第四章 立體的投影 4體及其表面上的點(diǎn)和線 平面立體 由若干個(gè)平面圍成的實(shí)體。 工程上常用的平面立體是棱柱和棱錐（棱臺(tái)）。 棱臺(tái) 棱柱 棱錐 一、 平面立體 V 體的投影，實(shí)質(zhì)上是構(gòu)成該體的所有表面的投影總和。 繪制平面立體的投影，就是繪制平面立體上各平面間的交線和各頂點(diǎn)的投影。 平面體的投影特征： 平面立體上各組成平面的投影，一般表現(xiàn)為一個(gè)封閉的線框，特殊則積聚為一直線。 投影圖上各線框的分界線，表示物體表面發(fā)生變化（凹、凸或轉(zhuǎn)折） 棱柱的組成 由 兩個(gè)底面和若干側(cè)棱面 組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線， 側(cè)棱線相互平行 。 V W Z X Y 分析三棱柱的形狀及各表面間的相對位置； b a e c d b(c) a(d) e(f) a b c d (e) (f) B E C D F A 分析三棱柱各表面的可見性。 (2) 正三棱柱的投影圖 O X Z H b(c) a(d) e(f) 正三棱柱的投影圖 a d b (e) c (f) b a e c d f 例題 求立體的側(cè)面投影 (3) 屬于棱柱表面的點(diǎn) 當(dāng)點(diǎn)屬于幾何體的某個(gè)表面時(shí)，則該點(diǎn)的投影必在它所從屬表面的各同面投影范圍內(nèi)。 O X Z H a a a 若該表面的投影可見，則該點(diǎn)同面投影也可見；反之為不可見。 O X Z H a (b) a b a b V X Y Z 分析：它由底面 2 、 棱錐 a b c s s b a (c) a s b A S C B 底面為水平面，他面為一般位置平面。 O X Z H s b a (c) a s b c a b c s （ 1）正三棱錐的投影圖 V X Y Z a b s s b a a s b A S B C c （ 2） 棱錐表面上的點(diǎn) 屬于一般位置平面的點(diǎn)投影，可通過在平面上作輔助線的方法求得。 己知棱面求點(diǎn)用輔助線法）。 1 1 M m m m O X Z H s b a (c) a s b c a b c s 棱錐表面點(diǎn)的投影確定 1 1 m m m O X Z H s b a (c) a s b c a b c s n (n) n 屬于特殊位置平面的點(diǎn)的投影，可利用該平面的積聚性作圖。 二、 曲面立體 曲面立體 ：由曲面或曲面和平面圍成的立體 形成回轉(zhuǎn)面的定線稱為 軸線 ,動(dòng)線稱為 母線 ,母線在回轉(zhuǎn)面上任意位置稱為 素線 。 軸線 母線 一動(dòng)線繞一定線回轉(zhuǎn)一周后形成的曲面稱為回轉(zhuǎn)面。 1、 圓柱體 圓柱體表面由圓柱面和上、下兩個(gè)平面組成。圓柱面由直線 O O A B 母線 素線 1）圓柱的投影圖 a b c d 3. 圓柱 O O 對 對 影 輪廓線 分析圓柱輪廓素線的投影 影 輪廓 素線 轉(zhuǎn)向 輪廓線 2） 圓柱體表面上取點(diǎn) 已知圓柱表面點(diǎn) m，求其余投影。 根據(jù) m的位置，可斷定點(diǎn) m m m 因圓柱的水平投影有積聚性，故 m(可見）可由 m和 例：圓柱表面上取點(diǎn) a b a a A (c) c c (b) b B C 2、圓錐體 形成： 錐面可看作直線 構(gòu)成： 圓錐體由圓錐面，底面（平面）所圍成。 O O S A 母線 素線 Z V Y X c s d a (b) 圓錐水平投影圖是一個(gè)圓線框，正面、側(cè)面投影圖是兩個(gè)全等的三角形線框。 水平投影的圓線框，反映圓錐底面的實(shí)形，同時(shí)也表示圓錐的投影。 c a b d a s b c (d) S A C 最前輪廓素線 最左輪廓素線 S s s 對 輪廓線 對 輪廓線 輪廓線投影 的對應(yīng)關(guān)系 圓錐面投影 可見性判斷 s 1) 圓錐體的投影 圓錐輪廓 素線的投影 圓錐輪 廓素線 最左 最右 最前 最后 S A s a c b d a c s s d b b(d) 已知圓錐表面點(diǎn) m，求 m和 m。 (1)輔助素線法 m 1 1 m m o s s s s X Z O W M 2） 屬于圓錐體表面的點(diǎn) (2) 輔助圓法 M X Z O W s s s m m m 形成：圓球可看作是一圓 (母線 )圍繞直徑回轉(zhuǎn)而成。 回轉(zhuǎn)軸 素線圓 3、 圓球 母線圓 圓球的三面投影均為回轉(zhuǎn)圓。 Z Y X W 平行于 的輪廓圓 平行 平行于 a b c O O 1）圓球的投影圖形 Z O 三個(gè)投影均為平行于投影面的最大圓的投影（轉(zhuǎn)向輪廓線的投影）。 Z O ） 屬于球體表面的點(diǎn) 已知點(diǎn) m，求其他兩面投影。 采用輔助圓法。 m m m M Z O ） 屬于球體表面的點(diǎn) 已知點(diǎn) 其他兩面投影。 采用輔助圓法。 d （ d） （ d ） (1) 圓環(huán)的形成 (2) 圓環(huán)的畫法 4平面與平面 立體表面相交 截交線：平面與立體相交而產(chǎn)生的交線 。 截平面 截交線 斷面 截交線的性質(zhì)： （ 1）截交線是截平面與立體表面的共有線； （ 2）由于任何立體都有一定大小和形狀，截交線一定是閉合的平面圖形。 分析截平面與體的相對位置 分析截平面與投影面的相對位置 確定截交線 的投影特性 1. 空間及投影分析 2. 畫出截交線的投影 求出截平面與被截棱線的 交點(diǎn)，并判斷可見性。 依次連接各頂點(diǎn)成多邊形， 注意可見性。 3. 完善輪廓。 確定截交 線的形狀 求截交線的步驟： 交線的形狀？ 截平面與體的幾個(gè)棱面相交？ 投影分析 例：求四棱錐被截切后的三面投影。 空間分析 求截交線 分析棱線的投影 3 2 1 (4) 1 2 4 3 1 2 4 3 注意： 要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先假想為整體被截切，求出截交線后再取局部。 例：補(bǔ)全六棱柱被截切后的俯視圖和左視圖。 1(3) 2(4) 1(2) 2 1 3(4) 例 試求正四棱錐被兩平面截切后的投影 Q P 分析： 形體分析與投影分析； 1 6 (5) (4) (8) 1 2 3 6 7 2 3 4 1 3 2 5 5 7 8 6 7 8 作圖 : 求水平面、正垂面與立體的交線 4 1 6 (5) (4) (8) 1 2 3 6 7 2 3 4 1 3 2 5 5 7 8 6 7 8 作圖 : 求水平面、正垂面與立體的交線 4 作圖 : 整理、加深 1 6 (5) (4) (8) 1 2 3 6 7 2 3 4 1 3 2 5 5 7 8 6 7 8 4 作圖 : 檢查、完成 4平面與回轉(zhuǎn)體表面相交 （ a) 頂尖 (b) 撥叉軸 以下零件的截交線？ 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的 共有線 。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形 狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對位置 。 * 求截交線的方法： 求截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)。 與軸線平行 與軸線垂直 與軸線傾斜 平面與圓柱面的交線 截面位置 軸 測 圖 投 影 圖 一、平面與圓柱相交 分析： 截交線正面投影積聚為直線，水平投影在圓周上。可利用 面投影求截交線側(cè)面投影。 例 求斜截圓柱體的投影 截交線的空間形狀？ 找特殊點(diǎn) 補(bǔ)充中間點(diǎn) 光滑連接各點(diǎn) 分析輪廓素線的投影 橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。 45 什么情況下投影為圓呢？ 截平面與圓柱軸線成 45 時(shí)。 橢圓的長、短軸隨截平面與圓柱軸線夾角的變化而改變。 什么情況下投影為圓呢？ 截平面與圓柱軸線成 45 時(shí)。 45 空間及投影分析 求截交線 完善圓柱輪廓 截平面與體的相對位置 截平面與投影面的相對位置 解題步驟： 同一立體被多個(gè)平面截切，要逐個(gè)截平面進(jìn)行截交線的分析和作圖。 例 :求作圓柱切口開槽后的視圖 1(2) 3(4) 1 2 4(2) 3(1) 3 4 4 2 1 3 例 :結(jié)果和立體圖 1(2) 3(4) 1 2 4(2) 3(1) 3 4 4 2 1 3 例：求圖示物體的三面投影 例：求圖示物體的 =90 二、 平面與圓錐相交 過錐頂 兩相交直線 圓 根據(jù)平面與圓錐軸線的相對位置不同，平面與圓錐面的交線有五種形狀。 90 0 橢圓 拋物線 雙曲線 P S 求解時(shí)先確定截交線的特殊點(diǎn)，再求一般點(diǎn)。 輔助素線法求截交線 ：截交線上任一點(diǎn)M，可看成是圓錐面上某一素線 的交點(diǎn)。因 點(diǎn) 特殊點(diǎn) P S c a b a b c b a 特殊點(diǎn) c 一般點(diǎn) 由點(diǎn)連線 整理加深 利用輔助平面法求截交線 a b c a b c b a c 特殊點(diǎn) 輔助圓定點(diǎn) b c a b c b a d a c d 一般點(diǎn) 描深圖線 d b d c e c a d 例 :圓錐被正平面截切，補(bǔ)全正面投影圖。 E D C A B b a 截交線的空間形狀？ 截交線的投影特性？ e 三 . 平面與球面相交 平面與圓球相交， 截交線的形狀都是圓 ，但根據(jù)截平面與投影面的相對位置不同，其 截交線的投影可能為圓、橢圓或積聚成一條直線 。 當(dāng)截平面 平行于 某一投影面時(shí)，截交線在 該投影面 上的投影為 圓 的實(shí)形， 其它兩面 投影積聚為 直線 。 例：求半球體截切后的水平投影和側(cè)面投影。 兩個(gè)側(cè)平面與圓球面的交線的投影，在側(cè)面投影圖上為部分圓弧，在水平投影圖上積聚為直線。 水平面與圓球面的交線的投影，在 水平 投影圖上為部分圓弧，在 側(cè)面投影圖上積聚為直線。 相貫線是 由若干段平面曲線或直線組成的 空間折線 ，每一段是平面體的 棱面與回轉(zhuǎn)體表面的交線。 五、平面體與回轉(zhuǎn)體相貫 求交線的實(shí)質(zhì)是 求各棱面與回轉(zhuǎn)面的截交線。 相貫 兩立體相交 例：求作主視圖 空間及投影分析 求相貫線 分析輪廓線 的投影 例：求作主視圖 兩個(gè) 回轉(zhuǎn)體 相交，其表面交線稱為相貫線。 4兩回轉(zhuǎn)體表面相交 求相貫線的方法： 求相貫線的實(shí)質(zhì)即是求兩回轉(zhuǎn)體表面一系列共有點(diǎn)，然后依次光滑地連接即為相貫線。 相貫線一般為光滑封閉的空 間曲線，它是兩回轉(zhuǎn)體表面 的共有線。 一、回轉(zhuǎn)體與回轉(zhuǎn)體相貫 作圖方法 利 用積聚性法（ 表面取點(diǎn)法） 輔助平面法 先找特殊點(diǎn)。 作圖過程 補(bǔ)充中間點(diǎn) 。 確定交線的 彎曲趨勢 確定交線 的范圍 1、 利 用積聚性法 先找特殊點(diǎn)。 補(bǔ)充中間點(diǎn)。 確定交線的 彎曲趨勢 確定交線 的范圍 利用積聚性，采用表面取點(diǎn) 。 例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。 空間及投影分析： 小圓柱的水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影積聚在該圓上。 大圓柱的側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影積聚在該圓上，為兩圓柱面共有的一段圓弧。 先找特殊點(diǎn)。 補(bǔ)充中間點(diǎn)。 例 1 ：圓柱與圓柱相貫，求其相貫線。 2、利用輔助平面法求相貫線 根據(jù)三面共點(diǎn)的原理，用一輔助平面截切兩回轉(zhuǎn)面，得到兩條截交線，求兩截交線的共有點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn) ， 從而畫出相貫線 選擇輔助平面原則： 選在兩回轉(zhuǎn)面的相交范圍內(nèi)； 它與回轉(zhuǎn)面的截交線應(yīng)是圓或直線。 作圖步驟 ： 作輔助平面與相貫的兩立體相交 分別求出輔助平面與相貫的兩立體表面的交線 求出交線的交點(diǎn)（即相貫線上的點(diǎn)） 選輔助平面的原則： 要使輔助平面與兩立體表面交線的投影為直線或圓。 例：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 水平面 圓錐面的交線為圓，圓與兩直線的交點(diǎn)即為相貫線上的點(diǎn)。 P 例 ：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 求特殊點(diǎn) 例 ：圓柱與圓錐相貫，求其相貫線的投影。 用輔助平面法 求中間點(diǎn)