第十二節(jié)定積分與微積分基本定理考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第42頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1定積分的概念與幾何意義(1)定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i(i1,2，n)，作和式sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.當(dāng)每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度x趨于0時(shí)，s的值趨于一個(gè)常數(shù)A我們稱常數(shù)A叫作函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx f(i)(2)有關(guān)概念在f(x)dx中，叫作積分號(hào)，a與b分別叫作積分下限與積分上限，函數(shù)f(x)叫作被積函數(shù)(3)定積分的幾何意義f(x)f(x)dx的幾何意義f(x)0表示由直線xa，xb，x軸及曲線yf(x)所圍曲邊梯形的面積f(x)0表示由直線xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a，b上有正有負(fù)表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積2.定積分的性質(zhì)(1)1dxba；(2)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))；(3)f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)3微積分基本定理如果連續(xù)函數(shù)f(x)是函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f(x)F(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個(gè)結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茨公式通常稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便，常把F(b)F(a)記作F(x)|，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)知識(shí)拓展函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若f(x)為偶函數(shù)，則 f(x)dx2f(x)dx.(2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx0.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，則f(x)dxf(t)dt.()(2)定積分一定是曲邊梯形的面積()(3)若f(x)dx0，那么由yf(x)的圖像，直線xa，直線xb以及x軸所圍成的圖形一定在x軸下方()(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)已知質(zhì)點(diǎn)的速率v10t，則從t0到tt0質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程是()A10t B5tCtDtBSvdt10tdt5t25t.3.e|x|dx的值為_(kāi)2e2e|x|dxexdxexdxexexe0(e)(ee0)1ee12e2.4曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_(kāi)如圖，陰影部分的面積即為所求由得A(1,1)故所求面積為S(xx2)dx.5若x2dx9，則常數(shù)T的值為_(kāi)3x2dxT39，T0，T3.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第43頁(yè))定積分的計(jì)算計(jì)算下列定積分(1)(x2sin x)dx；(2)|1x|dx；(3)(x2tan xx31)dx.解(1)(x2sin x)dxx2dxsin xdx2x2dx2.(2)|1x|dx(1x)dx(x1)dx01.(3)x2tan xx3是奇函數(shù)，(x2tan xx31)dxldxx2.規(guī)律方法1.運(yùn)用微積分基本定理求定積分時(shí)要注意以下幾點(diǎn)(1)對(duì)被積函數(shù)要先化簡(jiǎn)，再求積分.(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和.(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值符號(hào)，再求積分.(4)注意用“F(x)f(x)”檢驗(yàn)積分的對(duì)錯(cuò).2.根據(jù)定積分的幾何意義，可利用面積求定積分.跟蹤訓(xùn)練(1)(2018江西九校聯(lián)考)(2x)dx_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140091】(2)設(shè)f(x)(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為_(kāi)(1)1(2)(1)dx等于半徑為1的圓面積的，(2x)dx2xdxdxx2121.(2)f(x)f(x)dxx2dxdxln xln e.定積分的幾何意義(1)(2018南寧、欽州第二次適應(yīng)性考試)定義mina，b設(shè)f(x)min，則由函數(shù)f(x)的圖像與x軸、直線x2所圍成的封閉圖形的面積為()ABCln 2 Dln 2(2)已知曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為，則k_.(1)C(2)2(1)由題意得所求封閉圖形的面積為x2dxdxx3ln x|ln 2，故選C(2)由得或則曲線yx2與直線ykx(k0)所圍成的曲邊梯形的面積為(kxx2)dx|k3，即k38，所以k2.規(guī)律方法利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形.(2)借助圖形確定被積函數(shù)，求交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限.(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和.(4)計(jì)算定積分，寫(xiě)出答案.易錯(cuò)警示：利用定積分求曲邊圖形面積時(shí)，一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù).當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要分不同情況討論.跟蹤訓(xùn)練(1)曲線yx2，y與x軸所圍成的面積為_(kāi)(2)(2017山西大學(xué)附中第二次模擬)曲線y2sin x(0x)與直線y1圍成的封閉圖形的面積為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140092】(1)(2)2(1)如圖所示，由y及yx2可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1.由定積分的幾何意義可知，由y，yx2及x軸所圍成的封閉圖形的面積為dx(x2)dxx.(2)令2sin x1，得sin x，當(dāng)x0，時(shí)，得x或x，所以所求面積S(2sin x1)dx(2cos xx) 2.定積分在物理中的應(yīng)用一輛汽車(chē)在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車(chē)，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車(chē)?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5B825lnC425ln 5D450ln 2C由v(t)73t0，可得t4，因此汽車(chē)從剎車(chē)到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.規(guī)律方法定積分在物理中的兩個(gè)應(yīng)用(1)求物體做變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，如果變速直線運(yùn)動(dòng)物體的速度為vv(t)，那么從時(shí)刻ta到tb所經(jīng)過(guò)的路程sv(t)dt.(2)變力做功，一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方