(了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題/利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義),10.9 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布,1相互獨(dú)立事件的定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立若A與B是相互獨(dú)立事件，A與 ， 與B， 與 也相互獨(dú)立 2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義 在相同條件下做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式 一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，如果在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(Xk) .此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率,4總體密度曲線：樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是(或近似地是)下列函數(shù)的圖象：，f(x) ，(x)，其中實(shí)數(shù)和(0)為參數(shù)我們稱，的圖象為正態(tài)密度曲線 5正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)ab，隨機(jī)變量X滿足P(aXb) ，(x)dx，則稱X的分布為正態(tài)分布記作N(，2)如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為XN(，2),6正態(tài)曲線的性質(zhì) (1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交 (2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x對(duì)稱 (3)曲線在x處達(dá)到峰值 (4)曲線與x軸之間的面積為1. (5)一定時(shí)，曲線的形狀由確定越大，曲線越“矮胖”， 總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中,1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為( ) A0與1 B1與0 C0與0 D1與1 解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知 答案：A,2壇子里放有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中進(jìn)行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是( ) A互斥事件 B相互獨(dú)立事件 C對(duì)立事件 D不相互獨(dú)立事件 答案：D,3如果B ，則使P(k)取最大值的k值為( ) A3 B4 C5 D3或4 解析：采取特殊值法 P(3) ，P(4) ，P(5) 從而易知P(3)P(4)P(5) 答案：D,4接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi)(精確到0.01) 解析：由已知p0.80，則P5(3)P5(4)P5(5)0.94. 答案：0.94,1. 事件間的“互斥”與“相互獨(dú)立”是兩個(gè)不同的概念，常因?yàn)閷⑺鼈兣於l(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；兩個(gè)相互獨(dú)立事件不一定互斥即可能同時(shí)發(fā)生，而互斥事件不可能同時(shí)發(fā)生 2再如三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，但三個(gè)條件不一定獨(dú)立,【例1】3名戰(zhàn)士射擊敵機(jī)，1人專射駕駛員，1人專射油箱，1人專射發(fā)動(dòng)機(jī)，命中的概率分別為 、 、 ，每個(gè)人射擊是獨(dú)立的，任1人射中， 敵機(jī)被擊落，求敵機(jī)被擊落的概率 解答：解法一：本題等價(jià)于至少有1人射中的概率而至少有1人射中的對(duì)立事件是3人都未射中設(shè)A、B、C表示3人射擊1次都擊中的事件，則 表示3人射擊都未擊中的事件而至少有一人射中的概率為P. P( )1P(A)1P(B)1P(C) 則P1P( ),解法二：至少有1人擊中包括3種情況：1人擊中；2人擊中；3人都擊中 射擊1次，以上3種情況互斥敵機(jī)被擊落的概率是： P ,變式1.在如右圖所示的電路中，開(kāi)關(guān)a，b，c開(kāi) 或關(guān)的概率都為 ，且相互獨(dú)立，求燈亮的概率 解答：解法一：設(shè)事件A、B、C分別表示開(kāi)關(guān)a，b，c關(guān)閉，則a，b同時(shí)關(guān)合或c關(guān)合時(shí)燈亮，即AB ，ABC，或 BC，A C， C之一發(fā)生，又因它們是互斥的，所以，所求概率為：,PP(AB )P( BC)P(ABC)P(A C)P( C) P(A)P(B)P( )P( )P(B)P(C)P(A)P( )P(C) P( )P( )P(C)P(A)P(B)P(C) 5( )3,解法二：設(shè)A，B，C所表示的事件與解法一相同，若燈不亮則兩條線路都不通，即c一定斷開(kāi)，a，b中至少有一個(gè)斷開(kāi)，而a，b中至少有一個(gè)斷開(kāi)的概率是： 1P(AB)1P(A)P(B) . 所以兩條線路皆不通的概率為： 于是，燈亮的概率為P,1. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的特殊情況 2獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在相同的條件下重復(fù)地、各次相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)中只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且在任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的，牢記n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式,【例2】9粒種子分種在甲、乙、丙3個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒，每粒種子發(fā)芽的概率為0.5.若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒(méi)發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種 (1)求甲坑不需要補(bǔ)種的概率； (2)求3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率； (3)求有坑需要補(bǔ)種的概率(精確到0.001),解答：(1)因?yàn)榧卓觾?nèi)的3粒種子都不發(fā)芽的概率為(10.5)3 ， 所以甲坑不需要補(bǔ)種的概率為1 0.875. (2)3個(gè)坑恰有一個(gè)坑不需要補(bǔ)種的概率為 0.041. (3)解法一：因?yàn)?個(gè)坑都不需要補(bǔ)種的概率為( )3， 所以有坑需要補(bǔ)種的概率為1( )30.330.,解法二：3個(gè)坑中恰有1個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為 0.287，恰有 2個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率為 0.041，3個(gè)坑都需要補(bǔ)種的概率為 0.002.所以有坑需要補(bǔ)種的概率為0.2870.0410.0020.330.,變式2.甲、乙兩班各派2名同學(xué)參加年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽，參賽同學(xué)成績(jī)及格的概率都為0.6，且參賽同學(xué)的成績(jī)相互之間沒(méi)有影響求： (1)甲、乙兩班參賽同學(xué)中各有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率； (2)甲、乙兩班參賽同學(xué)中至少有1名同學(xué)成績(jī)及格的概率 解答：(1)P1C0.60.4C0.60.40.230 4. (2)P21(10.6)40.974 4.,正態(tài)分布問(wèn)題可利用變換公式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布問(wèn)題，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布可通過(guò)查表(或提供的數(shù)據(jù))進(jìn)行求解 正態(tài)分布有兩個(gè)重要的參數(shù)，平均數(shù)(期望、數(shù)學(xué)期望)和標(biāo)準(zhǔn)差，我們不但要明白和在統(tǒng)計(jì)上的意義，還要對(duì)應(yīng)到正態(tài)曲線上的曲線幾何意義，做到從概率、統(tǒng)計(jì)、曲線、函數(shù)這四個(gè)方面來(lái)把握和理解，其中后兩個(gè)方面是作為數(shù)學(xué)工具來(lái)為前兩個(gè)方面服務(wù)的,【例3】在N(，2)下，求F(，)；F(2，2)； F(3，3) 解答：F()( )(1)0.841 3 F()( )(1)1(1)10.841 30.158 7 F(，)F()F()0.84130.15870.682 6 F(2，2)F(2)F(2)0.954 F(3，3)F(3)F(3)0.997,變式3.在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(70,100)已知成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生有12名 (1)試問(wèn)此次參賽學(xué)生總數(shù)約為多少人？ (2)若該校計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前50名的學(xué)生，試問(wèn)設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供查閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(x0)P(xx0),解答：(2)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因?yàn)镹(70,100)，由條件知，P(90)1P(90)1F(90)1( ) 1(2)10.97720.228. 這說(shuō)明成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%， 因此，參賽總?cè)藬?shù)約為 526(人),(2)假定設(shè)獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線為x分，則 P(x)1P(x)1F(90)1( ) 0.095 1， 即( )0.904 9，查表得 1.31， 解得x83.1.故設(shè)獎(jiǎng)得分?jǐn)?shù)線約為83.1分.,1古典概型中,A發(fā)生的條件下B發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)= ,其中,在實(shí)際應(yīng)用中P(B|A)= 是一種重要的求條件概率的方法. 2運(yùn)用公式P(AB)P(A)P(B)時(shí)一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立,3在解題過(guò)程中，要明確事件中的“至少一個(gè)發(fā)生”、“至多有一個(gè)發(fā)生”、“恰有一個(gè)發(fā)生”、“都發(fā)生”、“都不發(fā)生”、“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意 義，已知兩個(gè)事件A、B，它們的概率分別為P(A)、P(B)，那么：,【方法規(guī)律】,A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A B； A、B都發(fā)生的事件為AB； A、B都不發(fā)生的事件為 ； A、B恰有一個(gè)發(fā)生的事件為 ； A、B中至多有一個(gè)發(fā)生的事件為 . 它們之間的概率關(guān)系如下表所示,4. 在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk) ， k0,1,2，n，其中p是一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的概率實(shí)際上， 正好是二項(xiàng)式(1p)pn的展開(kāi)式中的第k1項(xiàng).,(本題滿分12分)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗(yàn)組進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)每個(gè)試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效若在一個(gè)試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為 ，服用B有效的概率為 . (1)求一個(gè)試驗(yàn)組為甲類組的概率； (2)觀察3個(gè)試驗(yàn)組，求這3個(gè)試驗(yàn)組中至少有一個(gè)甲類組的概率.,【答題模板】,解答：設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為P