2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試最新高考信息卷理 科 數(shù) 學(xué)（十二）注意事項：1、本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在答題卡上。2、回答第卷時，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在試卷上無效。3、回答第卷時，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4、考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，則（ ）ABCD【答案】C【解析】由集合，所以，故選C2設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則（ ）ABCD【答案】B【解析】由題意，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，由，所以，所以，故選B3已知，則的值等于（ ）ABCD【答案】A【解析】誘導(dǎo)公式，注意，所以選A4正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，那么（ ）ABCD【答案】D【解析】因為點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，故選D5為了從甲、乙兩人中選一人參加數(shù)學(xué)競賽，老師將二人最近的6次數(shù)學(xué)測試的分?jǐn)?shù)進(jìn)行統(tǒng)計，甲、乙兩人的得分情況如莖葉圖所示，若甲、乙兩人的平均成績分別是，則下列說法正確的是（ ）A，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽B，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽C，甲比乙成績穩(wěn)定，應(yīng)選甲參加比賽D，乙比甲成績穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽【答案】D【解析】由莖葉圖可知，甲的平均數(shù)是，乙的平均數(shù)是，所以乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)，即，從莖葉圖可以看出乙的成績比較穩(wěn)定，應(yīng)選乙參加比賽，故選D6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】模擬算法：開始，成立；是奇數(shù)，成立；是偶數(shù)，成立；是奇數(shù)，成立；是偶數(shù)，不成立；輸出，結(jié)束算法，故選C7直線過點(diǎn)，且與圓交于，兩點(diǎn)，如果，則直線的方程為（ ）AB或CD或【答案】D【解析】因為，所以圓心到直線的距離因為直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為3，符合；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，則有，解得所以直線方程為，即綜上可得，直線的方程為或，故選D8已知函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，若對于任意，都有，則的值是（ ）A5B6C7D8【答案】B【解析】因為函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，且，所以為一個常數(shù)，令這個常數(shù)為，則有，且，將代入上式可得，解得，所以，所以，故選B9已知長方體內(nèi)接于球，底面是邊長為2的正方形，為的中點(diǎn)，平面，則球的表面積是（ ）ABCD【答案】B【解析】因為長方體內(nèi)接于球，底面是邊長為的正方形，設(shè)，為的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，若平面，則，即，解得，所以球的半徑滿足，故球的表面積，故選B10在中，角，所對的邊分別為，且，若，則的最小值為（ ）ABCD【答案】A【解析】由，則，即，又，所以，又，所以，解得，又因為，即，即，在中，由余弦定理，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以所以，即的最小值為，故選A11已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過作平行于的漸近線的直線交于點(diǎn)，若，則的漸近線方程為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)，根據(jù)題意可得，雙曲線的方程為，直線的方程為，（1）直線的方程為，（2）又點(diǎn)在雙曲線上，所以，(3)聯(lián)立（1）(3)方程組可得，聯(lián)立（1）（2）可得，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，故選C12已知定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【解析】因為定義在上的偶函數(shù)在上遞減，所以在上單調(diào)遞增，若不等式對于上恒成立，則對于上恒成立，即對于上恒成立，所以對于上恒成立，即對于上恒成立，令，則由，求得，（1）當(dāng)時，即或時，在上恒成立，單調(diào)遞增，因為最小值，最大值，所以，綜上可得；（2）當(dāng)，即時，在上恒成立，單調(diào)遞減，因為最大值，最小值，所以，綜合可得，無解，（3）當(dāng)，即時，在上，恒成立，為減函數(shù)，在上，恒成立，單調(diào)遞增，故函數(shù)最小值為，若，即，因為，則最大值為，此時，由，求得，綜上可得；若，即，因為，則最大值為，此時，最小值，最大值為，求得，綜合可得，綜合（1）（2）（3）可得或或，即故選A第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第(13)(21)題為必考題，每個試題考生都必須作答。第(22)(23)題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分。13的展開式中的系數(shù)為_【答案】【解析】利用通項公式，令，則展開式中的系數(shù)為14若實數(shù)，滿足且的最小值為3，則實數(shù)的值為_【答案】【解析】畫出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時取得最小值，由得，則，解得15在中，邊上的中線，則的面積為_【答案】【解析】由題意，延長至，使得，可證，其面積相等，故的面積等于的面積，由已知數(shù)據(jù)可得，在中由余弦定理可得，所以，所以16已知單位向量，兩兩的夾角均為(，且)，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在“仿射”坐標(biāo)系(為坐標(biāo)原點(diǎn))下的“仿射”坐標(biāo)，記作，有下列命題：已知，則；已知，其中，均為正數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時，向量，的夾角取得最小值；已知，則；已知，則三棱錐的表面積其中真命題為_(寫出所有真命題的序號)【答案】【解析】由題意，若，則，則，所以不正確；如圖，設(shè)，則點(diǎn)在平面上，點(diǎn)在軸上，由圖易知當(dāng)時，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，所以是正確的；已知，則，所以，所以是正確的；由，則三棱錐為正四面體，棱長為，其表面積為，所以不正確故選三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知是等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)數(shù)列公比為，則，因為，成等差數(shù)列，所以，即，整理得，因為，所以，所以（2）因為，所以18（12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值來衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，記其質(zhì)量指標(biāo)值為，當(dāng)時，產(chǎn)品為一級品；當(dāng)時，產(chǎn)品為二級品，當(dāng)時，產(chǎn)品為三級品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做實驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面的試驗結(jié)果：(以下均視頻率為概率)配方的頻數(shù)分配表：指標(biāo)值分組頻數(shù)10304020配方的頻數(shù)分配表：指標(biāo)值分組頻數(shù)510154030（1）若從配方產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件，記“抽出的配方產(chǎn)品中至少1件二級品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（2）若兩種新產(chǎn)品的利潤率與質(zhì)量指標(biāo)滿足如下關(guān)系：，其中，從長期來看，投資哪種配方的產(chǎn)品平均利潤率較大？【答案】（1）；（2）投資配方產(chǎn)品的平均利潤率較大【解析】（1）由題意知，從配方產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一次抽中二級品的概率為，則沒有抽中二級品的概率為，所以，（2）配方立品的利潤分布列為所以配方產(chǎn)品的利潤分布列為所以，因為，所以所以投資配方產(chǎn)品的平均利潤率較大19（12分）如圖，四邊形中，分別在，上，現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面（1）若，在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn)，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值【答案】（1）在存在一點(diǎn)，且，使平面；（2）【解析】（1）在折疊后的圖中過作，交于，過作交于，連結(jié)，在四邊形中，所以折起后，又平面平面，平面平面，所以平面又平面，所以，所以，因為，所以平面平面，因為平面，所以平面所以在存在一點(diǎn)，且，使平面（2）設(shè)，所以，故，所以當(dāng)時，取得最大值由（1）可以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，則，所以所以二面角的余弦值為20（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個長軸端點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）已知，是橢圓上的兩點(diǎn)，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點(diǎn)若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值當(dāng)，運(yùn)動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由【答案】（1）；（2）的斜率為定值【解析】（1）因為拋物線方程，所以拋物線焦點(diǎn)為所以，又，所以，所以橢圓的方程為（2）設(shè)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消，得，又，在直線兩側(cè)的動點(diǎn)，所以所以，又，所以，當(dāng)時，四邊形面積取得最大值為當(dāng)時，斜率之和為設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為設(shè)的方程為，聯(lián)立，消得，所以，同理所以，所以所以的斜率為定值21（12分）已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)是否有極值（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1）無極值；（2）；（3）【解析】（1）當(dāng)時，所以，所以無極值（2）因為，設(shè)，得，由（1），只需分下面兩情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增所以當(dāng)時，取得極小值，極小值，要使，則有，所以，因為，故或；當(dāng)時，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，取得極小值極小值若，則，矛盾所以當(dāng)時，的極小值不會大于零綜上所述，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍是：（3）由（2）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)，由題設(shè)，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，則或由（2）參數(shù)時，要使恒成立，必有，即且綜上：或所以的取值范圍是請考生在22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計分。22（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線過點(diǎn)，傾斜角為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))