第三節(jié) 無窮小量與無窮大量,2.3.1 無窮小量,1.定義1 設(shè) f (x)在某U(x0)內(nèi)有定義. 若 則稱 f (x)為當(dāng) xx0 時(shí)的無窮小量.,例如：,(2)無窮小量與極限過程分不開，不能脫離極限過程談無窮小量.,如sinx是x0時(shí)的無窮小量，但,注,(1)無窮小量是變量，不能與很小的數(shù)混淆;,(3)關(guān)于有界量.,2.無窮小量的運(yùn)算性質(zhì),時(shí), 有,定理1. 有限個(gè)無窮小的和還是無窮小 .,證: 考慮兩個(gè)無窮小的和 .,設(shè),當(dāng),時(shí) , 有,當(dāng),時(shí) , 有,取,則當(dāng),因此,這說明當(dāng),時(shí),為無窮小量 .,定理2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .,證: 設(shè),又設(shè),即,當(dāng),時(shí), 有,取,則當(dāng),時(shí) , 就有,故,即,是,時(shí)的無窮小 .,推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .,推論 2 . 有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小 .,其中 為,時(shí)的無窮小量 .,定理2.3.1. ( 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 ),證:,當(dāng),時(shí),有,對(duì)自變量的其它變化過程類似可證 .,2.3.2、 無窮大,定義2 . 若任給 M 0 ,一切滿足不等式,的 x , 總有,則稱函數(shù),當(dāng),時(shí)為無窮大,使對(duì),若在定義中將 式改為,則記作,(正數(shù) X ) ,記作,總存在,概念：在某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值無限增大的函數(shù)，稱為在此變化過程中的無窮大量.(非正常極限).,注意:,1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).,2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !,例如, 函數(shù),當(dāng),但,不是無窮大 !,例 . 證明,證: 任給正數(shù) M ,要使,即,只要取,則對(duì)滿足,的一切 x , 有,所以,若,則直線,為曲線,的鉛直漸近線 .,漸近線,說明:,無窮小與無窮大的關(guān)系,若,為無窮大,為無窮小 ;,若,為無窮小, 且,則,為無窮大.,則,定理2.3.2 在自變量的同一變化過程中,2.3.3 無窮小量階的比較,都是無窮小,引例 .,但,可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 .,若,則稱 是比 高階的無窮小,若,若,若,若,或,記作,則稱 是比 低階的無窮小;,則稱 是 的同階無窮小;,則稱 是關(guān)于 的 k 階無窮小;,則稱 是 的等價(jià)無窮小,記作,定義2.3.3,例如 , 當(dāng),時(shí),又如 ，,故,時(shí),是關(guān)于 x 的二階無窮小,且,例1. 證明: 當(dāng),時(shí),證:,命題2.3.2,證:,即,即,例如,故,命題2.3.3 設(shè),且,存在 , 則,證:,例如,無窮小量的等價(jià)替換定理,求兩個(gè)無窮小量比值的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小 量來代替 因此，如果用來代替的無窮小量選取得適當(dāng)，則可使計(jì) 算簡化,定理3.12的意義:,常用等價(jià)無窮小 :,無窮小量的等價(jià)替換定理的幾何意義,解 當(dāng)x0時(shí) tan 2x2x sin 5x5x 所以,說明 只有對(duì)所求極限式相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小