現(xiàn)代控制理論習(xí)題課 周天薇 1-2 有電路如圖1-28所示。以電壓u(t)為輸入量，求以電感中的電流和電容上的電 壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2上的電壓作為輸出量的輸出方程。 解：解： 由電路原理可知： 由圖，令i1=x1， i2=x2， uc=x3，輸出y= R2x2 解：解： 電路方程： ueiR dt di L aa a a =+ dt d Ke b = e為反電勢 動力學(xué)方程： aTi k dt d f dt d J=+ 2 令： = = a ix x x x 3 2 1 uxRxkxL fxxkxJ xx aba T += = = 323 232 21 u L x x x L R L k J k J f x x x a a a a b T + = 1 0 0 0 0 010 3 2 1 3 2 1 = 3 2 1 1 001 x x x xy fJ, a L a i a R u 電樞電壓：u 電機轉(zhuǎn)角： 電機電樞回路電阻：Ra 電樞回路電感：La 電樞回路電流：ia 折算到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量：J 粘性摩擦系數(shù)：f kT:電動機的力矩系數(shù) Kb:電動機的交電勢系數(shù) 例例2 1-4 兩輸入u1, u2，兩輸出,的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求 其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。 1-4 兩輸入u1, u2，兩輸出,的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求 其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。 解：解： 2 1 u u 0100 0001 1-4 兩輸入u1, u2，兩輸出,的系統(tǒng)，其模擬結(jié)構(gòu)圖如圖1-30所示，試求 其狀態(tài)空間表達式和傳遞函數(shù)陣。 解：解： 2 1 u u 0100 0001 0100 0001 1-6 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ,試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實現(xiàn)， 并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 )3)(1( ) 1(10 )( + = sss s sW 解：解： 3 3/20 1 103/10 )3)(1( ) 1(10 )( + + + + = + = ssssss s sW uxx + = 1 1 1 300 010 000 xy3/20103/10= 1-6 已知系統(tǒng)傳遞函數(shù) ,試求出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型的實現(xiàn)， 并畫出相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖 2 )3)(2( ) 1(6 )( + + = sss s sW 解：解： sssssss s sW 3/1 2 3 3 3/10 )3( 4 )3)(2( ) 1(6 )( 22 + + + + + + = + + = uxx + = 1 1 1 0 0000 0200 0030 0013 xy3/133/104= 1-7 給定下列狀態(tài)空間表達式 （1）畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖 （2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解：解： uxxxx uxxx xx 231 32 3213 212 21 += += = 1-7 給定下列狀態(tài)空間表達式 （1）畫出其模擬結(jié)構(gòu)圖 （2）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 解：解： 1-9 將下列狀態(tài)空間表達式化成約旦標(biāo)準(zhǔn)型（并聯(lián)分解） u x x x x + = 1 0 21 12 2 1 2 1 xy01= 解：解： 0= AI 1 1 = 3 2 = = 11 11 T = 2 1 2 1 2 1 2 1 1 T 11=cT = 2 1 2 1 1b T 約旦標(biāo)準(zhǔn)型: u x x x x + = 2 1 2 1 30 01 2 1 2 1 xy 11= 2-3 已知矩陣 = 452 100 010 A試用拉氏反變換法求 。 At e = 452 10 01 s s s AsI () ()()() ()()() ()()() + + + + + + + + + + + + + + + + + = 222 222 222 1 1 1 1 3 2 4 1 3 1 8 2 8 1 2 1 4 2 4 1 1 1 2 2 2 1 3 1 5 2 4 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 3 1 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss sssssssss ssssssss AsI + + + = ttttttttt ttttttttt tttttttt At teeeteeeteee teeeteeeteee teeeteeetee sILe 34388244 22354222 322 ) 1( 222 222 222 11 t e 2-6 解：解： 求下列狀態(tài)空間表達式的解： 初始狀態(tài) 輸入 是單位階躍函數(shù)。 3-1 判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀測性。系統(tǒng)中a,b,c,d的取值對 能控性和能觀性是否有關(guān)，若有關(guān)，其取值條件如何？ (3) 系統(tǒng)如下式： 解：解： 如狀態(tài)方程與輸出方程所示，A 為約旦標(biāo)準(zhǔn)形。 要使系統(tǒng)能控，控制矩陣b中相對于約旦塊的最后一行 元素不能為0，故有a0, b0。 要使系統(tǒng)能觀，則C中對應(yīng)于約旦塊的第一列元素不全 為0，故有 c0, d0 。 3-3 確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)i和i 解：解： (1) 構(gòu)造能控陣： 要使系統(tǒng)完全能控，則 構(gòu)造能觀陣： 要使系統(tǒng)完全能觀，則 21 21 = = 21 01 CA C N + + = 43 21 1 1 AbbM 01, 1 1 , 43 21 = = =CbA 3-3 確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)i和i 解：解： (2) 構(gòu)造能控陣： 要使系統(tǒng)完全能控，則 構(gòu)造能觀陣： 要使系統(tǒng)完全能觀，則 4321 + 0 2 = = 1341 410 100 2 CA CA C N + + = 32323 3232 323 2 13414 14331 8221 bAAbbM 100, 1 , 410 301 200 3 2 = = =CbA 3-3 確定使下列系統(tǒng)為狀態(tài)完全能控和狀態(tài)完全能觀的待定常數(shù)i和i 解：解： (3) 構(gòu)造能控陣： 要使系統(tǒng)完全能控，則 構(gòu)造能觀陣： 系統(tǒng)完全能觀 0)det(M 系統(tǒng)為能觀標(biāo)準(zhǔn)型 故能觀 完全能控，則輸入到狀態(tài) 傳遞函數(shù)分子分母不可約 3-4 設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 解：解： (1)當(dāng)a取何值時，系統(tǒng)將是不完全能控或不完全能觀的？ 系統(tǒng)能控且能觀的條件為 W(s)沒有零 極點對消。因此當(dāng)a=1,或a=3或a=6時， 系統(tǒng)為不能控或不能觀。 3-4 設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 解：解： （2）當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能控的狀態(tài)空間表達式。 當(dāng)a=1, a=3或a=6時，系統(tǒng)可化為能控標(biāo)準(zhǔn)I型 3-4 設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 解：解： （3）當(dāng)a取上述值時，求使系統(tǒng)的完全能觀的狀態(tài)空間表達式。 由對偶原理，系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為 課后題例課后題例 4 4- -2222 已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖t0,T 其傳函分別為： 1 1 )( 1 = s sT )2)(1( 1 )( 2 + = ss s sT 系統(tǒng)傳函: )2)(1( 1 )()()( 21 + = ss sTsTsT 對消s=1，但系統(tǒng) 本質(zhì)不穩(wěn)定！ 狀態(tài)方程： uxx + = 2 1 0 100 120 011 xy100= 系統(tǒng)傳函: )2)(1( 1 )( )( )( 1 + = ss BAsIC su sy必有一狀態(tài)不能控 或不能觀！ 課后題例課后題例 4 4- -2222 狀態(tài)方程： uxx + = 2 1 0 100 120 011 xy100= 系統(tǒng)能控及能觀 判別矩陣的秩： = 222 1041 310 M = 111 011 001 N 2)(=Mrank 3)(=Nrank 故系統(tǒng)能觀不能控！ = 122 241 610 P = 41 1 41 2 41 6 41 6 41 12 41 5 41 26 41 11 41 8 1 P uzBuPAPzPz + =+= 0 0 1 100 231 320 11 zCPzy610= 不能控！ 課后題例課后題例 4 4- -2222 分解后系統(tǒng)如下： uz z z z z + + = 0 1 2 3 31 20 3 2 1 2 1 u 33 zz = 6 uzBuPAPzPz + =+= 0 0 1 100 231 320 11 zCPzy610= 3 z y + + 當(dāng) 時，y中有 ，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 0)0( 3 z t ez)0(6 3 當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中存在零極點對消現(xiàn)象時，系統(tǒng)存在不可控或不可觀的狀態(tài)。 這種系統(tǒng)是非最小實現(xiàn)系統(tǒng)。 3-9 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ，試求其能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀 標(biāo)準(zhǔn)型。 解：解： 系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型為： 系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為： 3-11 試將下列系統(tǒng)按能控性進行分解 解：解： 構(gòu)造非奇異變換陣： （1） 系統(tǒng)不是完全能控 （滿秩） 3-12 試將下列系統(tǒng)按能觀性進行結(jié)構(gòu)分解 解：解： 構(gòu)造非奇異變換陣： （2） 系統(tǒng)不是完全能觀 111, 1 0 0 , 041 020 122 = = =CbA = = 121 101 111 2 CA CA C N = 100 101 111 1 o R = 100 011 110 o R uxbuRxARRx ooo + =+= 1 1 1 134 032 010 11 xxCRy o 001 = 3-16 從傳遞函數(shù)是否出現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象出發(fā)，說明圖中閉環(huán)系統(tǒng)的能 控性與能觀性和開環(huán)系統(tǒng)的能控性和能觀性是一致的 解：解： o u y = = = n i i m j j o ps zs 1 1 )( )( = = = = m j j n i i m j j o o zsps zs 11 1 )()( )( 1 兩種情況：1 不能控或不能觀 2 能控能觀 一致 4-1 判斷下列二次型函數(shù)的符號性質(zhì)： 解：解： (1) 因此Q(x)是負定的 4-1 判斷下列二次型函數(shù)的符號性質(zhì)： 解：解： (2) 因此Q(x)不是正定的 4-3 試用Lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。 解：解： (1) 系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是 選取Lyapunov函數(shù) 是負定的。 即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。 4-3 試用Lyapunov第二法確定下列系統(tǒng)原點的穩(wěn)定性。 解：解： (2) 系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是 選取Lyapunov函數(shù) 是負定的。 即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。 4-10 已知非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程： 解：解： )( 2 2 12112 21 xxaxax xx += = 試證明在a10,a20時系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的 系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)是 選取Lyapunov函數(shù) 即系統(tǒng)在原點處大范圍漸近穩(wěn)定。 0)( 2 2 2 11 +=xxaxV 0222)( 2 2 2 1222111 =+=xxaxxxxaxV 由狀態(tài)方程可知，當(dāng)a1 0時，a2 0。故 在非原點處不可恒為0。 是半負定的。 5-2 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為： 解：解： uxx + = 10 0 0 1010 110 010 試設(shè)計一狀態(tài)反饋陣是閉環(huán)系統(tǒng)極點配置為-10， 31j = 99010010 110100 1000 M3)(=Mrank 特征多項式為： 期望特征多項式為： 比較各對應(yīng)項系數(shù)： 210 kkkK = 012 2 2 3 10)101011()1011()(det()(kkkkBKAIf+=+= 402412)31)(31)(10()( 23 +=+= jjf = = = 1 . 0 2 . 1 4 2 1 0 k k k 故： 1 . 02 . 14=K 5-3 有系統(tǒng): 解：解： 畫出模擬結(jié)構(gòu)圖。 系統(tǒng)模擬結(jié)構(gòu)圖如下： (1) 5-3 有系統(tǒng): 解：解： 若動態(tài)性能不滿足要求，可否任意配置極點？ (2) 系統(tǒng)采用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是 完全能控。 系統(tǒng)能控，故若系統(tǒng)動態(tài)性能不滿足要求，可任意配置極點。 5-3 有系統(tǒng): 解：解： 若指定極點為-3，-3，求狀態(tài)反饋陣。 (3) 設(shè)： 特征多項式為： 期望特征多項式為： 22)3()(det()( 101 2 +=+=kkkBKAIf 比較各對應(yīng)項系數(shù) 3, 1 10 =kk故 31 10 =kkK 5-5 試判斷下列系統(tǒng)通過狀態(tài)反饋能否鎮(zhèn)定。 解：解： (1) 系統(tǒng)的能控陣為： 系統(tǒng)能控。可以采用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)的極點配置在根平面的左側(cè)， 使閉環(huán)系統(tǒng)鎮(zhèn)定。 5-8 已知系統(tǒng)： 解：解： (1) 判別系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋實現(xiàn)解耦 uxx + = 10 10 01 101 320 001 xy = 110 001 01 10 10 01 001 0 1 = =BAC0 1 =d 00 10 10 01 110 0 2 = =BAC01 10 10 01 101 320 001 110 1 2 = =BAC1 2 =d 0 01 01 det)det(= =E 故不可解耦 5-10 已知系統(tǒng)： 解：解： 試設(shè)計一個狀態(tài)觀測器，使觀測器的極點為-r，-2r(r0)。 觀測器特征多項式為： 期望特征多項式為： 21 2 )(det()(ggGCAIf+= 比較各對應(yīng)項系數(shù) 2 21 2