第一講 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修44)考情分析坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考的選考內(nèi)容之一，高考考查的重點(diǎn)主要有兩個(gè)方面：一是簡單曲線的極坐標(biāo)方程；二是參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與曲線的綜合應(yīng)用，由于本部分在高考中考查的知識(shí)點(diǎn)較為穩(wěn)定，在備考時(shí)應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注極坐標(biāo)系中直線的方程，或者求解極坐標(biāo)系中曲線的某個(gè)特征值，及已知直線和圓的參數(shù)方程判斷直線和圓的位置關(guān)系，求最值問題等本部分內(nèi)容在備考中應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，抓住知識(shí)，少做難題.年份卷別考查角度及命題位置2017卷直線與橢圓的參數(shù)方程及應(yīng)用T22卷極坐標(biāo)方程及應(yīng)用T22卷參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的應(yīng)用T222016卷參數(shù)方程與普通方程的互化、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及應(yīng)用T23卷極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化及應(yīng)用、直線與圓的位置關(guān)系T23卷參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程及點(diǎn)到直線的距離、三角函數(shù)的最值T232015卷極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化以及極坐標(biāo)方程的應(yīng)用T23卷參數(shù)方程和普通方程的互化、三角函數(shù)的性質(zhì)T23真題自檢1(2017高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2，)，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos |sin()|2|sin(2)|2.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.2(2016高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中 0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解析：(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0，由方程組得16 cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當(dāng)a1時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上所以a1.3(2016高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)解析：(1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ，sin )因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d()，當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為.簡單曲線的極坐標(biāo)方程及應(yīng)用方法結(jié)論1圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos ；(3)當(dāng)圓心位于M，半徑為a：2asin .2直線的極坐標(biāo)方程若直線過點(diǎn)M(0，0)，且極軸與此直線所成的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個(gè)特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點(diǎn)：0和0；(2)直線過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法點(diǎn)M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式題組突破1(2017太原模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫出C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解析：(1)由cos1，得1.因?yàn)樗訡的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy2.當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N.(2)由(1)可知M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為.所以直線OP的極坐標(biāo)方程為，(，)2(2017西安模擬)已知曲線C：，直線l：(cos sin )12.(1)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在曲線C上，求到直線l的距離最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)解析：(1)由，得82sin2227,8y2x2y227，即1.由(cos sin )12，得cos sin 120，即xy120.(2)設(shè)點(diǎn)P(3cos ，sin )，點(diǎn)P到直線l的距離d3，若點(diǎn)P到直線l的距離最小，則，此時(shí)點(diǎn)P.誤區(qū)警示1極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化時(shí)注意等價(jià)性2在極坐標(biāo)系中，若極角R，則任一點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一參數(shù)方程方法結(jié)論幾種常見曲線的參數(shù)方程(1)圓以O(shè)(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程是其中是參數(shù)當(dāng)圓心在(0,0)時(shí)，方程為其中是參數(shù)(2)橢圓橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程是其中是參數(shù)(3)直線經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是其中t是參數(shù)題組突破1(2016高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|，求l的斜率解析：(1)由xcos ，ysin 可得圓C的極坐標(biāo)方程為212cos 110.(2)由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，消去參數(shù)得yxtan .設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為kxy0.由圓C的方程(x6)2y225知，圓心坐標(biāo)為(6,0)，半徑為5.又|AB|，由垂徑定理及點(diǎn)到直線的距離公式得，即，整理得k2，解得k，即l的斜率為.2(2017惠州模擬)已知曲線C的極坐標(biāo)方程是4cos .以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|，求直線l的傾斜角的值解析：(1)由4cos 得24cos .x2y22，xcos ，ysin ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y24x0，即(x2)2y24.(2)將代入曲線C的方程得(tcos 1)2(tsin )24，化簡得t22tcos 30.設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則.|AB|t1t2|，4cos22，cos ，或.誤區(qū)警示對(duì)于直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))易忽視只有滿足a2b21時(shí)t才有幾何意義極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用典例(2017貴陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)AB取最小值時(shí)AOB的面積解析：(1)由得C1的普通方程為(x4)2(y5)29，由2sin 得22sin ，將x2y22，ysin 代入上式得C2的直角坐標(biāo)方程為x2(y1)21.(2)如圖，當(dāng)A，B，C1，C2四點(diǎn)共線，且A，B在線段C1C2上時(shí)，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，kC1C21，則直線C1C2的方程為xy10，點(diǎn)O到直線C1C2的距離d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.類題通法化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消參法；極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化主要是用好“公式”一般與極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程有關(guān)的問題多采用化為直角坐標(biāo)方程的方法，結(jié)合圖形，合理轉(zhuǎn)化，加以求解演練沖關(guān)(2017沈陽模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yx，圓C：(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐