第四章 穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法,4-1 李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性定義 4-2 李亞普諾夫第一法 4-3 李亞普諾夫第二法 4-4 李亞普諾夫方法在線性系統(tǒng)中的應用 4-5 李亞普諾夫方法在非線性系統(tǒng)中的應用 4-6 基于Matlab李雅普諾夫穩(wěn)定性分析簡介, 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的一個極為重要的特性： 任何系統(tǒng)要能正常工作首先必須是穩(wěn)定的。 控制系統(tǒng)分析與設(shè)計首先要考慮的問題： 如何判別一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定； 如何改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性(提高系統(tǒng)穩(wěn)定性性能指標) ； 如何通過系統(tǒng)綜合（校正）方法使一個不穩(wěn)定系統(tǒng)變 成穩(wěn)定系統(tǒng)。 系統(tǒng)穩(wěn)定性： 表示系統(tǒng)在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，而在擾動消失后，系統(tǒng)自身仍然能恢復到原來平衡狀態(tài)的一種“頑性”。這里指的可能是一個平衡點，也可能不是一個平衡點 。 經(jīng)典控制理論中對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù) 勞斯判據(jù)、胡維茨判據(jù)、奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)等。 對于非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)，經(jīng)典控制理論的這些判據(jù)方法就不適用用了。,李亞普諾夫第一法(間接法) 通過求解系統(tǒng)解微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 李亞普諾夫第二法（直接法） 特點是不解系統(tǒng)微分方程，而是通過一個叫李亞普諾夫函數(shù)的標量函數(shù)來直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此方法可用于線性系統(tǒng)，也可用于非線性系統(tǒng)，可用于定常系統(tǒng)，也可用于時變系統(tǒng)。特別試用于那些難于求解微分方程的非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)。該方法是本章論述的重點。,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，但對于非線性系統(tǒng)，其穩(wěn)定性還與系統(tǒng)的初始條件與外界擾動的大小有關(guān)，李雅普諾夫給出了一種具有一般意義的穩(wěn)定性的概念。,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,4-1 李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,基本思路：通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對于線性定常系統(tǒng)，只需要解出特征方程的根就可以作出穩(wěn)定性判斷。對于非線性不很嚴重的系統(tǒng)，則可通過一次線性化處理得出線性化方程，然后根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,（,以線性定常系統(tǒng)為例,Cx,y,Bu,Ax,x,C,B,A,=,+,=,=,&,),4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)：,4-2 李雅普諾夫第一法(間接法),4-3 李雅普諾夫第二法,一、 李雅普諾夫第二法(直接法)的基本思路, 從能量的觀點來進行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析。 如果一個系統(tǒng)被激勵后，其存儲的能量隨著時間的推移逐漸衰減，達到平衡狀態(tài)時，能量將達到最小值，那么，這個平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的； 反之，如果系統(tǒng)不斷地從外界吸收能量，儲能越來越大，那么這個平衡狀態(tài)就是不穩(wěn)定的； 如果系統(tǒng)的儲能既不增加，也不消耗，那么這個平衡狀態(tài)就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。 以小球在凹形曲面(包括曲面有無摩擦)情況舉例說明。, 基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運動方程，而是借助于一個李亞普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對運動方程難于求解的系統(tǒng)，如非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)，分析其穩(wěn)定性帶來了極大的方便；除了對系統(tǒng)穩(wěn)定性分析外，還可用于對系統(tǒng)瞬態(tài)響應的質(zhì)量進行評價以及求解參數(shù)最優(yōu)化問題，在現(xiàn)代控制理論的許多方面都有廣泛的應用。但是構(gòu)成李亞普諾夫函數(shù)目前還沒有一個通用的方法，其構(gòu)成需要經(jīng)驗和技巧。,一、 李雅普諾夫第二法(直接法)的基本思路,一、 李雅普諾夫第二法(直接法)的基本思路, 由于系統(tǒng)的復雜性和多樣性，一般不容易到一個能量數(shù)來描述系統(tǒng)的能量關(guān)系； 李亞普諾夫定義一個正定的標量函數(shù) ，作為虛構(gòu)的廣義能量函數(shù)，根據(jù) 的符號特征來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 李亞普諾夫函數(shù)：對于一個正定的標量函數(shù) ， 是負定的，則這個系統(tǒng)是穩(wěn)定的。這個 叫做李亞普諾夫函數(shù)；,一、 李雅普諾夫第二法(直接法)的基本思路, 問題是如何找到李亞普諾夫函數(shù)，目前還沒有一個通用的方法。 對于一個給定的系統(tǒng)，李亞普諾夫函數(shù)不是唯一的。,二、相關(guān)預備知識標量函數(shù)的符號性質(zhì),二、相關(guān)預備知識標量函數(shù)的符號性質(zhì),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三、幾種穩(wěn)定性判據(jù),三