層級(jí)快練(三十七)1數(shù)列12n1的前n項(xiàng)和為()A12nB22nCn2n1 Dn22n答案C2數(shù)列(1)n(2n1)的前2 018項(xiàng)和S2 018等于()A2 016 B2 018C2 015 D2 015答案B解析S2 0181357(22 0171)(22 0181)222,1 009個(gè)2相加2 018.故選B.3在數(shù)列an中，已知對(duì)任意nN*，a1a2a3an3n1，則a12a22a32an2等于()A(3n1)2 B.(9n1)C9n1 D.(3n1)答案B解析因?yàn)閍1a2an3n1，所以a1a2an13n11(n2)則n2時(shí)，an23n1.當(dāng)n1時(shí)，a1312，適合上式，所以an23n1(nN*)則數(shù)列an2是首項(xiàng)為4，公比為9的等比數(shù)列，故選B.4數(shù)列an，bn滿足anbn1，ann23n2，則bn的前10項(xiàng)之和為()A. B.C. D.答案B解析bn，S10b1b2b3b10.5在數(shù)列an中，an2n1，則()A1 B12nC1 D12n答案C6已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，其前n項(xiàng)和Sn，則項(xiàng)數(shù)n等于()A13 B10C9 D6答案D解析an1，Snn()n1.而5，n15.n6.7已知等差數(shù)列an的公差為d，且an0，d0，則可化簡(jiǎn)為()A. B.C. D.答案B解析()，原式()()，選B.8(2017衡水中學(xué)調(diào)研卷)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S36，S5，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為()A1 B2C2 D2答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則Snna1d，因?yàn)镾36，S5，所以解得所以ann1，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn，Tn，兩項(xiàng)相減得Tn()(1)，所以Tn2.9Sn_答案解析通項(xiàng)an()，Sn(1)(1).10已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn26n，則|an|的前n項(xiàng)和Tn_答案解析由Snn26n，得an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5，公差為2.an5(n1)22n7.n3時(shí)，an3時(shí)，an0.Tn11(2017衡水中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a11，an1an2n(nN*)，則S2 016_答案321 0083解析依題意，得an1an2n，an1an22n1，則2，即2，所以數(shù)列a1，a3，a5，a2k1，是以a11為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a6，a2k，是以a22為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則S2 016(a1a3a5a2 015)(a2a4a6a2 016)321 0083.12(2018深圳調(diào)研二)數(shù)列an是公差為d(d0)的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，a1，a2，a5成等比數(shù)列(1)證明：S1，S3，S9成等比數(shù)列；(2)設(shè)a11，bna2n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.答案(1)略(2)2n2n4解析(1)證明：由題意有a22a1a5，即(a1d)2a1(a14d)，解得d2a1.又S1a1，S33a13d9a1，S99a136d81a1，S32S1S9.又S1，S3，S9均不為零，S1，S3，S9成等比數(shù)列(2)由a11得d2a12，則an2n1，則Tna2a22a23a2n(221)(2221)(2231)(22n1)2(222232n)n2n2n413(2017課標(biāo)全國(guó)，文)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案(1)an(2)解析(1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，從而an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知.則Sn.14已知數(shù)列an為等比數(shù)列，Tnna1(n1)a2an，且T11，T24.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列Tn的通項(xiàng)公式答案(1)an2n1(2)Tn2n1n2解析(1)T1a11，T22a1a22a24，a22.等比數(shù)列an的公比q2.an2n1.(2)方法一：Tnn(n1)2(n2)2212n1，2Tnn2(n1)22(n2)2312n，得Tnn2222n12nnn2n122n1n2.方法二：設(shè)Sna1a2an，Sn122n12n1.Tnna1(n1)a22an1ana1(a1a2)(a1a2an)S1S2Sn(21)(221)(2n1)(2222n)nn2n1n2.15(2018太原二模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn2n12，數(shù)列bn滿足bnanan1(nN*)(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)若cnlog2an(nN*)，求數(shù)列bncn的前n項(xiàng)和Tn.答案(1)32n(2)3(n1)2n16解析(1)當(dāng)n1時(shí)，a1S12，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n，又a12滿足上式，an2n(nN*)，bnanan132n.(2)由(1)得an2n，bn32n，cnlog2ann，bncn3n2n，Tn3(12222323n2n)，2得2Tn3(122223324n2n1)，得Tn3(2222nn2n1)3(1n)2n12，Tn3(n1)2n16.1(2016天津，文)已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若對(duì)任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(1)nbn2的前2n項(xiàng)和答案解析(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，有，解得q2，或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列(1)nbn2的前n項(xiàng)和為Tn，則T2n(b12b22)(b32b42)(b2n12b2n2)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.(第二次作業(yè))1數(shù)列1，(12)，(1222)，(12222n1)，的前n項(xiàng)之和為()A2n1Bn2nnC2n1n D2n1n2答案D解析記an12222n12n1，Snn2n12n.2(2017寧夏銀川一中模擬)已知數(shù)列2 008，2 009，1，2 008，2 009，.這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 018項(xiàng)之和S2 018等于()A2 008 B4 017C1 D0答案B解析由已知得anan1an1(n2)，an1anan1.故數(shù)列的前8項(xiàng)依次為2 008，2 009，1，2 008，2 009，1，2 008，2 009.由此可知該數(shù)列為周期數(shù)列，周期為6，且S60.2 01863362，S2 018S22 0082 0094 017.3(2015江蘇)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_答案解析由題意得：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1nn121，所以2()，Sn2(1)，S10.4(2018衡水中學(xué)調(diào)研卷)數(shù)列an的通項(xiàng)公式anncos1，前n項(xiàng)和為Sn，則S2 020_答案3 030解析anncos1，a1a2a3a46，a5a6a7a86，a4k1a4k2a4k3a4k46，kN，S2 020505(a1a2a3a4)50563 030.5(2018江蘇蘇州調(diào)研)已知數(shù)列an滿足an1an(1an1)，a11，數(shù)列bn滿足bnanan1，則數(shù)列bn的前10項(xiàng)的和S10_答案解析由an1an(1an1)得1，因此數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以n，即an，bnanan1，所以S10b1b2b10(1)()()1.6(2013湖南)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn(1)nan，(nN*)，則(1)a3_；(2)S1S2S100_答案(1)(2)(1)解析(1)因?yàn)镾n(1)nan，則S3a3，S4a4，解得a3.(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Snan，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Snan，可得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)an，又S1S2S100(a1)(a2)(a99)(a100)a1a2a99a100()S1002(a1a3a99)(1)S101a1012()(1)()2(1)(1)(1)7(2016北京，文)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和答案(1)an2n1(2)Snn2解析(1)等比數(shù)列bn的公比q3，所以b11，b4b3q27.bn3n1.設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(n1，2，3，)(2)由(1)知，an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2.8(2018安徽江南十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足Sn2ann4.(1)證明：Snn2為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和Tn.答案(1)略(2)Tn解析(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1S1，S12a114，解得a13.由Sn2ann4可得Sn2(SnSn1)n4(n2)，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2因?yàn)镾1124，所以Snn2是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.9(2017重慶抽測(cè)二)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a12，an1Sn(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn(n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.答案(1)(2)(n2)2n2(nN*)解析(1)an1Sn(nN*)，Sn1SnSn，2.又S1a12，數(shù)列Sn是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，Sn2n(nN*)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1(n2)，an(2)Tn0a11a22a3(n1)an，當(dāng)n1時(shí)，T10.當(dāng)n2時(shí)，Tn12222323(n1)2n1，2Tn122223324(n2)2n1(n1)2n，得Tn222232n1(n1)2n(n1)2n(2n)2n2.Tn(n2)2n2(n2)又T10也滿足上式，Tn(n2)2n2(nN*)10(2015課標(biāo)全國(guó))Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an0，an22an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和答案(1)an2n1(2)Tn解析(1)由an22an4Sn3，可知an122an14Sn13.可得an12an22(an1an)4an1，即2(an1an)an12an2(an1an)(an1an)由于an0，可得an1an2.又a122a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn()設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn()()().11數(shù)列an滿足a11，nan1(n1)ann(n1)(nN*)(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)bn3n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.答案(1)略(2)Sn解析(1)證明：由題意，得1，即1，所以是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列(2)解：由(1)得1(n1)1n，所以ann2.所以bnn3n.Sn131232333n3n，3Sn132233(n1)3nn3n1.得2Sn31323nn3n1n3n1.所以Sn.1(2015安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，且a1a49，a2a38.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.答案(1)an2n1(2)Tn1解析(1)由題設(shè)知，a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比為q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tn