學科教育論文-動作是智慧的根源一、引言近半個世紀以來，皮亞杰心理學影響著世界各國的中小學教學，尤其是中小學數學教學。皮亞杰指出：“動作是智慧的根源”，任何靜態(tài)的數學概念都隱含著認知主體的內在動作，數學運算是一種廣義的動作。這些觀念為數學課堂教學所采納，目前小學數學普遍采取動手操作（或以直觀方式演示有關操作）的方法。然而，對于這些在教學實踐領域中早已被采用的觀念與方法，卻缺乏深入的研究，許多問題都停留在知其然不知其所以然的層面我們知道數學運算是一種廣義的動作；但它除了是一種動作之外，還存在哪些區(qū)別于一般動作的規(guī)定性？同樣我們也知道“動作操作”會增進兒童的數學知識與智慧；但能否認為任意的動手操作都有益于兒童智慧的發(fā)展？在數學課堂教學中如何指導兒童動手操作？本文試圖就以上問題作些探討，以期引起更深入的研究，并期望對進一步改進小學數學課堂教學有所裨益。二、數學運算的內在規(guī)定性1.反身性數學運算“甚至在其較高的表現中，也是正在采取行動與協調行動，不過是以一種內在的與反省的形式進行的罷了”這里“反省”與反身、反思是同義的。皮亞杰將個體認知活動劃歸為兩類。一類是對客體的認識；另一類是對主體自身動作所進行的反思。前者帶來關于客體的知識；后者帶來數理邏輯知識。實例一個兒童擺弄10個石子，他可以掂一掂以了解其重量；可以摸一摸以了解其表面的光滑度?！爸亓俊迸c“光滑度”是關于對象（石子）本身的知識。此外，兒童還有另一類動作，他將10個石子排列成不同的形狀，沿著不同的方向點數它們，其總數“10”總是不變的。這里，兒童將手指一一地（不重復也不遺漏）點向10個石子，是具體動作；從這種具體動作中認識到總數“10”總是不變，則是一種反思，是反過來對自身的具體動作進行思考。具體動作可以有很多種（可以從不同的石子開始，可以沿著不同的方向進行），但總數的“10”卻是恒定的。只有通過反思，體會到這種“恒定”，兒童才真正學會了計數。這里我們看到兒童進行數學操作與運算離不開具體動作，但具體動作之后的反思比具體動作本身更為重要。兒童能一一地點數石子，我們也能訓練一只小雞地啄石子，但小雞不會了解“10”這個數，因為它沒有反思。數學運算因其反身性，還呈現出一種層次性與相對性。高一級的運算是對低一級的運算所進行的反思、協調與轉換。乘法是對加法的“運算”；乘方又是對乘法的“運算”。2.可逆性“運算是一種可以逆行的行動，即它能向一個方向進行，也能向相反的方向進行。”我們可以把1和2相加得到3；反過來，也可以用3減2而還原為1。任何一種運算，總有一個與之對應的逆運算。學生用減法驗算加法（或反過來用加法驗算減法），用除法驗算乘法（或反過來用乘法驗算除法），就是因為這些運算是可以“逆行”的。對于“合”（加或乘）的結果，我們可以用“分”的動作（減或除）使其還原到初始狀態(tài)。可逆性可以區(qū)分為兩類，一類是反演可逆（123，反過來321）；一類是互反可逆（6比2多4，反過來2比6少4）。前者表現為相反的操作；后者表現為次序的逆向轉換。3.結合性運算“是可以繞道迂回的，通過兩種不同的方法可以獲得相同的結果”。這就是所謂結合性。具體到小學數學教學中，結合性體現在兩個方面。其一，體現在運算定律方面：3443（加法的交換律）；3（45）3435（乘法的分配律）。這里，每個等式兩邊是不同途徑的運算，但其運算結果卻是恒等的；其二，體現在問題解決的一題多解方面。問題：男生和女生共植樹450棵，已知每個同學植樹5棵，有男生46人。問：女生多少人？對于這一問題可以先求出女生植樹多少棵，再除以5，得出女生人數：（450546）544（人）；也可以先求兩個班共有多少人，再減去男生46人，得出女生的人數：45054644（人）。兩種解法，具體途徑不同，但結果一樣。至此，我們將可逆性與結合性綜合起來考察，則會發(fā)現數學運算總是隱含著某些“不變的因素”。反演可逆是以相反的運算（如：以減法來驗算加法）使其還原為初始不變的狀態(tài)。互反可逆是一種相互轉換，6比2多4，2比6少4，這里差集“4”是不變的。在運算規(guī)則里，運算途徑改變了，但運算結果不變。在問題解決中，具體解法可以各異，但答案是唯一（不變）的。我們說，數學運算是一種轉換。在這種轉換過程中，并非所有的東西都發(fā)生了改變，總是隱含著某種不變的因素。正是“不變因素”的存在，才使轉換成為可能。4.結構性結構性運算，就其現實的存在方式而言，“包括復雜的運算體系，而不是被看作先于這些體系成分的那些孤立的運算。”數學運算總是以結構化的整體的方式而存在。首先，每一種數學運算本身就是一個結構化的動作。加法包括“合”的動作，也包括計其總數據的動作（這在學齡前兒童的實物操作中，可觀察到；小學一年級兒童，因熟練而逐漸簡約化）；其次，各種運算聯合起來，又構成一個大的結構，加是“合”的動作，減是“分”的動作；乘是加（或合）的簡便運算，除是減（或分）的簡便運算；加減互為逆運算，乘除互為逆運算。這許多關系，使四則運算聯合成一個大的整體。三、課堂教學中，指導學生動手操作應注意的問題在明確了數學運算的內在規(guī)定性之后，我們將依照這些規(guī)定性，提出在課堂教學中指導兒童動手操作應注意的問題。1.引起反省從以上分析中我們了解到，數學運算是一種反思，具體動作之后的反思比具體動作更為重要。具體到課堂教學中，我們在指導學生動作操作時，不應停留在為操作而操作的層面；而應引導學生對其操作進行思索。以分數概念的教學為例，通常的教法是將分數的具體“操作”和盤托出、呈現給學生。如：將一個餅平均分成兩塊，每塊是它的12。這樣的做法只能讓學生照葫蘆畫瓢一樣地模仿，而不能調動學生內部的思考過程。一般而言，分數是小學生數概念的一次大的擴展。此前，兒童能用加減法層面的“差集”（6比2多4）或乘除法層面的“倍數”（6是2的3倍）來表示二數比較關系。在倍數中，比較量一般大于（或等于）標準量；分數的引進是要解決一個全新的問題：當比較量不足一個標準量時，如何表示二數關系。關于分數概念，這里設計了一種與通常的教法不同的方案，其宗旨在于引起學生思考。關于“分數概念”的課堂設計：準備：在黑板上用不同顏色的粉筆畫好三條長度不同的線段，準備一根60厘米長的木棒（無刻度），線段長度分別是木棒的3倍、1倍、13。木棒白線：白線長度是木棒長度的3倍紅線：紅線長度是木棒長度的1倍綠線：綠線長度是木棒長度的？教師演示：用木棒分別量白線與紅線，并板述；然后量綠線，提問。教師：綠線長度是木棒長度的多少？學生：沒有一棒長。教師：沒有“一棒”長，怎么表示？學生：（有的提出）拿刻度尺把木棒和綠線都量一量。教師：（量得綠線長20厘米，木棒長60厘米）那么，綠線長度是木棒長度的多