第三章 一維射影幾何學(xué),3.1 點列與線束,維的概念：平面內(nèi)的點與直線都有兩個坐標(biāo)，平面內(nèi)的點幾,何學(xué)和線幾何學(xué)都是二維的。,點列：動點在一條直線上移動產(chǎn)生的圖形稱為點列。那條定直線稱為點列的底，設(shè) ， 為定直線上二點， 為點列的動點，則：,定義1,定義2 線束：動直線繞一個定點旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的圖形稱為線束。,那個定點稱為線束的心。,A,B,C,x =u a +v b,設(shè),為過定點的直線,為線束的動直線,則,由代數(shù)知識,必有數(shù),使得,所以,點列上任意一點M的坐標(biāo)可表為:,的形式,當(dāng)時, 可表為,的形式.為 點列的基點,3.2點列的交比,定義：設(shè)A、B、C、D為共線的四點，把 定義為這四點,(有向線段，而非距離）,交比可由簡比求得,定理1 ：設(shè)取A和B為基點，將這四點的齊次坐標(biāo)順序表達(dá)為：,則,按順序點列的交比，用符號來記,定理2： 設(shè)點列上四點A、B、C、D的齊次坐標(biāo)為P+,推論：設(shè)點列四點A、B、C、D的齊次坐標(biāo)是,則,點列的交比與四點的排列的順序有關(guān)，四點在一直線上有4!=24種排,列，故有24種交比。這24種交比不是彼此不同的，可以分為六種不同的組別，每組的值是相同的。,定理3：在點列的交比中將某兩點互換，同時互換其余兩點，則交 比值不變。,定理4：只限于一對點之間的交換，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)槠涞箶?shù),定理5：交換中間兩點，則交比值轉(zhuǎn)變?yōu)?與原值之差,則,由定理3定理5可知：24個交比一般取六個不同的數(shù)值：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,討論三種特殊情況： 令,令,若,（1）當(dāng),六組交比值分別為；1，1，0，,當(dāng),六組交比值分別為：,（2）當(dāng) 六組交比值分別為-1，-1，2，,六組交比值分別為,六組交比值分別為,（3）,第一種情況,時 則,若非點A與B重合，,四點中也只當(dāng)某兩點重合時，六個交比值才能有等于,第二種情況,說明C點分割線段AB 的值與D點分割線段AB的值只差一個符號，一個是內(nèi)分點，一個是內(nèi)外分點,定義3：當(dāng),時，則稱C，D兩點調(diào)和分割A(yù)，B兩點,或者稱為A，B兩點所成的點偶與C，D兩點所成的點偶,成調(diào)和共軛,例1：三角形的內(nèi)角平分線與外角平分線,定理6：設(shè),0為CD的中點，則,例1：已知點A（1，4，1），B（0，1，1），C（2，3，-3）在一 條直線上，試求在這條直線上的第四點D的齊次坐標(biāo)，使交比 （AB，CD）=,解:將A,B兩點取為基點,C點表為A,B兩點的線性組合,A,B,C,D,E,作業(yè)：,1，4，5，6,3.3線束的交比,設(shè)a,b,c,d為一線束中的四直線，取a和b作為基線，把它們的齊次坐標(biāo)依次表示為 （a,b既代表直線，又代表它們的坐標(biāo)向量）,設(shè)以一直線S截此四線于點A，B，C，D，則這四點的坐標(biāo)順序為：,把一線束中四直線被任一直線（不通過線束中心或頂點O）所截四點的交比，稱為四直線的交比，記為（ab,cd),A,B,C,D,O,a,b,定理1：四直線 的交比為,定理2：四直線 的交比,，即線束中四直線,的交比等于其相應(yīng)參數(shù)之交比。,當(dāng) 時，四直線為一調(diào)和線束，a和b稱為對于c,d成一對調(diào)和共軛直線，c和d對于a,b也是一對調(diào)和共軛直線。,例：一個角的兩邊被它的內(nèi)角和外角平分線調(diào)和分割。,四直線交比在初等幾何的意義：,取直線中心O為正交笛氏坐標(biāo)原點，取一條不與四直線a,b,c,d任一條平行的直線作為y軸，將四直線的方程寫為 （i=1,2,3,4),其中取 為斜 ，由于截線可任意選取，取直線,作為截線。交a,b,c,d于A，B，C，D，交x軸于M，這四,點的縱坐標(biāo)為：,若以 分別表示四直線的傾角，則：,O,a,b,c,d,A,B,C,D,M,x,y,1,其中 表示把直線a到c的有向轉(zhuǎn)角。,例1：試證一角的兩邊與其內(nèi)外角平分線的交比等于-1。,證明：如圖，設(shè)角的兩邊為a,b，內(nèi)外角平分線分別為c,d.,例2：已知四直線a,b,c,d的方程為,求證：這四直線共點，并求（ab,cd),a,b,c,d,證明：,且,這四直線共點，這四直線的齊次方程為：,作業(yè)：,10，12,3.4一維射影坐標(biāo),定義1：若兩個一維基本形 ， 的對應(yīng)參數(shù),之間滿足雙一次關(guān)系式：,或把 表為u的射影函數(shù)形式：,稱 成射影對應(yīng)，記為,由定義1知，一維射影對應(yīng)具有反身性,對稱性和傳遞性。,可以是：點列與點列，線束與線束，點列與線束。,若 是u的射影函數(shù)，則u為 的射影函數(shù)。 為u的射影函數(shù)，,的射影函數(shù)，則 的射影函數(shù)。,定理1：兩個一維基本形成射影對應(yīng)的充要條件是對應(yīng)四元素的,交比相等。,證明：設(shè)兩個一維基本形為 其中,對應(yīng)，設(shè),由定義1可：,反之：設(shè)前三對對應(yīng)元素是固定的，第四對對應(yīng)元素為變動的且交,比相等，亦即：,令：,代入上式，整理得：,且,設(shè) 互不相等， 也不相等。,由定義1可知：它們成射影對應(yīng)。,定理2（馮斯套特定理）如果已知兩個一維圖形中任意給定三對（各不相重）對應(yīng)元素，那么就可以決定唯一的射影對應(yīng)。,證明：設(shè)兩個一維基本形的三對各不相同的對應(yīng)元素的參數(shù)為,為任一對對應(yīng)元素的參數(shù)。,由定理1知,可確定一個射,影對應(yīng)T。,設(shè)還存在另一個射影對應(yīng),，使,所以如果已知三對各不相同的對應(yīng)元素，則可以唯一地確定一個射影對應(yīng)。,例1：設(shè)兩個一維基本形都是點列，并且所用的參數(shù)就是最常用的笛,卡爾坐標(biāo),。試用齊次笛氏坐標(biāo)表示這兩個點列之間的射,影對應(yīng)式。,解：由定理1知：,改寫為：,代入上式得：,所以兩點列之間的射影對應(yīng)式為：,例2：圓周上的點和其上二定點相連所得的兩個線束，如果把兩線束,中交于圓周上的兩直線叫對應(yīng)直線。試證這樣的對應(yīng)為射影對應(yīng)。,解：設(shè),為圓周上的兩定點。A,B,C,D為圓周上任意四點。,A,S,B,C,D,例3：設(shè)兩點列同府。求一射影對應(yīng)使0，1，,解：設(shè)第四對對應(yīng)點為,。由定理2可決定唯一的一個射,影對應(yīng)。又由定理1得：,故所求的射影對應(yīng)為：,作業(yè)：,16，21,3.5 透視對應(yīng),定理1：,設(shè)點s不在點列p+uq上，那么這點與點列上任意一點聯(lián)線，所作成的線束與點列成射影對應(yīng)。,證明：,設(shè)點列的基底以矢量P和q表達(dá)，動點以p+uq 表達(dá)（如圖1）.,ps, qs, (p+uq )s= (ps)+u (qs),設(shè),P,ps,qs,S,q,p+uq,ps+u (qs),圖1,將以知點S到這些點聯(lián)線，這些直線的坐標(biāo)分別是,這是射影函數(shù),所以線束的坐標(biāo)為 ，可見點列中動點的坐標(biāo)為p+uq ，而線束中對應(yīng)直線的坐標(biāo) 為 ，參數(shù)間的關(guān)系為 .,的特例：, 點列與線束成射影對應(yīng),設(shè)直線s不通過線束p+uq的中心，那么這直線截這線束所得的點列與線束成射影對應(yīng)。（如圖2）,點列和線束成射影對應(yīng)對應(yīng)線通過對應(yīng)點的（對 應(yīng)點在對應(yīng)線上的），這種特殊的射影對應(yīng)稱為透視對應(yīng)。這時兩個一維幾何形式（點列與線束）稱為互成透視狀態(tài)或處于透視位置。,定義1,射影對應(yīng)的符號: , 透視對應(yīng)的符號:,定理 ：,p,p+uq,q,ps,ps+u (qs),qs,s,圖2,o,例:,點列(A,B,C, )和線束(a,b,c, )成透視對應(yīng),記為:(A,B,C) (a,b,c),如果兩個點列和同一個線束成透視對應(yīng),則稱兩個點列成透視對應(yīng)（如圖3）。,定義2:,幾何特征: 兩點列中對應(yīng)點的聯(lián)線共點,透視中心,圖3,定義3:,如果兩個線束和同一點列成透視對應(yīng),則稱兩線束成透視對應(yīng)（如圖4）。,幾何特征: 兩線束中對應(yīng)線的交點共線,兩點列成透視對應(yīng):(A,B,C,D) ( ),兩線束成透視對應(yīng): (a,b,c,d) ( ),透視軸,圖4,定理2:,兩個射影點列成透視的充要條件是:兩點列的 公共點自對應(yīng),定理 :,兩個射影線束成透視的充要條件是:兩線束的公共線自對應(yīng),證明定理2:,必要性:,設(shè)直線l上的點列A,B,C, 與直線 上的點列 成透視.透視心為s.設(shè)P為l與 的交點.這一點看作l上一點,其在 上的對應(yīng)點 顯然是這一點自身.,充分性:,設(shè)l 與 有兩射影點列:,且l與 的交點自對應(yīng),即P .下面來證明這兩點列實際上成透視,即是說任意一對對應(yīng)點的聯(lián) 線 通過一定點.,( A,B,C, ) ( ),聯(lián)接A, ;B, 所得的直線相交于S,并設(shè)S與l上任意一點M的聯(lián)線交 于 ,于是交比,由射影對應(yīng)的假設(shè),又有, , 任意一對對應(yīng)點的聯(lián)線 通過一定點.,l,P,C,A,B,M,S,( A,B,C,） （ ）, 兩點列成透視,定理3:,對于兩個不共底且不成透視的射影對應(yīng)點列,用兩回透視對應(yīng)就可以使第一點列轉(zhuǎn)換為第二點列.換言之,這時的射影對應(yīng)是由兩回透視對應(yīng)組成的,證明:,設(shè)A,B,C, 是以l 為底的 點列, 是以 為底的 點列 （如圖5） .兩者成射影對應(yīng):,聯(lián)接與第一點列上諸點,得一與之成射影對應(yīng)的線束記為 .同樣聯(lián)接A與第二點列上諸點,得一與之成射影對應(yīng)的線束 .由射影對應(yīng)的傳遞性得,C,A,B,圖5,a,b,c,L,l,( A,B,C, ) ( ) A( ), A ( ), A ( ),由兩線束成透視對應(yīng),則對應(yīng)線的交點 在同一直線 上, ( A,B,C, ) ( ), 這兩線束的公共線 是自對應(yīng)的,以 和A作透視心,經(jīng)過兩回透視第一點列轉(zhuǎn)換成第二點列.,定理4:,設(shè)一個點列與一個線束成射影對應(yīng)而不成透視對應(yīng),那么用三回透視就可以彼此轉(zhuǎn)換.換言之這時的射影對應(yīng)是由三回透視組成.,例1:,解:,證明：,已知一直線l上三點A,B,C求作第四點D使交比(AB,CD)=,過C點任作一直線,在其上任取一點 , 并在其上作出一點 使有向線段之比 (若 0則 與 在C 的同側(cè)若 0 則在異側(cè)).以S表示 與 的交點,過S作 的 平行線交AB于所求點D,設(shè)直線 上的無窮遠(yuǎn)點為 ， 有,A,B,C,A,B,C,S,D,S,D,（ A,B,C,D ）,（ AB,CD ）= =,例2：,試證明巴卜斯定理：在平面內(nèi)直線 l上有三個相異點 A, B, C，另一直線 上也有三個相異點 ，而P, Q, R分別是 與 , 與 , 與 的交點，則P,Q,R在同一直線上,證明:,如圖,設(shè) 與 交于D點, 與 交于E點, AB 與 交于點O,則,C,B,A,O,P,R,Q,由于這兩個射影對應(yīng)的點列中有一對對應(yīng)點（ ）重合。,D,E,由定義可知：AD, PR, EC交于一點。即PR要過AD, EC的交點Q。, P, Q, R共線,作業(yè)：,P55 3.12、3.22、3.25, 3.6對合對應(yīng),同底的兩點列或兩個線束，稱為重疊的兩個一維幾何形式.,本形式到其自身的射影對應(yīng)，則稱為射影變換。,一維基本形的射影變換一般有兩個自身對應(yīng)元素。,定義2：,定義1：,兩個重疊的一維基本形式的射影對應(yīng)，也就是一個一維基,定理1：,證明：,重疊而又成射影對應(yīng)的兩個一維形式中，以 u 和 表示,的一對對應(yīng)元素的參數(shù)，則它們之間有一個雙一次關(guān)系式：,所謂自身對應(yīng)的元素。指的是這樣一個數(shù) s代表的元素：當(dāng)u,等于s時， 也等于s . 數(shù)s是下式的根:,當(dāng)a=0，b+c=0，d=0時， （2）是一個恒等式。則s可以為任,何數(shù)。 每一個元素都是自對應(yīng)的。這時的射影變換（1）為,恒同變換。（幺變換）,除1 外，（2）式是一個一元二次方程。有兩個根 和 .,有兩個自身對應(yīng)元素,當(dāng)a 0時兩根之一趨于無窮大,把射影變換（1）進(jìn)行分類：,若自對應(yīng)元素為兩個互異的實元素，這時的射影變換叫雙曲型的。,若自對應(yīng)元素為兩個重合的實元素，這時的射影變換叫拋物型的。,若自對應(yīng)元素為兩個共軛復(fù)元素，這時的射影變換叫橢圓型。,定義3,設(shè)有集合M，使得M的任何元素都不變的變換叫M的恒等,變換。,例：,設(shè)有兩個重疊的點列，以 ， 作為一對對應(yīng)點A， 的,的笛氏坐標(biāo)。先看一個平移變換：,；,反射變換：,（2）充分性：設(shè)一維射影變換為T：,一維射影變換為對合的充要條件是它有一對不同的元素交,定理3：,都交互對應(yīng)，則稱為對合對應(yīng)。（簡稱：對合）,定義4：,非恒等的一維基本形射影變換，若滿足任何一對對應(yīng)元素,（1）必要性：由定義可知必要性顯然成立。,互對應(yīng)。,證明：,是一 對不同的交互對應(yīng)的參數(shù)。則T非恒等，且有：,，,(1),(2),（1）-（2）得,T的表達(dá)式為 ：,(3),（3）式中 是對稱的。,T為一對合。,3式為對合的表達(dá)式。,設(shè),是兩對不同的交互對應(yīng)元素的參數(shù)。,則,消去a,b,c得,定理3：,對合由兩對不同的交互對應(yīng)元素唯一確定。,證明：,因為對合對應(yīng)的表達(dá)式表面上有三個參數(shù)a,b,c.實則只有它,們的兩個相互比值才是最重要的。所以兩個條件就足以,確定一個對合。,推論2：在同一對應(yīng)下，三對對應(yīng)元素,成為對合對,應(yīng)的充要條件為：,定理5：一維射影變換T為對合的充要條件是T有兩個不同的自,對應(yīng)元素，且這兩個元素調(diào)和分割T的任一對對應(yīng)元素。,證明：設(shè)T為對合，則其表達(dá)式可為：,則T的自對 應(yīng)元素S為方程,的根。,所以,所以方程恒有兩根。,所以T有兩個不同的自對應(yīng)元素，其參數(shù)設(shè)為,所以對合是射影變換，所以交比相等。,或,將導(dǎo)致u與,重合。,這與對合不是恒同變換的假設(shè)矛盾,所以這兩個不同的自對應(yīng)元