 求出 A 中不等式的解集確定出 A，根據(jù)全集 R 求出 A 的補集即可 【解答】 解：由 A 中不等式變形得： x（ x 1） 0， 解得： x 0 或 x 1，即 A=（ ， 0 1， +）， 則 0， 1）， 故答案為：（ ， 0 1， +）；（ 0， 1） 17若 10x=2， 10y=3，則 103x y= 【考點】 對數(shù)的運算性質(zhì) 【分析】 根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可 【解答】 解： 10x=2， 10y=3， 103x y=103x 10y=（ 10x） 3 10y=23 3= ， 故答案為： 18 若扇形的半徑為 ，圓心角為 120，則該扇形的弧長等于 ；面積等于 3 【考點】 扇形面積公式；弧長公式 【分析】 利用扇形的弧長公式，面積公式即可直接計算得解 【解答】 解：設扇形的弧長為 l，扇形的面積為 S， 圓心角大小為 = （ 半徑為 r=， 則 l= ，扇形的面積為 S= = 3 第 10 頁（共 15 頁） 故答案為： ， 3 19函數(shù) f（ x） =x R）的最小正周期為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 根據(jù)二倍角公式、兩角和的正弦公式化簡解析式，由周期公式求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的減區(qū)間、整體思想求出 f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間 【解答】 解：由題意得， f（ x） =， 最小正周期 T= =， 由 得， ， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)遞減區(qū)間是 ， 故答案為： ； 20設 、 （ 0， ）， +） = ， ，則 ， 【考點】 兩角和與差的正切函數(shù) 【分析】 由 值，利用二倍角的正切函數(shù)公式求出 值大于 1，確定出 的范圍，進而 值，再由 +）的值范圍求出 + 的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出 +）的值，所求式子的角 =+ ，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化 簡后，將各自的值代入計算即可求出值 【解答】 解： ， （ 0， ）， = 1， （ ， ）， = ， = ， +） = ， 第 11 頁（共 15 頁） + （ ， ）， +） = ， 則 +） =+） +） + = ， ， 故答案為： ， 21在矩形 ， ，若 P 為 的動點，則 的最小值為 1 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 【分析】 建立平面直角坐標系，求出各向量的坐標，代入向量的數(shù)量積公式得出關于 P 點橫坐標 a 的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值 【解答】 解：以 A 為原點，以 坐標軸建立平面直角坐標系如圖： 則 A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， C（ 2， 1），設 P（ a， 1）（ 0 a 2） =（ a， 1）， =（ 2 a， 1）， =（ 0， 1）， =a（ a 2） +1（ 1） =2a+2=（ a 1） 2+1 當 a=1 時， 取得最小值 1 故答案為： 1 22不等式 00） 2a+一切非零實數(shù) x， y 均成立，則實數(shù) a 的取值范圍為 （， 2 ） 【考點】 函數(shù)恒成立問題 【分析】 問題轉化為 2a 00） z=00） 據(jù)對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)求出 z 的最小值 ，從而求出 a 的范圍即可 【解答】 解：不等式 00） 2a+一切非零實數(shù) x， y 均成立， 2a 00） 第 12 頁（共 15 頁） 令 z=00） z 1=9， 2a 9，解得： a 2 則實數(shù) a 的取值范圍為（ ， 2 ） 23函數(shù) f（ x） =（ a） x+1）的圖象經(jīng)過四個象限，則實數(shù) a 的取值范圍為 （， 0） 【考點】 函數(shù)的圖象 【分析】 討論當 x 0，和 x 0 時，函數(shù) g（ x） =a 的取值情況，利用參數(shù)分離法進行求解即可 【解答】 解：函數(shù)的定義域為（ 1， +），設 g（ x） =a， 若 1 x 0， x+1） 0，此時要求 g（ x）在 1 x 0 經(jīng)過二、三， 即此時 ，即 ，此時 a 0， 當 x=0 時， f（ 0） =0，此時函數(shù)圖象過原點， 當 x 0 時， x+1） 0，此時要求 g（ x）經(jīng)過一四象限， 即 x 0 時， a 0，有解， 即 a（ x 2） 解， 當 x=2 時，不等式等價為 0 4，成立， 當 0 x 2 時， a ， 此時 0， 此時 a 0， 當 x 2 時，不等式等價為 a ， = =（ x 2） + +4 4+2 =4+2 2=4+4=8， 若 a 有解，則 a 8， 即當 x 0 時， a 0 或 a 8， 綜上 a| a 0a|a 0 或 a 8=a| a 0=（ ， 0）， 故答案為：（ ， 0） 三、解答題：本大題共 2 小題，共 719 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 24在 ， | |=c， | |=b 第 13 頁（共 15 頁） （ ）若 b=3，