第一章 建立數(shù)學(xué)模型,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型 1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義 1.3 數(shù)學(xué)建模示例 1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟 1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類 1.6 怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模,玩具、照片、飛機、火箭模型 , 實物模型,水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機 , 物理模型,地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 , 符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分 進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征,1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學(xué)模型,我們常見的模型,你碰到過的數(shù)學(xué)模型“航行問題”,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小時20千米/小時.,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時， 從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?,x =20 y =5,航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟,作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；,用符號表示有關(guān)量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；,求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20, y=5）；,回答原問題（船速每小時20千米/小時）。,數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model) 和 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling),對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的， 根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)， 運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。,建立數(shù)學(xué)模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數(shù)學(xué)模型,數(shù)學(xué)建模,1.2 數(shù)學(xué)建模的重要意義,電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；,數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。,數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的第一步， 越來越受到人們的重視。,在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；,在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；,數(shù)學(xué)進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開辟了許多處女地。,數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用,分析與設(shè)計,預(yù)報與決策,控制與優(yōu)化,規(guī)劃與管理,數(shù)學(xué)建模,計算機技術(shù),知識經(jīng)濟,1.3 數(shù)學(xué)建模示例,1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎,問題分析,模型假設(shè),通常 三只腳著地,放穩(wěn) 四只腳著地,四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;,地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)面;,地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。,模型構(gòu)成,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,椅子位置,利用正方形(椅腳連線)的對稱性,用 (對角線與 x 軸的夾角)表示椅子位置,四只腳著地,距離是的函數(shù),四個距離(四只腳),A,C 兩腳與地面距離之和 f (),B,D 兩腳與地面距離之和 g (),兩個距離,椅腳與地面距離為零,正方形ABCD 繞O點旋轉(zhuǎn),正方形對稱性,用數(shù)學(xué)語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來,F ( ) , g ( )是連續(xù)數(shù),對任意, f ( ), g ( )至少一個為0,數(shù)學(xué)問題,已知： f ( ) , g ( )是連續(xù)函數(shù) ; 對任意， f ( ) g ( )=0 ; 且 g (0)=0， f (0) 0. 證明：存在0，使 f (0) = g (0) = 0.,模型構(gòu)成,地面為連續(xù)曲面,椅子在任意位置至少三只腳著地,模型求解,給出一種簡單、粗糙的證明方法,將椅子旋轉(zhuǎn)900，對角線AC和BD互換。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 則h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì), 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因為f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,評注和思考,建模的關(guān)鍵 ,假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì),考察四腳呈長方形的椅子,和 f(), g()的確定,1.3.2 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲), 3名商人 3名隨從,隨從們密約, 在河的任一岸, 一旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步?jīng)Q策過程,決策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人員,要求在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河.,模型構(gòu)成,xk第k次渡河前此岸的商人數(shù),yk第k次渡河前此岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, ,sk=(xk , yk)過程的狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,S 允許狀態(tài)集合,uk第k次渡船上的商人數(shù),vk第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)決策,D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2, ,sk+1=sk dk,+(-1)k,狀態(tài)轉(zhuǎn)移律,求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按轉(zhuǎn)移律由 s1=(3,3)到達 sn+1=(0,0).,多步?jīng)Q策問題,模型求解,窮舉法 編程上機,圖解法,狀態(tài)s=(x,y) 16個格點,允許決策 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,d1, ，d11給出安全渡河方案,評注和思考,規(guī)格化方法,易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài),S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2,背景,世界人口增長概況,中國人口增長概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長,1.3.3 如何預(yù)報人口的增長,指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798),常用的計算公式,x(t) 時刻t的人口,基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù),今年人口 x0, 年增長率 r,k年后人口,隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長,指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長預(yù)測,不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律,不能預(yù)測較長期的人口增長過程,19世紀后人口數(shù)據(jù),阻滯增長模型(Logistic模型),人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長率(x很小時),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線, x增加先快后慢,阻滯增長模型(Logistic模型),參數(shù)估計,用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口 預(yù)報，必須先估計模型參數(shù) r 或 r, xm,利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國人口數(shù)據(jù)（單位百萬）,專家估計,阻滯增長模型(Logistic模型),模型檢驗,用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較,實際為281.4 (百萬),模型應(yīng)用預(yù)報美國2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù),Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費品的售量),阻滯增長模型(Logistic模型),數(shù)學(xué)建模的基本方法,機理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映 內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律,將對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的 統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)來學(xué)習(xí)。以下建模主要指機理分析。,二者結(jié)合,用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確 定模型參數(shù),1.4 數(shù)學(xué)建模的方法和步驟,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模 型 準 備,了解實際背景,明確建模目的,搜集有關(guān)信息,掌握對象特征,形成一個 比較清晰 的問題,模 型 假 設(shè),針對問題特點和建模目的,作出合理的、簡化的假設(shè),在合理與簡化之間作出折中,模 型 構(gòu) 成,用數(shù)學(xué)的語言、符號描述問題,發(fā)揮想像力,使用類比法,盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,模型 求解,各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計算機技術(shù),如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、 模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析,模型 分析,模型 檢驗,與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較， 檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性,模型應(yīng)用,數(shù)學(xué)建模的一般步驟,數(shù)學(xué)建模的全過程,1.5 數(shù)學(xué)模型的特點和分類,模型的逼真性和可行性,模型的漸進性,模型的強健性,模型的可轉(zhuǎn)移性,模型的非預(yù)制性,模型的條理性,模型的技藝性,模型的局限性,數(shù)學(xué)模型的特點,數(shù)學(xué)模型的分類,應(yīng)用領(lǐng)域,人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài) ,數(shù)學(xué)方法,初等