第一章

4.一物體做直線運動，運動方程為％=6尸-2/，式中各量均采用國際單位制，求：(1)

第二秒內的平均速度(2)第三秒末的速度；(3)第一秒末的加速度；(4)物體運動的類型。

x⑴=6/一2/

z/v-

解：由于：*口=一=12，—6產

dt

a(t)=-=\2-\2t

dt

所以：(1)第二秒內的平均速度：

?=.2)7(1)=4(")

2-1

(2)第三秒末的速度：

v(3)=12x3-6x32=-18(?M-1)

(3)第一秒末的加速度：

a⑴=12-12x1=0(")

(4)物體運動的類型為變速直線運動。

5.一質點運動方程的表達式為r(f)=10汽+5),式中的r,f分別以機,s為單位，試求；(1)

質點的速度和加速度；(2)質點的軌跡方程。

解：(1)質點的速度：

dr一一

V=—=20ti+5j

dt

質點的加速度：

口=在=207

dt

(2)質點的軌跡方程：

由x=10產,y=5t聯(lián)立消去參數(shù)t得質點的軌跡方程：

25

y=-x

-2

8.質點的運動方程為r(t)=8cos(2t)i+8sin(2t)j(m),求：⑴質點在任意時刻的速度和

加速度的大小；(2)質點的切向加速度和運動軌跡。

解：(1)質點在任意時刻的速度和加速度的大小：

Ar

v-一-=-16sin(2t)i+16cos(2t)j(ms~')

dt

d2r_2

a=—r-=-32cos(2t)i-32sin(2t)j(ins2)

df

u=(1戶=16()

.=(a；+戶=32(ms~2)

xy

(2)質點的切向加速度：

2

ar--=Q(ms-)

,dt

運動軌跡：

x-Scos(It),,,

由NM”消去t得f』

9.一質點沿半徑為1m的圓周運動，運動方程為。=2+3〃，。式中以弧度計，，以秒計,

求：（1）f=2s時，質點的切向和法向加速度；（2）當加速度的方向和半徑成45°角時,

其角位移是多少？

解：（1）f=2s時，質點的切向和法向加速度

生屋=即|—=網心=36”

4』心=R說=2,=（ATL,=1296〃小

（2）當加速度的方向和半徑成45°角時的角位移:

2

令ar/an=rg45°=1得至!］：/=§

2

因止匕6=2+3x-=6.67Rad

故\6=6-00=2.67-2=0.61Rad

11一質點沿X軸運動，其加速度a=3+2f,如果初始時刻%=5〃?sT,f=3s時，則質點的

速度大小為多少？

解：

型=3+2/

dt

jdv=j(3+2f)df

5.

v=23(ms")

12在離水面高h米的岸上,有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處,如圖所示.當人以/（m?r'）

的速率收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小.

解：設人到船之間繩的長度為/，此時繩與水面成。角，由

圖可知

/2=*+s2

將上式對時間f求導，得

根據速度的定義，并注意到/,S是隨f減少的,

,d/ds

,"繩=一了=""船=一了

ds/d//v0

即"船"一天=71=7°=嬴^

或

將V船再對￡求導，即得船的加速度

dr船山dt..一匕）s+/v船

-----------2%=------------2----------V0

drss

/2

（一S+一）%.22

_S_〃匕）

s2s3

第二章

1.質量為10kg的質點在xOy平面內運動，其運動規(guī)律為：

x=5conAt+3(m),y=5sin4r-5(m).求t時刻質點所受的力.

解：本題屬于第一類問題

x=5con4t+3

dx”.，

v=—=-20sin4r

*vdt

ax=^^=-80cos41

xdt

y=5sin4f-5

vv=20cos4t

a=-80sin4t

Fx=max=-800cos4f(N)

Fy-may=-800sin4r(N)

I

尸=(工+Fv)'=800(N)

3.質量為例的質點在合力/="-RIN）（不內均為常量）的作用下作直線運動，求:

(1)質點的加速度；

(2)質點的速度和位置(設質點開始靜止于坐標原點處).

解：由牛頓第二運動定律

dv?.Fq-kt,_

m—=F<、一kt=a=-----(ms-2)

dt°m

1,,

vtF-ktFot-’kr

\dv-J----dt=>v----------(ms')

oomm

x；巾一;"

\dx-J--------dtnx=-----------(m)

oomm

4.質量為m的質點最初靜止在不處，在力F=—k/x?（N）（k是常量）的作用下沿X軸運

動，求質點在X處的速度。

解：由牛頓第二運動定律

「，，2dvdvdxdv

F--K./x-m--tn------=mv―

dtdxdtdx

kdxn”竺(L-L(〃C

\vdv=f-

mx1

oNmxx0

第三章

2.?顆子彈由槍口射出時速率為%m-sT,當子彈在槍筒內被加速時，它所受的合力為F

=（。-4）N（a,b為常數(shù)），其中f以秒為單位：（1）假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試

計算子彈走完槍筒全長所需時間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時，有

b=（a—從）=0,得f=q

h

⑵子彈所受的沖量

at--bt2

2

將代入，得

b

2b

(3)由動量定理可求得子彈的質量

/a2

m=—=----

%2。%

4.如圖所示，質量為何=1.5kg的物體，用一根長為/=1.25m的細繩懸掛在天花板上.今

有一質量為機=10g的子彈以M)=500m/s的水平速度射穿物體，剛穿出物體時子彈的速度

大小u=30m/s,設穿透時間極短.求：

(1)子彈剛穿出時繩中張力的大??；

(2)子彈在穿透過程中所受的沖量.

解(1)由于穿透時間極短,可認為穿透過程在瞬間完成。此過

程系統(tǒng)在水平方向滿足動量守恒。

mv0=MV+mv

v=r^=10xl0-W-30)=313ffl/5力。

M1.5r

對M進行受力分析有

V23132

T=Mg+〃7=1.5x9.8+1.5x-pM=26.5N

(2)子彈在穿透過程中所受的沖量：

3

/=△〃=mv-mv0=10x10(30-500)=-4.7Ns

上式中負號表示沖量方向與5°方向相反。

6.靜水中停著兩條質量均為M的小船,當?shù)?條船中的一個質量為m的人以水平速度v(相

對于地面)跳上第二條船后，兩船運動的速度各多大？(忽略水對船的阻力).

解:該過程滿足水平方向的動量守恒：

對第-條船：0=〃匕

,,m

V.----v

1M

上式中負號表示對第一條船運動方向與V方向相反；

對第二條船：機”=(加+M)匕

m+M

9一個質點在幾個力同時作用下位移為Ar=4i-5J+6A;(S/),其中一個力為

F=-3i-4j+5A(S/),求此力在該位移過程中所作的功。

解:此為恒力做功，故有

A=F-Ar=(-3i-4j+5k)(4i-5j+6kJ=—12+20+30=38/

10設F合=7i-6jN.(1)當一質點從原點運動到r=—3i+4j+l6M〃時，求尸所作的

功.(2)如果質點到r處時需0.6s,試求平均功率.(3)如果質點的質量為1kg,試求動能的

變化.

解：(1)A=(fi-6j)[(-3i+4j+l6k；-0/=-21-24=-45J

(2)如果質點到r處時需0.6s,試求平均功率:

-AP-45re”

P=——=——=-75W

Ar0.6

(3)由動能定理，質點動能的變化為:

峽=A=-45/

12.某彈簧不遵守胡克定律.設施力尸，相應伸長為x,力與伸長的關系為尸=52.8x+

38.4x2(SI)求：

(1)將彈簧從伸長xi=0.50m拉伸到伸長X2=L00m時,外力所需做的功.

(2)將彈簧橫放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系?個質量為2.17kg的物體，

然后將彈簧拉伸到一定伸長必=1.00m,再將物體由靜止釋放，求當彈簧回到占=0.50m

時，物體的速率.

(3)此彈簧的彈力是保守力嗎？

?384

解：(1)=J(52.8x+38.4x2)dx=(26.4x2+x3)=31J

0.530.5

(2)由動能定理

0.5]

A-J(52.8X+38.4X2)(-JX)--mv2-0

i2

…[2A12x31…,

所以v-.■——-.-------=5.34/”/s

VmV2.17

(3)此彈簧的彈力做功與路徑無關，故是保守力。

16.一物體與斜面間的摩擦系數(shù)〃=0.20,斜面固定，傾角c=45°.現(xiàn)給予物體以初速率9

0=10m/s,使它沿斜面向上滑，如圖所示.求：

(1)物體能夠上升的最大高度/?；

(2)該物體達到最高點后，沿斜面返回到原出發(fā)點時的速率u.

解：(1)設物體能夠上升的最大高度h,相應的斜面長度為S。由功能原理:

一〃ngcosas=mgh-；mv1

h

s=-------

sina

由上兩式可得

100

h=------------------=4.25m

2g(l+〃cfga)2x9.8(l+0.2)

(2)該物體達到最高點后，沿斜面返回到原出發(fā)點時的速率P可再由功能原理獲

得：

12,

-f-imgcosas--mv-mgh

v-J2g〃(l-〃cfga)=J2x9.8x4.25x0.8=d66.64=8.16///s

20如圖所示，有一門質量為M(含炮彈)的大炮，在一斜面上無摩擦地由靜止開始下滑.當

滑下/距離時.，從炮內沿水平方向射出一發(fā)質量為機的炮彈.欲使炮車在發(fā)射炮彈后的瞬時

停止滑動，炮彈的初速v（對地）應是多少？（設斜面傾角為a）.

解：炮車在斜面上滑下/距離時，其速度為（機械能守恒）：

V-J2g/sina

炮內射出質量為m的炮彈，系統(tǒng)在沿斜面方向滿足動量守恒

Myjlglsina=mvcona+0

由此得到

v-———J2g/sina

mcosa

22.哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓.它離太陽最近距離為八=8.75X10%時的速

率是匕=5.46X10'm7‘，它離太陽最遠時的速率是匕=9.08X10、”'這時它離太陽

的距離々多少？（太陽位于橢圓的一個焦點。）（5.26x1012加）

解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力——即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于

哈雷彗星在近II點及遠II點時的速度都與軌道半徑垂直，故有

r}mv}=r2mv2

_八匕_8.75x10"x5.46x104

=5.26xl012m

9.08xl02

第四章

7.如圖所示，一半徑為r,質量為叫的勻質圓盤作為定滑輪，繞有輕繩，繩上掛一質量為

m2的重物，求重物下落的加速度。

解：設繩中張力為T

對于重物按牛頓第二定律有

m2g-T-m2a(1)

對于滑輪按轉動定律有

Tr=-mr'B⑵

2

山角量線量關系有

a=(Jr(3)

聯(lián)立以上三式解得

8.如圖所示，兩個勻質圓盤同軸地焊在一起，它們的半徑分別為"、/2,質量為叫和〃?2,

可繞過盤心且與盤面垂直的光滑水平軸轉動，兩輪上繞有輕繩，各掛有質量為〃%和〃?4的重

物，求輪的角加速度

解：設連接〃4的繩子中的張力為T1，連接〃與的繩子中的張力為12。

對重物嗎按牛頓第二定律有加3g-1=/。3(1)

對重物相4按牛頓第二定律有T2-m4g=m4a4(2)

對兩個園盤，作為一個整體，按轉動定律有

T\r\~Tir2=(；機訪+；機

⑶

山角量線量之間的關系有

%=M⑷

。4=hP(5)

聯(lián)立以上五式解得

B=____________/4一根/

121222

5機山+-m2r2+機36+相4a

11.如圖所示，主動輪A半徑為r”轉動慣量為L，繞定軸Q轉動；從動輪B半徑為r2,

轉動慣量為右，繞定軸。2轉動；兩輪之間無相對滑動。若知主動輪受到的驅動力矩為M，

求兩個輪的角加速度和仇。

解：設兩輪之間摩擦力為/

對主動輪按轉動定律有：

M-依=16

對從動輪按轉動定律有

fr2=AA

由于兩個輪邊沿速率相同，有

稿=?2⑶

聯(lián)立以上三式解得

6=Mr；a=Mr八

白叱+3；?療+療

13.一質量為用、半徑為R的自行車輪，假定質量均勻分布在輪緣匕可繞軸自由轉動.另

?質量為m0的子彈以速度v0射入輪緣(如題2-31圖所示方向).

(1)開始時輪是靜止的，在質點打入后的角速度為何值？

(2)用機%和e表示系統(tǒng)(包括輪和質點)最后動能和初始動能之比.

解:(1)射入的過程對。軸的角動量守恒

2

Rsin。?4%=(m+m0)Ra)

.八a)%sine

(m+nt0)R

2

m0sin0

⑵

1m+ma

2°

14.如圖所示，長為1的輕桿，兩端各固定質量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定

軸O在豎直面內轉動，轉軸O距兩端分別為土1/和士7/.輕桿原來靜止在豎直位置.今有一質

33

量為m的小球，以水平速度0°與桿下端小球m作對心碰撞，碰后以;區(qū)的速度返回，試求

碰撞后輕桿所獲得的角速度.

解：碰撞過程滿足角動量守恒:

212

—mvQl=--mvQ--l+Ico

O

2i2

而/=〃?(§/)2+2機(§/)2=§加/2

2?

所以mv0/=—mla)

山此得到：%

21

16.有一半徑為R的均勻球體，繞通過其一直徑的光滑固定軸勻速轉動，轉動周期為￡).如

它的半徑山R自動收縮為;R,求球體收縮后的轉動周期.(球體對于通過直徑的軸的轉動慣

量為J=2mR2/5,式中m和R分別為球體的質量和半徑).

解：(1)球體收縮過程滿足角動量守恒：

/。4=，2。2

22

,—mR%

a

2-~-,2r~~?—i---—4°o

所以

InIn

1=---=-----=—

co24g4

第五章

5-5飛船A中的觀察者測得飛船B正以0.4c的速率尾隨而來，一地面站測得飛船A

的速率為0.5c,求：

(1)地面站測得飛船B的速率；

(2)飛船B測得飛船A的速率。

解選地面為S系，K船A為S'系。

V+n

(1)vv*=0.4c,w=0.5c,vv=-->-—=-c

xxvd

I+N匕'

c

⑵%4二一九=一匕'=一%

5.6慣性系S'相對另一慣性系S沿x軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計

時起點.在S系中測得兩事件的時空坐標分別為X|=6X10%,八=2X10%，以及X2=12X

4

lO'm,r2=lX10s.已知在S,系中測得該兩事件同時發(fā)生.試問:

(l)S'系相對S系的速度是多少？

(2)S'系中測得的兩事件的空間間隔是多少?

解：設(S')相對S的速度為y,

v

⑴，/\

c

X

%2------r2)

C

由題意一：二0

V/、

則

故v-c2—~~-=-—=-l.5x10sm-s-1

x2-%12

(2)山洛侖茲變換

x；=/(%,-%),x'2=y(x2-vt2)

4

代入數(shù)值,x'2—x\=5.2x10m

5-8在S系中有一靜止的正方形，其面積為100m2,觀察者S'以0.8c的速度沿正方形

的對角線運動，S'測得的該面積是多少？

解設正方形在S系中每邊長為L,其對角線長為eL,因為相對運動，沿著運動方

向的對角線縮短，垂直于運動方向的對角線長度不變。固在S'系觀測的面積為

S=L'L=L2（71-V2/C2）=60m2

5-11某種介子靜止時的壽命是10-匕。如它在實驗室中的速率為2x108用/s,在它的

一生中能飛行多少米？

解：介子靜止時的壽命是固有時間，由于它相對于實驗室運動，從而實驗室觀測的壽

命是非固有時間。

在實驗室觀測的介子壽命為：

10-83乂10-8

=1.342s

(2x108)^

(3x10平

所以介子一生中能飛行距離為:

As-CT-2.68/71

5-12兩個慣性系中的觀察者。和。'以0.6c（c表示真空中光速）的相對速度相互接近,

如果。測得兩者的初始距離是20m,則0'測得兩者經過多少時間相遇？

解。'測得的是固有時間加'，。測得相遇時間為又

v0.6c

所以測得的固有時間△，為

A,2=——A）=------

yv

=20x0.8=889xio-8s,

0.6c

此題也可用長度收縮效應來解。。測得長度為固有長度，。'測得長度為非固有長度,

設用L表示，則

2

L—L。J1-夕=4)J1-0.6=O.8Lo,

由&'=且有

V

加,="4=.08x48=&89'10"

0.6c0.6x3.0x101

5-13一米尺靜止在S'系中，長度為%,并與X'軸成30°角。若在S系中測得該米尺與

X軸成45°角，則S'相對于S系的速度為多大？S系中測得該米尺的長度是多少？

解：在S中觀察，米尺在運動方向（X軸方向）長度收縮，在Y軸方向長度不變，因此

L=hrJ1一一=/0cos30°

=/Ov=/osin3O"

由題意：上=吆45'

所以次45°=羋絲

解之得S'相對于S系的速度為：u=0.816cw=0.816c（加/s）

S系中測得該米尺的長度為：

/=痣+/；=O.7O7/ow

5-19甲相對乙以0.6c的速率運動，求：

（1）甲攜帶質量為1a的物體，乙測得該物體的質量是多少？

（2）甲、乙測得該物體的總能量各是多少？

解：（1）m-，=1.25kg

2b

（2）甲測得該物體的總能量：Eo=moc=9xlO'J；

乙測得該物體的總能量：￡=/HC2=1.13X10I7J

5-21實驗室測得一質子的速率為0.995c,求該質子的質量、總能量、動量和動能。

（質子的靜質量為1.673x10-27依）

解：質子的質量:加=」_,=1.673x10必依.

質子的總能量：E==151x10-。；

質子的動量：p-mu=4.99xl0-18^；

質子的動能：Ek=機。2—=]36x10-9,

第六章

4.一個半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為4。求：

（1）圓心處。點的場強；

（2）將此帶電半圓環(huán)彎成一個整圓后，圓心處。點場強。

解：（1）在半圓環(huán)上取dq=/ld/=/lRde，它在。點產生場強大小為

dE=dq^=^—d（p，方向沿半徑向外

根據電荷分布的對稱性知，Ey=0

上一sin崗夕

dEx=dEsin(p

4兀

上一si"二上一

小4兀2?！?R

故E=Ex=------，方向沿x軸正向。

271^07?

（2）當將此帶電半圓環(huán)彎成一個整圓后，由電荷分布的對稱性可知，圓心處電場強度

為零。

5.如圖所示，真空中一長為L的均勻帶電細直桿，總電量為q,試求在直桿延長線上

距桿的一端距離為d的P點的電場強度。

解：建立圖示坐標系。在均勻帶電細直桿上取弱=癡=彳公，dq在P點產生的場

強大小為

dE=—也為=方向沿x軸負方向。

4fx4fx

故P點場強大小為

…4P

EP=\dE=:上J[十一]。

J（4f廠rLI（1*1

二q

4m0d（d+L）

方向沿x軸負方向。

9.兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為

￡=旦，方向垂直于該平面指向外側

2%

電荷面密度為巴的平面產生的場強大小為

E=，方向垂直于該平面指向外側

24

由場強疊加原理得

兩面之間，E-E-E(er,-(T,),方向垂直于平面向右

X22%

面左側，E=+E2=-^―(cr,+cr,),方向垂直于平面向左

2%

%面右側，E-E]+E2--^―(CT,+(T2),方向垂直于平面向右

10.如圖所示，一球殼體的內外半徑分別為與和“，電荷均勻地分布在殼體內，電荷

體密度為「(夕〉0)。試求各區(qū)域的電場強度分布。

解：電場具有球對稱分布，以/?為半徑作同心球面為高斯面。由高斯定理

班.芯=—z[得

白4

,1

E-4"~=—冽］

%

當與時?，必，=0,所以

￡=0

441

當叫＜尸＜/?2時，E/=P(§加3一§加J),所以

E_隊產一R；)

3獷

434a

當廠〉A2時，Eqi=2(36^2—~)，所以

33

p(7?2-7?,)

3獷

11.有兩個均勻帶電的同心帶電球面，半徑分別為叫和&(R2〉與)，若大球面的

面電荷密度為b,且大球面外的電場強度為零。求：(1)小球面上的面電荷密度；(2)大

球面內各點的電場強度。

解：(1)電場具有球對稱分布，以r為半徑作同心球面為高斯面。由高斯定理

眄=得

)1

E?4-=—^q.

%

當r>/?2時，E=0,2%=cr,4成2?+。'，4成J=0，所以

(2)當廠時，2%=0,所以

E=0

f22

當H]Vr</?2時，=(y-4TTR}=-4TTOR2,所以

E=—&yg

r￡0

負號表示場強方向沿徑向指向球心。

13.半徑為R的無限長直圓柱體均勻帶電，體電荷密度為0,求其場強分布。

解：電場分布具有軸對稱性，取同軸閉合圓柱面為高斯面，圓柱面高為/,底面圓半徑

為r,應用高斯定理求解。

《左dS-E-2nrl-—2%

白％

(1)當尸<R時，=p-nr~l,所以

(2)當「>??時，Zq：=PFR",所以

E金

24廠

14.一半徑為R的均勻帶電圓盤，電荷面密度為設無窮遠處為電勢零點，求圓盤中

心。點的電勢。

解：取半徑為r、力?的細圓環(huán)dq=B/S=cr-2"dr,則dq在。點產生的電勢為

dv=dq=odr

4在2%

圓盤中心。點的電勢為

V=

16.真空中一半徑為A的球形區(qū)域內均勻分布著體電荷密度為P的正電荷，該區(qū)域內

12

a點離球心的距離為一R,b點離球心的距離為一求b兩點間的電勢差U

33

解：電場分布具有軸對稱性，以。為球心、作半徑為，的同心球面為高斯面。由高斯定

理=得

當時，E?4加21=一12?4一"R3,所以

43

a、匕兩點間的電勢差為

u“b

18.如圖所示，在A,8兩點處放有電量分別為+q,-q的點電荷，間距離為2R,

現(xiàn)將另一正試驗點電荷生從。點經過半圓弧移到C點，求移動過程中電場力作的功。

解：。點的電勢為

Vo=—^—+-^—=0

4兀4?！辏ǎ??

。點的電勢為

q?-qq

4?！??37?4兀E。/?6TI￡0R

電場力作的功為

…。（％一%）=q°q

6n￡0R

第七章

2.證明：對于兩個無限大的平行平面帶電導體板來說,(1)相向的兩面上，電荷的面密

度總是大小相等而符號相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號相同。

證明：如圖所示，設兩導體A、8的四個平面均勻帶電的電荷面密度依次為巧，。2,

a

3'<74

(1)取與平面垂直且底面分別在A、B內部的閉合圓柱面為高斯面，由高斯定理得

快萬=0=工(6+(T3)AS

*4

故%+=0

上式說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號相反。

(2)在4內部任取一點P,則其場強為零，并且它是由四個均勻帶

電平面產生的場強疊加而成的，即

0~]_0~2_%_0~4

=0

2424242%

又CT2+=0

3.半徑為R的金屬球離地面很遠，并用導線與地相聯(lián)，在與球心相距為d=3R處有

一點電荷+q,試求：金屬球上的感應電荷的電量。

解：如圖所示，設金屬球表面感應電荷為/,金屬球接地時電勢丫=0

山電勢疊加原理，球心電勢為

Vo=---J弱+—-—

。4n￡0RJ4兀43R

=上+4=0

4兀4n￡n3R

故q'-——

3

4.半徑為名的導體球，帶有電量q,球外有內外半徑分別為R?、&的同心導體球殼，

球殼帶有電量。。

(1)求導體球和球殼的電勢匕和匕；

(2)如果將球殼接地，求匕和匕；

(3)若導體球接地(設球殼離地面很遠)，求匕和匕。

解：(1)應用均勻帶電球面產生的電勢公式和電勢疊加原理求解。

半徑為R、帶電量為9的均勻帶電球面產生的電勢分布為

(r《R)

q

(r>R)

4乃

導體球外表面均勻帶電q；導體球殼內表面均勻帶電-4,外表面均勻帶電q+Q，山

電勢疊加原理知，空間任,,點的電勢等于導體球外表面、導體球殼內表面和外表面電荷在該

點產生的電勢的代數(shù)和。

導體球是等勢體，其上任一點電勢為

匕='（8-&+山）

4萬4%R24

球殼是等勢體，其上任一點電勢為

vrq?q?q+。_q+Q

（2）球殼接地匕=_g+0_=0,表明球殼外表面電荷q+。入地，球殼外表面不帶

4?！辏ǎ?

電，導體球外表面、球殼內表面電量不變，所以

（3）導體球接地匕=0,設導體球表面的感應電荷為，，則球殼內表面均勻帶電-/、

外表面均勻帶電q'+。，所以

匕=，2—）=0

4f/?,R24

匕_:+。@--）。

2R?+RR）

4TT￡047T￡O（R2R3-}2

6.設一半徑為A的各向同性均勻電介質球體均勻帶電，其自由電荷體密度為0,球體

內的介電常數(shù)為與，球體外充滿介電常數(shù)為J的各向同性均勻電介質。求球內外任一點的

場強大小和電勢（設無窮遠處為電勢零點）。

解：電場具有球對稱分布，以〃為半徑作同心球面為高斯面。由介質中的高斯定理得

4方dS=D-4加之=2%

4

當rvR時，Eq,=pfE，,所以

D=JE1=更

3%3與

當r>/?時，必產夕［成3,所以

球內(r工R)電勢為

7.如圖所示，一平行板電容器極板面積為S,兩極板相距為d,其中放有一層厚度為

，的介質，相對介電常數(shù)為％,介質兩邊都是空氣。設極板上面電荷密度分別為和-b,

求：

(1)極板間各處的電位移和電場強度大??；

(2)兩極板間的電勢差U；

(3)電容C。

解：(1)取閉合圓柱面(圓柱面與極板垂直，兩底面圓與極板平行，左底面圓在極板導

體中，右底面圓在兩極板之間)為高斯面，根據介質中的高斯定理，得

有力dM=OAS=crAS

D—<y

—（空氣中）

E萬=--。---=<%

4%（介質內）

、4號

（2）U=fE-dl

=■—（d-OH———t

%￡。3

(3)。=變=心

UErd—(f,.—l)f

9.半徑為叫的導體球，外套有一同心的導體球殼，殼的內、外半徑分別為R2和&，

當內球帶電荷。時.，求:

(1)整個電場儲存的能量；

(2)將導體殼接地時整個電場儲存的能量；

(3)此電容器的電容值。

解：如圖所示，內球表面均勻帶電。，外球殼內表面均勻帶電-。，外表面均勻帶電。

(1)由高斯定理得

當r〈凡和&＜，＜&時，E=0

當4＜，＜??2時,生二~

當r＞/?3時，E2=—^

4兀

所以，在R1區(qū)域

嗎=^)24jir2dr

1露2。47r.產

38兀4廠？8兀44R2

在廠＞R3區(qū)域

22

憶=[—^0(———)47irdr=------

息24兀8兀4%

總能量為

w=W+財(-——-+—)

8兀4R[&&

⑵導體殼接地時，只有與＜r＜/?2時E=—丁，其它區(qū)域6=0,所以卬2=。

4兀4廣

卬=叱轟U)

(3)電容器電容為

八2W“〃11、

C=-r-=4兀4/(----------)

2

Q&R2

第八章

6.如圖所示，AB,CO為長直導線，以C為圓心在。點的一段圓弧形導線，其半徑

為若通以電流/,求。點的磁感應強度。

解：。點磁場由A3、BC,CO三部分電流產生，應用磁場疊加原理。

AB在。點產生的磁感應強度為

坊=0

月C在。點產生的磁感應強度大小為

景號吟唱方向垂直紙面向里

CO在。點產生的磁感應強度大小為

層=(cos-cos%)

4mo

4/

(cos150-cosl80)

4成cos60°

方向垂直紙面向里

故80=與+當+83=瑞(1一日+.)，方向垂直紙面向里

8.如圖所示，一無限長載流平板寬度為。，沿長度方向通過均勻電流/,