微分方程求解總結(jié),求解流程圖,1.折線積分,2.湊全微分,3.定積分,轉(zhuǎn)為z的一階線性,關(guān)于u一階,二階變系數(shù),二階,一階,二階常系數(shù),解的結(jié)構(gòu),P338,P348,一、一階微分方程求解,1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解,關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟,2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解,(1) 變量代換法 代換自變量,代換因變量,代換某組合式,(2) 積分因子法 選積分因子, 解全微分方程,四個標(biāo)準(zhǔn)類型:,可分離變量方程,齊次方程,線性方程,全微分方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故為分離變量方程:,通解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 ,令 y = u x ,化為分,離變量方程.,調(diào)換自變量與因變量的地位 ,用線性方程通解公式求解 .,化為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,方法 1 這是一個齊次方程 .,方法 2 化為微分形式,故這是一個全微分方程 .,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求下列方程的通解:,提示: (1),令 u = x y , 得,(2) 將方程改寫為,(貝努里方程),(分離變量方程),原方程化為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,令 y = u t,(齊次方程),令 t = x 1 , 則,可分離變量方程求解,化方程為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,變方程為,兩邊乘積分因子,用湊微分法得通解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例3.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+),內(nèi)滿足以下條件:,(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;,(03考研),(2) 求出F(x) 的表達(dá)式 .,解: (1),所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2) 由一階線性微分方程解的公式得,于是,練習(xí)題:,(題3只考慮方法及步驟),P353 題2 求以,為通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P353 題3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y , 化成可分離變量方程 :,提示: 這是一階線性方程 , 其中,P353 題1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,提示: 可化為關(guān)于 x 的一階線性方程,提示: 為貝努里方程 , 令,提示: 為全微分方程 , 通解,提示: 可化為貝努里方程,令,微分倒推公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,原方程化為, 即,則,故原方程通解,提示: 令,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、兩類二階微分方程的解法,1. 可降階微分方程的解法 降階法,令,令,逐次積分求解,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2. 二階線性微分方程的解法,常系數(shù)情形,齊次,非齊次,代數(shù)法,歐拉方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二階常系數(shù)齊次線性微分方程求通解的一般步驟:,(1) 寫出相應(yīng)的特征方程,(2) 求出特征方程的兩個根,(3) 根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,按照下列規(guī)則寫出微分方程的通解,求解二階常系數(shù)線性方程,非齊,通解,齊次通解,非齊特解,難點：如何求特解？,方法：待定系數(shù)法.,(3). 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.,解答提示,P353 題2 求以,為通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根為,故特征方程為,因此微分方程為,P353 題3 求下列微分方程的通解,提示: (6) 令,則方程變?yōu)?機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特征根:,齊次方程通解:,令非齊次方程特解為,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齊次項改為,提示:,原方程通解為,特解設(shè)法有何變化 ?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P354 題4(2) 求解,提示: 令,則方程變?yōu)?積分得,利用,再解,并利用,定常數(shù),思考,若問題改為求解,則求解過程中得,問開方時正負(fù)號如何確定?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,P354 題8 設(shè)函數(shù),在 r 0,內(nèi)滿足拉普拉斯方程,二階可導(dǎo), 且,試將方程化為以 r 為自變,量的常微分方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用對稱性,即,( 歐拉方程 ),原方程可化為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解初值問題:,則原方程化為,通解:,利用初始條件得特解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特征根 :,例1. 求微分方程,提示:,故通解為,滿足條件,解滿足,處連續(xù)且可微的解.,設(shè)特解 :,代入方程定 A, B, 得,得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,處的銜接條件可知,解滿足,故所求解為,其通解:,定解問題的解:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2.,且滿足方程,提示:,則,問題化為解初值問題:,最后求得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,思考: 設(shè),提示: 對積分換元 ,則有,解初值問題:,答案:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的解.,例3.,設(shè)函數(shù),內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1) 試將 xx( y) 所滿足的微分方程,變換為 yy(x) 所滿足的微分方程 ;,(2) 求變換后的微分方程滿足初始條件,數(shù), 且,解:,上式兩端對 x 求導(dǎo), 得:,(1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知,(03考研),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,代入原微分方程得,(2) 方程的對應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)的特解為,代入得 A0,從而得的通解:,題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由初始條件,得,故所求初值問題的解為,例4.,解:,欲向宇宙發(fā)射一顆人造衛(wèi)星,為使其擺脫地球,引力,初始速度應(yīng)不小于第二宇宙速度,試計算此速度.,設(shè)人造地球衛(wèi)星質(zhì)量為 m , 地球質(zhì)量為 M ,衛(wèi)星,的質(zhì)心到地心的距離為 h ,由牛頓第二定律得:,(G 為引力系數(shù)),則有初值問題:,又設(shè)衛(wèi)星的初速度,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,代入原方程, 得,兩邊積分得,利用初始條件, 得,因此,注意到,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,為使,因為當(dāng)h = R (在地面上) 時, 引力 = 重力,即,代入即得,這說明第二宇宙速度為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求質(zhì)點的運動規(guī),例5.,上的力 F 所作的功與經(jīng)過的時間 t 成正比 ( 比例系數(shù),提示:,兩邊對 s 求導(dǎo)得:,牛頓第二定律,為 k),開方如何定 + ?,已知一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點作直線運動, 作用在質(zhì)點,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例6. 一鏈條掛在一釘子上 , 啟動時一端離釘子 8 m ,另一端離釘子 12 m , 如不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦,力, 求鏈條滑下來所需的時間 .,解: 建立坐標(biāo)系如圖.,設(shè)在時刻 t , 鏈條較長一段,下垂 x m ,又設(shè)鏈條線密度為常數(shù),此時鏈條受力,由牛頓第二定律, 得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,由初始條件得,故定解問題的解為,解得,當(dāng) x = 20 m 時,(s),微分方程通解:,思考: 若摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 , 定解問題的,數(shù)學(xué)模型是什么 ?,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,摩擦力為鏈條 1 m 長的重量 時的數(shù)學(xué)模型為,不考慮摩擦力時的數(shù)學(xué)模型為,此時鏈條滑下來 所需時間為,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,練習(xí)題,從船上向海中沉放某種探測儀器, 按探測,要求, 需確定儀器的下沉深度 y 與下沉速度 v 之間的函,數(shù)關(guān)系.,設(shè)儀器在重力作用下從海平面由靜止開始下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力作用, 設(shè)儀器質(zhì)量為 m,體積為B , 海水比重為 ,儀器所受阻力與下沉速度成正,比 , 比例系數(shù)為 k ( k 0 ) ,試建立 y 與 v 所滿足的微分,方程, 并求出函數(shù)關(guān)系式 y = y (v) . ( 95考研 ),提示: 建立坐標(biāo)系如圖.,質(zhì)量 m 體積 B,由牛頓第二定律,重力,浮力,阻力,注意:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,初始條件為,用分離變量法解上述初值問題得,質(zhì)量 m 體積 B,得,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,有特,而對應(yīng)齊次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所給二階非齊次方程為,方程化為,1. 設(shè)二階非齊次方程,一階線性非齊次方程,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故,再積分得通解,復(fù)習(xí): 一階線性微分方程通解公式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.,(1) 驗證函數(shù),滿