第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系配套課時作業(yè)1(2019甘肅蘭州診斷)已知直線m，n和平面，則mn的一個必要條件是()Am，n Bm，nCm，n Dm，n與平面成等角答案D解析A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不一定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與成的角一定相等，但反之如果兩直線m，n與成的角相等則不一定平行，所以是必要不充分條件，故選D.2(2019黑龍江大慶模擬)有以下三種說法，其中正確的是()若直線a與平面相交，則內(nèi)不存在與a平行的直線；若直線b平面，直線a與直線b垂直，則直線a不可能與平行；直線a，b滿足ab，則a平行于經(jīng)過b的任何平面A B C D答案D解析對于，若直線a與平面相交，則內(nèi)不存在與a平行的直線，是真命題，故正確；對于，若直線b平面，直線a與直線b垂直，則直線a可能與平行，故錯誤；對于，若直線a，b滿足ab，則直線a與直線b可能共面，故錯誤故選D.3(2018山東泰安模擬)有兩條不同的直線m，n與兩個不同的平面，下列命題正確的是()Am，n，且，則mnBm，n，且，則mnCm，n，且，則mnDm，n，且，則mn答案A解析對于A，由m，n，且得mn，故正確；對于B，由m，n，得mn，故錯誤；對于C，由m，n，且，得mn或m，n相交或異面，故錯誤；對于D，由m，n，且得m，n的關(guān)系可以是相交或平行或異面，故錯誤故選A.4已知a，b，c為三條不重合的直線，已知下列結(jié)論：若ab，ac，則bc；若ab，ac，則bc；若ab，bc，則ac.其中正確的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3答案B解析解法一：在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，并且相交或異面時不一定垂直，所以錯誤，顯然成立解法二：構(gòu)造長方體或正方體模型可快速判斷，錯誤，正確故選B.5如圖，l，A、B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A點A B點BC點C但不過點M D點C和點M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根據(jù)公理3可知，M在與的交線上同理可知，點C也在與的交線上故選D.6(2019泉州模擬)設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是()A存在唯一直線l，使得la，且lbB存在唯一直線l，使得la，且lbC存在唯一平面，使得a，且bD存在唯一平面，使得a，且b答案C解析a，b是互不垂直的兩條異面直線，把它放入正方體中如圖，由圖可知A不正確；由la，且lb，可得ab，與題設(shè)矛盾，故B不正確；由a，且b，可得ab，與題設(shè)矛盾，D不正確故選C.7如圖，點P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個圖是()答案C解析A，B中PQ綊RS，D中直線PQ與RS相交(或RPSQ)，即直線PQ與RS共面，均不滿足條件；C中的直線PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，即直線PQ與RS是異面直線故選C.8(2019大連模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線段C1D，BC的中點，則直線A1B與直線EF的位置關(guān)系是()A相交 B異面 C平行 D垂直答案A解析直線A1B與直線外一點E確定的平面為A1BCD1，EF平面A1BCD1，且兩直線不平行，故兩直線相交9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論錯誤的是()AA1C1平面ABCD BAC1BDCAC1與CD成45角 DA1C1與B1C成60角答案C解析選項A，B，D顯然正確，對于選項C，CDC1D1，故AC1D1為AC1與CD所成角，易得tanAC1D11，C錯誤故選C.10一個正方體的展開圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點，則在原來的正方體中()AABCDBAB與CD相交CABCDDAB與CD所成的角為60答案D解析將展開圖還原，得如圖所示正方體，易知AB與CD是異面直線，且它們所成的角為60.故選D.11(2019天津模擬)如圖所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下說法：直線MN平面PQR；點K在直線MN上；M，N，K，A四點共面其中說法正確的是_答案解析由題意知，MPQ，NRQ，KRP，從而點M，N，K平面PQR.所以直線MN平面PQR，故正確同理可得點M，N，K平面BCD.從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線MN上，故正確因為A直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故正確12如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_答案解析將正四面體的平面展開圖復(fù)原為正四面體A(B，C)DEF，如圖：對于，G，H分別為DE，BE的中點，則GHAD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故錯誤；對于，BD與MN為異面直線，正確(假設(shè)BD與MN共面，則A，D，E，F(xiàn)四點共面，與ADEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面)；對于，依題意，GHAD，MNAF，DAF60，故GH與MN成60角，故正確；對于，連接GF，A點在平面DEF的射影A1在GF上，DE平面AGF，DEAF，而AFMN，DE與MN垂直，故正確綜上所述，正確命題的序號是.13下列如圖所示的正方體和正四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則四個點共面的圖形是_(填所有滿足條件圖形的序號)答案解析易知中PSQR，所以四點共面在中構(gòu)造如圖所示的含點P，S，R，Q的正六邊形，易知四點共面在中，由點P，R，Q確定平面，由圖象觀察知點S在平面外，因此四點不共面綜上知，故填.14. 如圖，在三棱錐ABCD中，ABACBDCD3，ADBC2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是_答案解析如圖所示，連接DN，取線段DN的中點K，連接MK，CK.M為AD的中點，MKAN，KMC(或其補角)為異面直線AN，CM所成的角ABACBDCD3，ADBC2，N為BC的中點，由勾股定理易求得ANDNCM2，MK.在RtCKN中，CK .在CKM中，由余弦定理，得cosKMC，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是.15如圖所示，三棱錐PABC中，PA平面ABC，BAC60，PAABAC2，E是PC的中點(1)求證：AE與PB是異面直線；(2)求異面直線AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱錐AEBC的體積解(1)證明：假設(shè)AE與PB共面，設(shè)平面為，A，B，E，平面即為平面ABE，P平面ABE，這與P平面ABE矛盾，AE與PB是異面直線(2)取BC的中點F，連接EF，AF，則EFPB，所以AEF或其補角就是異面直線AE和PB所成角BAC60，PAABAC2，PA平面ABC，AF，AE，EF，cosAEF，異面直線AE和PB所成角的余弦值為.(3)因為E是PC的中點，所以E到平面ABC的距離為PA1，VAEBCVEABC1.16(2019黃石市第三中學(xué)月考)如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M為OA的中點(1)求四棱錐OABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S4，所以四棱錐OABCD的體積V42.(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點為E，連接ME，DE.又M為OA中點，所以MEOC，則EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE，EM，MD，因為()2()2()2，所以DEM為直角三角形，所以tanEMD.所以異面直線OC與MD所成角的正切值為.17(2019邯鄲一中模擬)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為2，A1在底面ABC內(nèi)的射影O為底面ABC的中心，如圖所示(1)連接BC1，求異面直線AA1與BC1所成角的大?。?2)連接A1C，A1B，求三棱錐C1BCA1的體積解(1)連接AO，并延長與BC交于點D，則D是BC邊的中點點O是正ABC的中心，且A1O平面ABC，BCAD，BCA1O.ADA1OO，BC平面A