第二章,基本初等函數(shù),(),本章內(nèi)容,2.1 指數(shù)函數(shù),2.2 對數(shù)函數(shù),2.3 冪函數(shù),第二章 小結(jié),本章小結(jié),本章小結(jié),知識要點,自我檢測題,復習參考題,1. 指數(shù)冪的運算,負指數(shù):,分數(shù)指數(shù):,同底數(shù)冪相乘除:,冪的乘方:,積的乘方:,aman=am+n.,(am)n=amn.,(ab)n=anbn.,返回目錄,2. 指數(shù)函數(shù),解析式:,圖象特點:,y = ax (a0, 且a1).,3. 指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),定義域:,值域:,0a1, 負指數(shù)冪大于1, 正指數(shù)冪小于1.,單調(diào)性:,(-, +),(0, +),a1, 負指數(shù)冪小于1, 正指數(shù)冪大于1.,0a1, (-, +)上是減函數(shù).,a1, (-, +)上是增函數(shù).,4. 對數(shù)運算,對數(shù)式與指數(shù)式的互化:,常用對數(shù):,aN = b N = logab.,自然對數(shù):,1 的對數(shù)等 0,底的對數(shù)等于 1.,以10為底, log10a = lga.,以 e=2.71828為底, logea=lna.,兩個特殊對數(shù)值:,5. 對數(shù)的運算性質(zhì),換底公式:,(1) loga(MN) = logaM + logaN.,(3) logaMn = nlogaM (nR).,(2) loga = logaM - logaN.,6. 對數(shù)函數(shù),解析式:,圖象特點:,y = logax (a0, 且a1).,7. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),定義域:,值域:,單調(diào)性:,(0, +).,(-, +).,底數(shù)、真數(shù)同大于1, 或同小于1, 對數(shù)值為正.,0a1, (0, +)上是減函數(shù).,a1, (0, +)上是增函數(shù).,底數(shù)、真數(shù)一個大于1, 一個小于1, 對數(shù)值為負.,8. 冪函數(shù),解析式:,幾種冪函數(shù)的圖象特點:,y = xa (a為常數(shù)).,9. 冪函數(shù)的性質(zhì),10. 反函數(shù),由于習慣用 x 表示自變量, 所以將變換后函數(shù)中的字母 x, y 相交換得,將一個函數(shù) y=f(x) 中的 y 表示成 x 的函數(shù),x=g(y),我們把 x=g(y) 叫做 y=f(x) 的反函數(shù).,y=g(x).,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù).,如果兩函數(shù)互為反函數(shù), 則它們的圖象關于直線 y=x 即稱.,復習參考題,復習參考題,返回目錄,A 組,1. 求下列各式的值: (1) (2) (3) (4),解:,(1),=11.,(2),(3),(4),2. 化簡下列各式: (1) (2) (a2-2+a-2)(a2-a-2).,解:,(1),原式 =,(2),原式 =,3. (1) 已知 lg2=a, lg3=b, 試用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23=a, log37=b, 試用 a、b 表示 log1456.,解:,(1),3. (1) 已知 lg2=a, lg3=b, 試用 a、b 表示 log125; (2) 已知 log23=a, log37=b, 試用 a、b 表示 log1456.,解:,(2),由 log23=a, ,4. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2),解:,(1),要使函數(shù)有定義, 只需,2x-10,即,函數(shù)的定義域為,(2),要使函數(shù)有定義, 需, x0.,函數(shù)的定義域為 x|x0.,5. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) y=loga(2-x) (a0, 且a1); (3) y=loga(1-x)2 (a0, 且a1).,解:,(1),要使函數(shù)有定義, 需,原函數(shù)的定義域為,(2),要使函數(shù)有意義, 需,2-x0,得 x2,原函數(shù)的定義域為 x|x2.,5. 求下列函數(shù)的定義域: (1) (2) y=loga(2-x) (a0, 且a1); (3) y=loga(1-x)2 (a0, 且a1).,解:,(3),要使函數(shù)有定義, 需,(1-x)20,即 1-x0,原函數(shù)的定義域為 xR|x1.,得 x1,6. 比較下列各組中兩個值的大小: (1) log67, log76; (2) log3p, log20.8.,解:,(1),log67log66,=1,log76log77,=1,log67log76.,(2),31, p 1,log3p0,又 21, 0.81,log20.80.,則 log3p log20.8.,7. 已知 f(x)=3x, 求證: (1) f(x)f(y)=f(x+y); (2) f(x)f(y)=f(x-y).,證明:,(1), f(x)=3x, f(x)f(y)=3x3y,=3x+y,f(x+y)=3x+y,則 f(x)f(y)=f(x+y)成立.,(2),f(x)f(y)=3x3y,=3x-y,f(x-y)=3x-y, f(x)f(y)=f(x-y)成立.,8. 已知 f(x)= a, b(-1, 1), 求證:,證明:,即 成立.,9. 牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同, 假定保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)關系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時間 y 關于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時間 (精確到 1 h); (3) 運用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.,解:,(1),設保鮮時間與溫度的指數(shù)關系為 y=kax,當 x=0 時, y=192; 當 x=22 時, y=42.,則, k=192, a0.93.,于是得保鮮時間與溫度的函數(shù)式為 y=1920.93x.,9. 牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同, 假定保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)關系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時間 y 關于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時間 (精確到 1 h); (3) 運用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.,解:,(2),由(1)得函數(shù)式為 y=1920.93x.,當 x=30 時, y=1920.9330,22 (h);,當 x=16 時, y=1920.9316,60 (h).,答: 在30溫度下, 可保鮮22小時, 在16溫度下, 可保鮮60小時.,9. 牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同, 假定保鮮時間與儲藏溫度是一種指數(shù)關系, 若牛奶放在0的冰箱中, 保鮮時間約是192 h, 而在22的廚房中則約是42 h. (1) 寫出保鮮時間 y 關于儲藏溫度 x 的函數(shù)解析式; (2) 利用 (1) 中結(jié)論, 指出溫度在30和16的保鮮時間 (精確到 1 h); (3) 運用上面的數(shù)據(jù), 作此函數(shù)的圖象.,解:,(3),圖象經(jīng)過點,(30, 22).,(22, 42),(16, 60),(0, 192),y=1920.93x,10. 已知冪函數(shù) y=f(x) 的圖象過點(2, ), 試求 此函數(shù)的解析式, 并作出圖象, 判斷奇偶性、單調(diào)性.,解:,冪函數(shù) y=xa 經(jīng)過點,則有,得,即函數(shù)解析式為,定義域為(0, +),圖象過點 (1, 1),1,1,2,4,函數(shù)非奇非偶,在(0, +)上是減函數(shù).,B 組,1. 已知集合A=y | y=log2x, x1, B=y | y= x1, 則AB = ( ) (A) (B) y|0y1 (C) (D) ,解:,當 x1 時, log2x0,A=y|y0,則,A,2. 若 2a=5b=10, 則,解:,2a=10, a=log210,5b=10, b=log510,則,= lg(25),=1.,1,3. 對于函數(shù) f(x)=a- (aR): (1) 探索函數(shù) f(x) 的單調(diào)性; (2) 是否存在實數(shù) a 使函數(shù) f(x) 為奇函數(shù)?,解:,(1),2x是 (-, +)上的增函數(shù),當 x1x2 時,則,所以得 f(x1)f(x2),函數(shù)在(-, +)上是增函數(shù).,3. 對于函數(shù) f(x)=a- (aR): (1) 探索函數(shù) f(x) 的單調(diào)性; (2) 是否存在實數(shù) a 使函數(shù) f(x) 為奇函數(shù)?,解:,(2),要使 f(x)為奇函數(shù), 需,f(-x) = -f(x),即,整理得,解得,即當 a=1 時, f(x)為奇函數(shù).,4. 設 求證: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,證明:,原等式成立.,(1),=1,4. 設 求證: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,證明:,原等式成立.,(2),又 2f(x)g(x),4. 設 求證: (1) g(x)2-f(x)2=1; (2) f(2x)=2f(x)g(x); (3) g(2x)=g(x)2+f(x)2.,證明:,(3), g(2x)=g(x)2+f(x)2 成立.,又 g(x)2+f(x)2,5. 把物體放在冷空氣中冷卻, 如果物體原來的溫度是 q1, 空氣的溫度是q0. t min 后物體的溫度q可由公式 q = q0+(q1-q0)e-kt 求得, 這里 k 是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常量, 現(xiàn)有62的物體, 放在15的空氣中冷卻, 1 min以后物體的溫度是52, 求上式中 k 的值 (精確到0.01), 然后計算開始冷卻后多長時間物體的溫度是42, 32. 物體會不會冷卻到12?,解:,當 q1= 62, q0= 15, t =1時, q = 52,則得 52=15+(62-15)e-k,解得,0.24.,得此物體的冷卻公式為,q =15+47e-0.24t.,當 q =42 時, 解得 t 2.3(min);,當 q =32 時, 解得 t 4.2(min).,當 q =12 時, 得 t = lg0.79(-0.06),對數(shù)無意義.,(答略),事實上, 物體不可能冷卻到比空氣的溫度還低.,6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量 P mg/L 與時間 t h 間的關系為 p = p0e-kt. 如果在前5小時消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關于時間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計算結(jié)果.,解:,當 t=5 時, P=90%P0,則 90%P0=P0e-5k,解得 k0.02,得 P 與 t 的關系式為,P=P0e-0.02t.,(1),當 t =10 時,P=P0e-0.2,0.82P0,答: 10小時后大約還剩百分之八十二的污染物.,6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量 P mg/L 與時間 t h 間的關系為 p = p0e-kt. 如果在前5小時消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關于時間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計算結(jié)果.,解:,當 t=5 時, P=90%P0,則 90%P0=P0e-5k,解得 k0.02,得 P 與 t 的關系式為,P=P0e-0.02t.,(2),當 P =0.5P0 時,答: 污染物減少50%, 大約需要花35小時.,得 0.5P0=P0e-0.02t.,解得 t 35,6. 某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放, 過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量 P mg/L 與時間 t h 間的關系為 p = p0e-kt. 如果在前5小時消除了10%的污染物, 試回答: (1) 10小時后還剩百分之幾的污染物? (2) 污染物減少50%需要花多少時間 (精確到 1 h)? (3) 畫出污染物數(shù)量關于時間變化的函數(shù)圖象, 并在圖象上表示計算結(jié)果.,解:,圖象過點 (5, 0.9),(3),(10, 0.82),(35, 0.5).,5,10,35,0.5,0.82,0.9,自我檢測題,返回目錄,檢測題,一、選擇題(每小題只有一個正確選項) 1. 已知集合A=y|y=log2x, x1, B=y|y= , x1, 則AB=( ) (A) (B) y|0b, 則 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D) 3. 如果a1, bf(1), 則x的取值范圍是( ) (A) (B) (C) (D) (0,1) (10,+) 二、填空題 6. 1992年底世界人口達到54.8億, 若人口的年平均增長率為1%, 經(jīng)過x年后世界人口數(shù)為y(億), 則y與x的函數(shù) 解析式為 . 7. 函數(shù)y=logx-1(3-x)的定義域是 . 8. 設0x2,則函數(shù) 的最大值是 , 最小值是 . 三、解答題 9. 已知函數(shù)f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求f(x)的定義域; (2) 討論函數(shù)f(x)的增減性. 10. 某電器公司生產(chǎn)A型電腦, 1993年這種電腦每臺平均生產(chǎn)成本為5000元, 并以純利潤20%確定出廠價, 從 1994年開始, 公司通過更新設備和加強管理,使生產(chǎn)成本逐年降低, 到1997年, 盡管A型電腦出廠價是1993 年出廠價的80%, 但卻實現(xiàn)了50%純利潤的高效益. (1) 求1997年每臺A型電腦的生產(chǎn)成本; (2) 以1993年的生產(chǎn)成本為基數(shù), 求19931997年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分數(shù) (精確到0.01, 以下數(shù)據(jù) 可供參考: ).,檢測題,一、選擇題(每小題只有一個正確選項) 1. 已知集合A=y| y=log2x, x1, B=y| y= , x1, 則AB= ( ) (A) (B) y|0y1 (C) (D) ,解:,化簡集合得,A=y | y0,A,2. 若 a, b 是任意實數(shù), 且 ab, 則 ( ) (A) a2b2 (B) (C) lg(a-b)0 (D),分析:,用函數(shù)的思想判斷 A、D 選項,A 選項看作二次函數(shù), 在任意實數(shù)范圍內(nèi)不是一,個單調(diào)區(qū)間, 不能確定大小.,D 選項看作指數(shù)函數(shù), 底數(shù)小于 1, 在 (-, +),上是減函數(shù), ab,D,也可用具體實數(shù)檢驗:,1-2 12(-2)2,-1-2 ,a-b=0.1 lg(a-b)0,A不對;,B不對;,C不對.,3. 如果 a1, b-1, 那么函數(shù) f(x)=ax+b 的圖象在( ) (A) 第一、二、三象限 (B)第一、三、四象限 (C) 第二、三、四象限 (D)第一、二、四象限,分析:,f(x)的圖象是將底數(shù)大于 1 的指數(shù)函數(shù)的圖象,向下平移一個多單位, (如圖),則應選 B.,B,y=ax,b,y=ax+b,4. 世界人口已超過 56 億, 若按千分之一的年增長率計算, 則兩年增長的人口就可相當于一個 ( ) (A) 新加坡 (270萬) (B) 香港 (560萬) (C) 瑞士 (700萬) (D) 上海 (1200萬),解:,增長兩年后的總?cè)丝?,560000(1+0.001)2.,兩年增長的人口:,560000(1+0.001)2-560000,1121(萬),即兩年增加的人口將超過1121萬人, 相當于一個,上海人口.,D,5. 已知 f(x) 是偶函數(shù) , 它在 0, +) 上是減函數(shù). 若 f(lgx)f(1), 則 x 的取值范圍是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 1) (10, +),分析:,由 f(x) 在 0, +) 上是減函數(shù), 且是偶函數(shù),則大概圖象如圖:,f(1)=f(-1),要使 f(lgx)f(1), 需,-1lgx1,lg10-1=,= lg10,C,二、填空題 6. 1992 年底世界人口達到 54.8 億, 若人口的年平均增長率為 1%, 經(jīng)過 x 年后世界人口數(shù)為 y (億), 則 y 與 x 的函數(shù)解析式為 .,y=54.8(1+0.01)x,7. 函數(shù) y=logx-1(3-x) 的定義域是 .,解:,x-10,x-11,3-x0,解得 1x3, 且 x2.,(1, 2)(2, 3),8. 設 0x2, 則函數(shù) 的最大值是 , 最小值是 .,分析:,原函數(shù)變?yōu)?y=22x-1-32x+5,設 2x=t (1t4),則函數(shù)變?yōu)?畫出圖象:,當 t=1 時, 函數(shù)取得最大值,當 t=3 時, 函數(shù)取得最小值,三、解答題 9. 已知函數(shù) f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.,解:,(1),要使對數(shù)有意義, 需 ax-10,即 ax1, 當 0a1 時, x0,此時函數(shù)的定義域為 (-, 0)., 當 a1 時, x0,此時函數(shù)的定義域為 (0, +).,三、解答題 9. 已知函數(shù) f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.,解:,(2), 當 0a1 時, x0,ax是 (-, 0) 上的減函數(shù).,取 x1x20 時, logau是 (0, +) 上的減函數(shù), logau1logau2,則當 0a1 時, f(x) 在 (-, 0) 上是增函數(shù).,三、解答題 9. 已知函數(shù) f(x)=loga(ax-1) (a0, 且a1). (1) 求 f(x) 的定義域; (2) 討論函數(shù) f(x) 的增減性.,解:,(2), 當 a1 時, x0,ax是 (0, +) 上的增函數(shù).,取 x1x20 時, logau是 (0, +)