統(tǒng)計學論文-ADF檢驗中滯后長度的選擇基于ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據(jù)【摘要】在進行ADF檢驗時如何確定一個最優(yōu)的滯后長度一直是研究者們關注的問題。最近的研究表明，不同的滯后長度選擇方法對ADF檢驗的統(tǒng)計推斷影響很大。本文在已有研究的基礎上，模擬了更為一般的ARIMA(0,1,q)過程，分析了在不同的數(shù)據(jù)生成過程、檢驗式以及樣本容量下，各種滯后長度選擇方法對ADF檢驗功效和實際檢驗水平的影響，最后認為修正的信息準則通常具有較合理的實際檢驗水平，而從一般到特殊法具有更為穩(wěn)健的ADF檢驗性質(zhì)。關鍵詞ADF檢驗滯后長度信息準則修正的信息準則從一般到特殊法Abstract:TheoptimallaglengthinestimatingAugmentedDickey-Fullerstatisticshavebeenconcentratedonforyears.PreviousresearchindicatedthatdifferentleglengthselectionmodelsaffectalotonthestatisticalinferenceofADFtest.Basedonalltheresearchesavailable,thispapersimulatesamoregeneralARIMA(0,1,q)processandanalyzestheinfluenceoflaglengthselectioncriterionstothesizeandpoweroftheADFtestwithdifferentdatageneratingprocesses,ADFregressions,andsamplesizes.Finally,itisprovedthattheModifiedInformationCriteriaalwaysshowsamorepropersizeandtheGeneraltoSpecialCriteriahasmorerobustpropertiesinADFtest.Keywords:ADFtestLagLengthInformationCriteriaModifiedInformationCriteriaGeneraltoSpecific一、引言隨著時間序列非平穩(wěn)問題的提出，單位根檢驗目前已經(jīng)成為宏觀數(shù)據(jù)建模前首先要進行的工作。為此，Dickey和Fuller(1979,1981)1提出了著名的ADF檢驗，并推導了當時間序列yt是ARIMA(p,1,0)過程且滿足檢驗式中滯后差分項長度kp時ADF檢驗統(tǒng)計量的極限分布。然而，在實際運用ADF檢驗時，真實的p是不知道的，因此需要研究者自己確定k。總的來說滯后長度的選擇方法主要分為兩類。一類是經(jīng)驗法(ruleofthumb)。這種方法是研究者任意選擇k，或將k表示為樣本容量的函數(shù)。另外一類就是根據(jù)數(shù)據(jù)來選擇k。這種方法主要有Akaike(1973)信息準則(AkaikeInformationCriteria，以下簡寫為AIC)、Schwarz(1978)信息準則(SchwarzInformationCriteria，以下簡寫為SIC)、Hannan和Quinn(1979)信息準則(HannanandQuinnInformationCriteria，以下簡寫為HQIC)、從一般到特殊法則(GeneraltoSpecialCriteria，以下簡寫為GSC)、從特殊到一般法則(SpecialtoGeneralCriteria，以下簡寫為SGC)等。此外，在后來的研究中，Weber(1998)又提出了非自相關法則(NoAutocorrelationCriteria)，即從一個比較簡化的模型開始，逐漸增加滯后差分項直到殘差不能拒絕非自相關的原假設。2001年他又提出了一種考慮滯后長度k在特定區(qū)間kmin,kmax內(nèi)的從特殊到一般法，該方法運用了一系列F檢驗，確定的最優(yōu)滯后長度是使得比其大的直到kmax的所有滯后差分項對應參數(shù)的聯(lián)合檢驗均不顯著的最小的k。然而很多學者都指出，ADF檢驗的結論對滯后長度k的選擇非常敏感。Phillips和Perron(1988)模擬發(fā)現(xiàn)當真實數(shù)據(jù)生成過程為隨機游走時，隨著檢驗式中差分項滯后長度的增加，會導致ADF檢驗的功效和水平都降低。另外，Schwert(1989)、Agiakloglou和Newbold(1992)以及Harris(1992)等也指出不同的滯后長度選擇方法對ADF檢驗的實際水平和功效有明顯影響。這就引發(fā)了關于不同方法確定滯后長度是否以及如何影響ADF統(tǒng)計量極限分布的討論。其實早在ADF檢驗提出不久，Said和Dickey(1984)就證明了對階數(shù)未知的ARMA過程檢驗單位根時，只要檢驗式中的滯后長度k滿足一定的上界條件和下界條件，仍可以用ADF統(tǒng)計量來檢驗原過程中單位根的存在。緊接著，Lewis和Reinsel(1985)提出了一個與Said和Dickey(1984)下界條件等價的條件，并證明當滿足該下界條件和Said和Dickey(1984)上界條件時檢驗式中滯后差分項的參數(shù)估計量具有一致性和漸近正態(tài)性。Hannan和Deistler(1988)2則提出了各信息準則確定一個平穩(wěn)可逆的ARMA過程滯后長度的若干性質(zhì)。隨后，Ng和Perron(1995)明確解答了哪些滯后長度選擇方法滿足這些上界與下界條件，以及運用它們確定滯后長度如何影響ADF檢驗統(tǒng)計量極限分布的問題。首先，該文討論了檢驗式中滯后長度k不滿足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界條件對ADF檢驗統(tǒng)計量極限分布的影響。他們認為這時仍漸近服從標準DF分布，同時滯后差分項的參數(shù)估計量仍具有一致性，但其向真值收斂的速度要小于(T為樣本容量，下同)。接著，Ng和Perron(1995)將滯后長度的選擇準則與上述極限分布條件相比較，證明了在ADF檢驗中，利用各信息準則確定的滯后長度時不滿足下界條件，但統(tǒng)計量仍服從標準DF分布。而當運用GSC時，如果我們確定的滯后長度最大值滿足上界條件和Lewis和Reinsel(1985)下界條件，則滯后差分項的參數(shù)估計量具有一致性和漸近正態(tài)性，可以用t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量和Wald統(tǒng)計量檢驗其顯著性。最后通過模擬重點討論了當數(shù)據(jù)生成過程為ARIMA(0,1,1)時各方法確定的滯后長度以及對ADF檢驗功效和實際檢驗水平的影響。類似地，Hall(1994)還從一個純自相關過程入手，給出了當真實數(shù)據(jù)生成過程是一個ARIMA(p,1,0)過程時，ADF統(tǒng)計量服從DF分布應滿足的假設條件。并討論了不同滯后長度選擇準則對ADF統(tǒng)計量極限分布的影響。他認為當運用AIC、SIC、HQIC以及GSC確定滯后長度時，滿足上述條件，因此ADF統(tǒng)計量仍服從標準DF分布，而運用SGC時不能滿足上述條件，從而ADF統(tǒng)計量的極限分布發(fā)生變化，不再服從標準DF分布。最后對于不同的ARIMA(p,1,0)過程，模擬了基于各種準則的ADF檢驗功效與實際檢驗水平。此外，隨著研究的不斷深入，學者們又從一些新的角度對滯后長度選擇的問題進行了探討。比如Ng和Perron(2001)將Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)3以及Dufour和King(1991)4提出的局部GLS退勢法與Perron和Ng(1996)5提出的修正的單位根檢驗統(tǒng)計量相結合，提出了一系列MGLS統(tǒng)計量來檢驗單位根。在這種檢驗中，他們首度運用了一系列修正的信息準則(ModifiedInformationCriteria，以下簡寫為MIC)來確定滯后長度，并給出了其局部漸近性質(zhì)。MIC與一般信息準則的本質(zhì)區(qū)別就在于它考慮到檢驗式中一階滯后項參數(shù)估計量的偏差與滯后長度是高度相關的，進而通過加入一個包含一階滯后項參數(shù)估計量的修正項對信息準則擬和不足的問題進行了一定的校正。Ng和Perron(2005)又重點探討了在運用各種信息準則時，可用觀測值個數(shù)(即調(diào)整的樣本容量)、計算均方誤差時的自由度、以及計算懲罰因子(penaltyfactor)時使用的觀測值個數(shù)對滯后長度選擇的影響。結果表明在有限樣本下AIC與SIC選擇的滯后長度對上述三個因素非常敏感。綜上所述，已有的研究主要集中在對ARIMA(p,1,0)和ARIMA(0,1,1)過程進行單位根檢驗時，各方法確定的滯后長度以及相應的單位根檢驗的功效與實際水平上。而對ARIMA(0,1,q)即含有單位根的高階移動平均過程的研究則比較少。另外，也鮮見MIC與其他方法比較的相關研究。針對這些問題，本文對Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)的方法和結論進行擴展，在接下來的部分中用蒙特卡羅模擬的方法在有限樣本下研究一個更一般的ARIMA(0,1,q)過程，對模擬結果中不同滯后期選擇方法尤其是MIC的優(yōu)劣進行比較，以期找到一種能應用在更一般的數(shù)據(jù)生成過程中，并使ADF檢驗推斷更真實可靠的滯后長度選擇方法。最后一部分是對全文的總結，并提出了一些滯后項選擇及ADF檢驗中需要注意的問題。二、模擬結果根據(jù)Hall(1994)，Ng和Perron(1995,2001)文章中的結論，運用信息準則和GSC確定滯后長度時，ADF統(tǒng)計量仍服從標準DF分布。其中運用GSC時滯后差分項以的速度收斂于真值，從而使ADF檢驗有一個更優(yōu)的有限樣本性質(zhì)。MIC是對通常信息準則的修正。因此本文選取AIC、SIC、MAIC、MSIC以及GSC五種方法來確定ADF檢驗式中的滯后長度。重點考察小樣本下當誤差項為高階移動平均過程時基于各準則的ADF檢驗功效和實際檢驗水平的特征，以及MIC與其他方法相比對ADF檢驗統(tǒng)計推斷的影響和滯后長度選擇的異同。各方法確定滯后長度的原理如下：首先，AIC與SIC具有相似的形式，選擇的滯后長度k滿足使(1)式的值最小。其中AIC準則中CT=2，SIC準則中CT=logT，表示估計方程的誤差均方，它往往隨著滯后長度的增加而下降。是ADF檢驗式中的解釋變量個數(shù)，它等于滯后差分項個數(shù)k加上常數(shù)項以及時間趨勢項，會隨滯后長度的增加而變大，代表了對過度擬和的懲罰。因此選擇k使(1)最小意味著在較少參數(shù)和較小的殘差平方和之間做出選擇。(1)另外，Ng和Perron(2001)提出了一系列的修正的信息準則即MIC。其選擇的滯后長度是使得目標方程(2)的值最小的k，依據(jù)CT的表達式不同MIC又分別稱為MAIC與MSIC。(2)它與一般的信息準則的不同就是增加了一個修正因子，其表達式為：(3)其中是ADF檢驗式中一階滯后項的參數(shù)估計量。Ng和Perron(2001)證明會隨著ADF檢驗式中滯后差分項個數(shù)k的增加而減小，尤其當數(shù)據(jù)生成過程的移動平均部分含有負根時，這種減小更加明顯，因此可以有效地校正一般信息準則擬和不足的問題。GSC則是在ADF檢驗式中選取r=j+m個滯后差分項，并通過對最后m個參數(shù)(i=1,m)的顯著性進行聯(lián)合檢驗來完成的，其中j0,jmax。該檢驗的Wald形式為：(4)其中(5)(6)它代表所有解釋變量的方差協(xié)方差矩陣，是中右下方mm階的塊矩陣。代表該檢驗式回歸函數(shù)的誤差均方，其中代表回歸式的殘差。檢驗規(guī)則為：j從最大的取值jmax開始，依次降低其取值直到(4)式表示的統(tǒng)計量顯著。該統(tǒng)計量服從自由度為m的2分布。基于顯著性水平，滯后長度k的取值為k=j+1，當是統(tǒng)計量所有值中第一個大于臨界值的值時。k=0，當統(tǒng)計量所有值均小于臨界值時。為了考察誤差項為高階移動平均過程時ADF檢驗中滯后長度的選擇問題，我們對形如(7)式的數(shù)據(jù)生成過程共10種情況運用上述五種方法選擇滯后長度繼而進行ADF檢驗。(7)其中L是滯后因子，ut是白噪聲，y0=0。10種數(shù)據(jù)生成過程如下：1=0.8,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=-0.5,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=0.0,3=0.0,4=0.0；1=0.8,2=0.5,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.3,3=0.0,4=0.0；1=-0.5,2=0.3,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=0.5,3=0.0,4=0.0；1=-0.8,2=-0.5,3=0.0,4=0.0；1=0.5,2=0.3,3=0.2,4=0.1。這10種情況描述了誤差項移動平均部分的根在個數(shù)、大小、正負等方面的不同情形。ADF檢驗的原假設H0:=1；備擇假設H1:1。ADF檢驗式如下：(a)(b)為考察不同情形下ADF檢驗的功效和實際檢驗水平，我們對每種數(shù)據(jù)生成過程分別取=1、0.95、0.85，用Rats6.2模擬樣本容量T=100時基于兩種檢驗式(a)和(b)的上述檢驗過程以及T=250時基于檢驗式(a)的上述檢驗過程。對每種情況重復10000次，計算ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率，同時記錄每次選擇的滯后長度，最后計算滯后長度的均值和標準差。當真實數(shù)據(jù)生成過程是單位根過程即=1時，ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率就是犯棄真錯誤的概率，即實際檢驗水平。而當真實數(shù)據(jù)生成過程為平穩(wěn)過程即1時，ADF統(tǒng)計量小于臨界值的概率則是1-犯取偽錯誤的概率，即檢驗功效。這里運用GSC確定滯后長度時取m=1，即計算單個參數(shù)的t統(tǒng)計量，顯著性水平取5%，各準則的最大滯后長度取kmax=206。根據(jù)模擬結果，我們重點比較了各方法在滯后長度選擇及其相應的ADF檢驗功效和實際檢驗水平方面的異同，并考察了誤差項為高階移動平均時的各種數(shù)據(jù)生成過程、不同檢驗式以及樣本容量對滯后長度選擇及ADF檢驗統(tǒng)計推斷的影響，從而對Hall(1994)，Ng和Perron(1995)的結論做了一定的補充。1.不同準則的比較滯后長度及其標準差方面(見表1、3、5)，總得來說，GSC、AIC與MAIC選擇的滯后長度通常要高于SIC與MSIC，前者往往傾向于過度擬和。具體來說，當DGP中移動平均部分的根為正時，AIC與MAIC、SIC與MSIC選擇的平均滯后長度很接近。當移動平均部分含有負根時，修正的信息準則往往比相應的原準則選擇更大的平均滯后長度，并且這一差距隨著根更接近于-1或負根個數(shù)增加而更加明顯，同時滯后長度的標準差也隨之增加。表1滯后長度的均值和標準差檢驗式(a)T=100ARIMA(p,d,q)1234AICSICMAICMSICGSC1.0ARIMA(0,1,1)0.80.00.00.05.543.062.791.185.292.942.751.238.145.381.0AR