第6講 空中電纜的長度,6.1 求解函數(shù)定積分問題 6.2 利用定義求解積分 6.3 定積分應(yīng)用 6.4 空中電纜的長度,吉林大學(xué)和平校區(qū) 尹慧,一、求解函數(shù)定積分,1.預(yù)備知識：定積分定義，不定積分的求解，以及相關(guān)的Mathemathica命令,2.平面曲線圍成圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積、曲線積分,Integratefx,x,xmin,xmax NIntegratefx,x,xmin,xmax,實(shí)例1 （求曲邊梯形的面積）,（一）、問題的提出,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,曲邊梯形如圖所示，,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,二、利用定義求解積分,定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,1、利用定義求某函數(shù)的定積分,實(shí)驗1利用定義求函數(shù)fx=x2在區(qū)間0，1 上的定積分。即求解,解題思路：由定義知所求定積分可以表示為0，1區(qū)間上由曲線x2及x軸所圍成圖形的面積，根據(jù)定義，將區(qū)間劃分為n個小區(qū)間，為保證n個小區(qū)間同時趨近于0我們將區(qū)間n等分，,（1）計每個小區(qū)間寬度為delxi。 （2）取每個小區(qū)間中的一個點(diǎn)xi （3）作乘積fxi*delxi （4）求和s=s+fxi*delxi,*所應(yīng)用到的Mathematica函數(shù) 數(shù)組的定義：Array數(shù)組名，數(shù)組長度初始長度 隨機(jī)函數(shù)：Random/取（0，1）區(qū)間內(nèi)的隨機(jī)值,程序解釋：,定義函數(shù)：,定義區(qū)間范圍為0，1并記左端點(diǎn)為a右端點(diǎn)為b,將區(qū)間劃分為20等份,定義一個含有641個元素的數(shù)組,給數(shù)組首元素賦值,實(shí)驗2、計算上例中積分的近似值（左矩形、梯形法）,左矩形法,梯形法,優(yōu)化后的梯形法,因為：梯形法中的累計和,2、關(guān)于Mathematica中的求解定積分的相關(guān)函數(shù),NIntegratefx,x,a,b/求解定積分 并給出浮點(diǎn)數(shù)值,Integratefx,x,a,b/求解定積分 并盡量保持精度,在Mathematica中也可以利用右側(cè)的工具條輸入你想要求解的積分表達(dá)式,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積,定積分應(yīng)用：平面圖形的面積,旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸,圓柱,圓錐,旋轉(zhuǎn)體的體積,旋轉(zhuǎn)體的體積為,另外曲線關(guān)于Y軸旋轉(zhuǎn)的體積為,曲線的長度,空中電纜的長度計算：,兩座高壓輸電的鐵塔相距100m，假定兩座塔高度相等。在鐵塔上懸掛著根電纜，允許電纜在中間下垂10m，試計算兩座鐵塔之間所用的電纜的長度。,懸鏈方程：,首先應(yīng)當(dāng)確定參數(shù)a的值已知條件曲線的最低點(diǎn)為(0,y(0)和最高點(diǎn)(50,y(50)的高度差為10m所以y(50)=y(0)+10即,練習(xí)：,計算擺線 一拱的周長。,作業(yè)：（釣魚問題） 某度假村新建了一個魚塘，該魚塘平均深度為6米，魚塘的平面圖如圖所示，度假村經(jīng)理打算在釣魚季節(jié)來臨之前將魚放入魚塘，投放的魚數(shù)按每3立方米