第0章 矢量分析基礎(chǔ) 一、矢量和標(biāo)量的定義 1.標(biāo)量：只有大小，沒(méi)有方向的物理量。 矢量表示為： 所以：一個(gè)矢量就表示成矢量的模與單位矢量的乘積。 其中： 為矢量的模，表示該矢量的大小。 為單位矢量，表示矢量的方向，其大小為1。 2.矢量：不僅有大小，而且有方向的物理量。 如:力 、速度 、電場(chǎng) 等 如：溫度 T、長(zhǎng)度 L 等 二、矢量的運(yùn)算法則 1.加法: 矢量加法是矢量的幾何和,服從平行四邊形規(guī)則。 a.滿(mǎn)足交換律： b.滿(mǎn)足結(jié)合律： 三個(gè)方向的單位矢量用 表示。 根據(jù)矢量加法運(yùn)算： 所以： 在直角坐標(biāo)系下的矢量表示: 其中： 矢量： 模的計(jì)算： 單位矢量： 方向角與方向余弦： 在直角坐標(biāo)系中三個(gè)矢量加法運(yùn)算： 2.減法：換成加法運(yùn)算 逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互為逆矢量。 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的減法運(yùn)算： 推論： 任意多個(gè)矢量首尾相連組成閉合多邊形，其矢量和必為零。 3.乘法： （1）標(biāo)量與矢量的乘積： 方向不變，大小為|k|倍 方向相反，大小為|k|倍 （2）矢量與矢量乘積分兩種定義 a. 標(biāo)量積（點(diǎn)積）： 兩矢量的點(diǎn)積含義： 一矢量在另一矢量方向上的投影與另一矢量模的乘積， 其結(jié)果是一標(biāo)量。 在直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)坐標(biāo)軸是相互正交的，即 有兩矢量點(diǎn)積： 結(jié)論: 兩矢量點(diǎn)積等于對(duì)應(yīng)分量的乘積之和。 推論1：滿(mǎn)足交換律 推論2：滿(mǎn)足分配律 推論3：當(dāng)兩個(gè)非零矢量點(diǎn)積為零,則這兩個(gè)矢量必正交。 推論1：不服從交換律： 推論2：服從分配律： 推論3：不服從結(jié)合律： 推論4：當(dāng)兩個(gè)非零矢量叉積為零，則這兩個(gè)矢量必平行。 b.矢量積（叉積）： 含義： 兩矢量叉積，結(jié)果得一新矢量，其大小為這兩個(gè)矢量 組成的平行四邊形的面積，方向?yàn)樵撁娴姆ň€(xiàn)方向，且三 者符合右手螺旋法則。 在直角坐標(biāo)系中，兩矢量的叉積運(yùn)算如下： 兩矢量的叉積又可表示為： x y z o （3）三重積： 三個(gè)矢量相乘有以下幾種形式： 矢量，標(biāo)量與矢量相乘。 標(biāo)量，標(biāo)量三重積。 矢量，矢量三重積。 a. 標(biāo)量三重積 法則：在矢量運(yùn)算中,先算叉積,后算點(diǎn)積。 定義： 含義： 標(biāo)量三重積結(jié)果為三矢量構(gòu)成 的平行六面體的體積 。 注意：先后輪換次序。 推論：三個(gè)非零矢量共面的條件。 在直角坐標(biāo)系中： b.矢量三重積： 4. 矢量的微積分 (a) 矢量的微分 只要把矢量的性質(zhì)應(yīng)用于標(biāo)量的導(dǎo)數(shù)公式即可： 作為(1)式的特例，對(duì)直角坐標(biāo)下的矢量： 有 作為(2)式的例子，在球坐標(biāo)下的矢量： 有 (b) 矢量的積分 （1）對(duì)時(shí)間 t 的積分： （2）沿曲線(xiàn) s 的線(xiàn)積分： 例2： 求：中的標(biāo)量 a、b、c。 解： 則： 設(shè) 例3： 已知 求：確定垂直于 、 所在平面的單位矢量。 解：已知所得矢量垂直于 、 所在平面。 已知A點(diǎn)和B點(diǎn)對(duì)于原點(diǎn)的位置矢量為 和 ， 求：通過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)的直線(xiàn)方程。 例4：