2/30重難點(diǎn)22立體幾何中的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題【全國(guó)通用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義法求外接球問(wèn)題】 4【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】 5【題型3截面法求外接球問(wèn)題】 6【題型4棱切球模型問(wèn)題】 7【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】 7【題型6多球相切問(wèn)題】 8【題型7外接球之二面角模型】 9【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】 10【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】 10【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】 111、立體幾何中的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題球的切、接問(wèn)題是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計(jì)算能力，難度中等.其關(guān)鍵點(diǎn)是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問(wèn)題來(lái)解決，球的切、接問(wèn)題求解方法多種多樣，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.知識(shí)點(diǎn)1正方體、長(zhǎng)方體與球的切、接問(wèn)題1．正方體與球的切、接問(wèn)題(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長(zhǎng)a.(2)棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對(duì)角線長(zhǎng).(3)外接球：外接球直徑2R=正方體體對(duì)角線長(zhǎng).2．長(zhǎng)方體與球外接球：外接球直徑2R=體對(duì)角線長(zhǎng)(a,b,c分別為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高).知識(shí)點(diǎn)2正棱錐與球的切、接問(wèn)題1．正棱體與球的切、接問(wèn)題(1)內(nèi)切球：(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，h為正棱錐的高.(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，(正棱錐外接球半徑為R，高為h).知識(shí)點(diǎn)3正四面體的外接球、內(nèi)切球1．正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長(zhǎng)為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則，，，.知識(shí)點(diǎn)4正三棱柱的外接球1．正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點(diǎn)為其外接球球心.若正三棱柱的高為h柱，正三棱柱的外接球半徑為R，則.知識(shí)點(diǎn)5圓柱、圓錐的外接球1．圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).2．圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).知識(shí)點(diǎn)6空間幾何體與球的切、接問(wèn)題的解題策略1．常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：常見(jiàn)的與球有關(guān)的組合體問(wèn)題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決方案：2．空間幾何體外接球問(wèn)題的求解方法：空間幾何體外接球問(wèn)題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見(jiàn)的求解方法有如下幾種：(1)定義法：利用平面幾何體知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.(2)補(bǔ)形法：若球面上四點(diǎn)P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.(3)截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解.3．內(nèi)切球問(wèn)題的求解策略：(1)找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作過(guò)球心的截面來(lái)解決.(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.【題型1定義法求外接球問(wèn)題】【例1】（2025·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）若半徑為1的球與正三棱柱的各個(gè)面均相切，則該正三棱柱外接球的表面積為（

）A．4π B．5π C．16π【變式1-1】（2025·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體PABC中，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且AC⊥BC，PC⊥DE，AB=2，則該四面體的外接球體積為（

）A．4π B．23π C．4【變式1-2】（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐S?ABC中，AC=BC=2，∠ACB=2π3，側(cè)棱長(zhǎng)都等于25，其中S,A,B,C在球O的表面上，則球A．12π B．15π C．20π【變式1-3】（2025·遼寧鞍山·模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)?秦?漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知PA⊥平面ABCE，四邊形ABCD為正方形，AD=23,ED=1，若鱉臑P?ADE的體積為2，則陽(yáng)馬P?ABCD外接球的表面積為（

A．144π B．36π C．24π【題型2補(bǔ)形法求外接球問(wèn)題】【例2】（2025·湖南·二模）如圖，在四面體P?ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥CB,PA=AC=2BC=2，則此四面體的外接球表面積為（

）A．3π B．9π C．36π【變式2-1】（2025·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）農(nóng)歷五月初五是端午節(jié)，民間有吃粽子的習(xí)慣，粽子又稱粽粒，俗稱“粽子”，古稱“角黍”，是端午節(jié)大家都會(huì)品嘗的食品，傳說(shuō)這是為了紀(jì)念戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)大臣、愛(ài)國(guó)主義詩(shī)人屈原．如圖，三角形是底邊和腰長(zhǎng)分別為8cm和12cm的等腰三角形的紙片，將它沿虛線（中位線）折起來(lái)，可以得到如圖所示粽子形狀的四面體，若該四面體內(nèi)包一蛋黃（近似于球）.則蛋黃的半徑的最大值為（

）A．142 B．144 C．152【變式2-2】（24-25高一下·江蘇南京·期末）如圖，四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=4，PC與平面ABCD所成角的大小為θ，且tanθ=223，則四棱錐A．26π B．28πC．34π D．14π【變式2-3】（2025·甘肅白銀·三模）如圖，在三棱錐P?ABC中，AB⊥AC,PA⊥平面ABC，PA=3,AB=1,AC=2，D，E，F(xiàn)分別是棱PB，PC，BC的中點(diǎn)，則三棱錐A?DEF的外接球的表面積為（

）A．5π2 B．7π2 C．【題型3截面法求外接球問(wèn)題】【例3】（2025·廣東佛山·一模）已知圓臺(tái)的高為1，下底面的面積16π，體積為373πA．64π B．81π C．100π【變式3-1】（2025·安徽·一模）已知三棱錐P?ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=BC=22，AC=23，則球O的表面積為（A．40π3 B．20π C．27【變式3-2】（2024·安徽·三模）已知圓臺(tái)O1O2的上?下底面面積分別為4π,36π，其外接球球心O滿足O1A．20513 B．101013 C．【變式3-3】（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱臺(tái)ABCD?EFGH的上底面積為16，下底面積為64，且其各個(gè)頂點(diǎn)均在半徑R=57的球O的表面上，則該四棱臺(tái)的高為（

A．2 B．8 C．2或12 D．4或8【題型4棱切球模型問(wèn)題】【例4】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，其棱切球的體積為（

）A．2π B．6π C．23【變式4-1】（2025·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）已知棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1D1的中心為A．3π,?6π B．3π【變式4-2】（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圓面是底，圓的半徑記為R，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高，記為H，則球冠的曲面面積S=2πRH.球O是棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A′B′C

A．22?1π B．42?1π【變式4-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）若將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，八個(gè)頂點(diǎn)共截去八個(gè)三棱錐，可得到一個(gè)有十四個(gè)面的多面體.它的各棱長(zhǎng)都相等，其中八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形，如圖所示，已知該多面體過(guò)A，B，C三點(diǎn)的截面面積為63，則其棱切球（球與各棱相切）的表面積為【題型5內(nèi)切球模型問(wèn)題】【例5】（2025·吉林·模擬預(yù)測(cè)）一圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面直徑為4，母線長(zhǎng)為5，則內(nèi)切于該圓臺(tái)的球體體積為（

）A．4π5 B．4π3 C．【變式5-1】（2025·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)等于底面的圓半徑的2倍，那么該圓錐的表面積與圓錐的內(nèi)切球表面積之比為（

）A．32 B．94 C．36【變式5-2】（2025·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)ABC?A1BA．3 B．4 C．5 D．6【變式5-3】（2025·黑龍江吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知圓臺(tái)的母線與下底面所成角的正弦值為32，則此圓臺(tái)的表面積與其內(nèi)切球（與圓臺(tái)的上下底面及每條母線都相切的球）的表面積之比為（

A．43 B．32 C．83【題型6多球相切問(wèn)題】【例6】（2025·山東·模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)軸截面是邊長(zhǎng)為23的正三角形的圓錐形封閉容器，放入一個(gè)小球O2后，還可以放入一個(gè)半徑為1的小球O1，則小球OA．4243 B．1243 C．481【變式6-1】（2025·重慶·三模）棱長(zhǎng)為43的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球，則這樣一個(gè)小球的體積最大為（

A．82π3 B．42π3【變式6-2】（2025·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，裝滿水的圓臺(tái)形容器內(nèi)放進(jìn)半徑分別為2和4的兩個(gè)鐵球，小球與容器底和容器壁均相切，大球與小球、容器壁、水面均相切，此時(shí)容器中水的體積為.

【變式6-3】（2025·山東泰安·二模）如圖，在母線長(zhǎng)為4+23，高為3+23的倒置圓錐形容器（不計(jì)厚度）內(nèi)放置一個(gè)底面半徑為1的圓柱體.現(xiàn)向圓柱側(cè)面與圓錐側(cè)面所夾空間內(nèi)放入若干小球，所有小球均與圓柱側(cè)面，圓錐側(cè)面及圓錐底面所在平面相切，則這樣的小球最多能放入【題型7外接球之二面角模型】【例7】（2025·黑龍江大慶·一模）已知正三棱錐A?BCD的底面邊長(zhǎng)為6，二面角A?BC?D的余弦值為34，則正三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

A．2561313π B．6251313π【變式7-1】（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC=2，D為斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACD沿AD折起，使C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′，且二面角C′?AD?B的大小為90°，當(dāng)BCA．102 B．62 C．6【變式7-2】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A?BCD中，AB=AC=2,?BC=CD=2,?∠BCD=120°，若三棱錐A?BCD的外接球表面積為A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．45°【變式7-3】（2025·河南鶴壁·二模）如圖，在三棱錐A?BCD中，△ABC和△BCD均為邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若二面角A?BC?D的大小為90°，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

A．5π B．C．6π D．【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問(wèn)題】【例8】（2025·重慶·三模）已知某圓錐的外接球的體積為500π3，若球心到該圓錐底面的距離為4，則該圓錐體積的最大值為（

A．9π B．27π C．18π D．48π【變式8-1】（2025·湖南·二模）在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=6，E為線段CA．323π B．40003π27 【變式8-2】（2025·四川廣安·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P?ABC中，三條棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=2.若點(diǎn)Q為三棱錐P?ABC的外接球球面上任意一點(diǎn)，則Q到面ABC距離的最大值為（

）A．3+6 B．C．32+6【變式8-3】（2025·四川成都·二模）直觀想象是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，現(xiàn)有大小完全相同的10個(gè)半徑為r的小球，全部放進(jìn)棱長(zhǎng)為8+46的正四面體盒子中，則r的最大值為（

A．12 B．1 C．32【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問(wèn)題】【例9】（2025·云南昭通·模擬預(yù)測(cè)）已知球O的半徑為3，正方體ABCD?A1B1C1D1所有頂點(diǎn)均在球面上，點(diǎn)M是棱A．5π B．4π C．3π【變式9-1】（2025·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=4，點(diǎn)D滿足AD=3DC，三棱錐P?ABC的外接球?yàn)榍騉，過(guò)點(diǎn)D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最大值與最小值之差為4π，則球OA．16π B．20π C．24π【變式9-2】（2025·廣東·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M,N分別為A．π2 B．2π3 C．π【變式9-3】（2025·云南曲靖·一模）已知正三棱錐P?ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=43，AB=6，過(guò)棱AB作球O的截面，則所得截面面積的取值范圍是（

A．9π,12π B．9π,16π【題型10\t"/gzsx/zsd28893/_blank"\o"多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題"多面體與球體內(nèi)切外接綜合問(wèn)題】【例10】（2025·天津河?xùn)|·二模）已知正方體的邊長(zhǎng)為a，其外接球體積與內(nèi)切球表面積的比值為32，則a的值為（

A．3 B．2 C．5 D．3【變式10-1】（2025·陜西漢中·模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐P?ABC中，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，記三棱錐P?ABC內(nèi)切球、外接球的半徑分別為r,R，則rR=（A．16 B．38 C．13?1【變式10-2】（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）四棱錐P?ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且PA=PB=PC=PD=5，設(shè)該四棱錐的外接球球心與內(nèi)切球球心分別為O1，O2，則OA．0 B．36 C．33 【變式10-3】（2025·天津和平·一模）已知正四面體ABCD（四個(gè)面都是正三角形），其內(nèi)切球（與四面體各個(gè)面都相切的球）表面積為π6，設(shè)能裝下正四面體ABCD的最小正方體的體積為V1，正四面體ABCD的外接球（四面體各頂點(diǎn)都在球的表面上）體積為V2，則VA．316π B．68π C．一、單選題1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為6，其內(nèi)切球和外接球球心重合，則該圓錐外接球的表面積為（

）A．48π B．36π C．24π D．12π2．（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1DA．80π B．91π C．128π3．（2025·福建龍巖·二模）已知正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1的上，下底面邊長(zhǎng)分別為A．7π B．323π C．164．（2025·黑龍江·二模）在四棱錐S?ABCD中，側(cè)面SAD⊥底面ABCD，側(cè)面SAD是正三角形，底面ABCD是邊長(zhǎng)為26的正方形，則該四棱錐外接球表面積為（

A．5π B．10π C．28π D．56π5．（2025·四川德陽(yáng)·三模）六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個(gè)面都是正三角形）.若一正八面體的內(nèi)切球表面積為S1，外接球表面積為S2，則S2A．43 B．32 C．36．（2025·安徽合肥·三模）將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD沿對(duì)角線BD進(jìn)行翻折，使得二面角A?BD?C的大小為120°，連接AC，得到四面體ABCD，則該四面體的外接球體積與四面體的體積之比為（

）A．43π B．83π C．7．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=22，PA=AC=4，△ACD為等邊三角形，則平面PAD與三棱錐P?ABC的外接球球面的交線長(zhǎng)為（

A．4π B．25π C．68．（2025·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）在平面四邊形ABCD中，△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，△ACD是以點(diǎn)D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，將該四邊形沿對(duì)角線AC折成四面體B?ACD，在折起的過(guò)程中，四面體的外接球體積最小值為（

）A．32π3 B．4π C．4二、多選題9．（2024·河南信陽(yáng)·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（

A．該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為23m2C．該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為2πm210．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知多面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1，BB1，CC1，DDA．AB．若多面體ABCD?A1C．VD．若CC1=3，AA11．（2025·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的外接球表面積為A．正方體ABCD?A1B．D1C//C．在該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)構(gòu)造一個(gè)三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為8D．平面AMC1截正方體ABCD?三、填空題12．（2025·河北秦皇島·一模）內(nèi)切球半徑為1的正四棱錐的外接球半徑的最小值為.13．（2025·河北秦皇島·三模）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．四面體SABC是一個(gè)鱉臑，已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，SA=AB=2，SC=26，BC=4，則平面SAB截該鱉臑的外接球