高考地理復習第三章數(shù)列四數(shù)列綜合應用【考點闡述】數(shù)列綜合應用【考試要求】（4）運用等差數(shù)列、等比數(shù)列及求和知識解決數(shù)列綜合問題?！究碱}分類】（一）解答題（共35題）1.（安徽卷理21）設數(shù)列na滿足3*010,1,nnaacaccNc其中為實數(shù)（）證明：0,1na對任意*nN成立的充分必要條件是0,1c；（）設103c，證明：1*1(3),nnacnN；（）設103c，證明：222*1221,13naaannNc解(1)必要性：120,1aac，又20,1,011ac，即0,1c充分性：設0,1c，對*nN用數(shù)學歸納法證明0,1na當1n時，100,1a.假設0,1(1)kak則31111kkacaccc，且3110kkacacc10,1ka，由數(shù)學歸納法知0,1na對所有*nN成立(2)設103c，當1n時，10a，結論成立當2n時，3211111,1(1)(1)nnnnnnacacacaaa103C,由（1）知10,1na，所以21113nnaa且110na113(1)nnaca21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)nnnnnacacacac高考地理復習1*1(3)()nnacnN(3)設103c，當1n時，2120213ac，結論成立當2n時，由（2）知11(3)0nnac21212(1)1(1(3)12(3)(3)12(3)nnnnnacccc2222221122123(3)(3)nnnaaaaanccc2(1(3)2111313ncnncc2.（安徽卷文21）設數(shù)列na滿足*01,1,nnaaacaccN其中,ac為實數(shù)，且0c（）求數(shù)列na的通項公式（）設11,22ac，*(1),nnbnanN,求數(shù)列nb的前n項和nS；（）若01na對任意*nN成立，證明01c解(1)方法一：11(1)nnaca當1a時，1na是首項為1a，公比為c的等比數(shù)列。11(1)nnaac，即1(1)1nnaac。當1a時，1na仍滿足上式。數(shù)列na的通項公式為1(1)1nnaac*()nN。方法二由題設得：當2n時，2111211(1)(1)(1)(1)nnnnnacacacaac1(1)1nnaac1n時，1aa也滿足上式。數(shù)列na的通項公式為1(1)1nnaac*()nN。(2)由（1）得11(1)()2nnnbnacn2121112()()222nnnSbbbn2311111()2()()2222nnSn高考地理復習2111111()()()22222nnnSn211111111()()()21()()222222nnnnnSnn12(2)()2nnSn(3)由（1）知1(1)1nnaac若10(1)11nac，則10(1)1nac101,aa1*10()1ncnNa由10nc對任意*nN成立，知0c。下面證1c，用反證法方法一：假設1c，由函數(shù)()xfxc的函數(shù)圖象知，當n趨于無窮大時，1nc趨于無窮大111nac不能對*nN恒成立，導致矛盾。1c。01c方法二：假設1c，111nca，11loglog1nccca即*11log()1cnnNa恒成立（）,ac為常數(shù)，（）式對*nN不能恒成立，導致矛盾，1c01c3.（北京卷理20）對于每項均是正整數(shù)的數(shù)列12nAaaa：，定義變換1T，1T將數(shù)列A變換成數(shù)列1()TA：12111nnaaa，對于每項均是非負整數(shù)的數(shù)列12mBbbb：，定義變換2T，2T將數(shù)列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數(shù)列2()TB；又定義2221212()2(2)mmSBbbmbbbb設0A是每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令121()(012)kkATTAk，（）如果數(shù)列0A為5，3，2，寫出數(shù)列12AA，；（）對于每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明1()()STASA；（）證明：對于任意給定的每項均為正整數(shù)的有窮數(shù)列0A，存在正整數(shù)K，當kK時，高考地理復習1()()kkSASA解析：（）解：0532A：，10()3421TA：，1210()4321ATTA：，；11()43210TA：，2211()4321ATTA：，（）證明：設每項均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A為12naaa，則1()TA為n，11a，21a，1na，從而112()22(1)3(1)(1)(1)nSTAnaana222212(1)(1)(1)nnaaa又2221212()2(2)nnSAaanaaaa，所以1()()STASA12223(1)2()nnnaaa2122()nnaaan2(1)0nnnn，故1()()STASA（）證明：設A是每項均為非負整數(shù)的數(shù)列12naaa，當存在1ijn，使得ijaa時，交換數(shù)列A的第i項與第j項得到數(shù)列B，則()()2()jiijSBSAiajaiaja2()()0jiijaa當存在1mn，使得120mmnaaa時，若記數(shù)列12maaa，為C，則()()SCSA所以2()()STASA從而對于任意給定的數(shù)列0A，由121()(012)kkATTAk，可知11()()kkSASTA又由（）可知1()()kkSTASA，所以1()()kkSASA高考地理復習即對于kN，要么有1()()kkSASA，要么有1()()1kkSASA因為()kSA是大于2的整數(shù)，所以經過有限步后，必有12()()()kkkSASASA即存在正整數(shù)K，當kK時，1()()kkSASA4.（北京卷文20）數(shù)列na滿足11a，21()nnanna（12n，），是常數(shù)（）當21a時，求及3a的值；（）數(shù)列na是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（）求的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當nm時總有0na解：（）由于21()(12)nnannan，且11a所以當21a時，得12，故3從而23(223)(1)3a（）數(shù)列na不可能為等差數(shù)列，證明如下：由11a，21()nnanna得22a，3(6)(2)a，4(12)(6)(2)a若存在，使na為等差數(shù)列，則3221aaaa，即(5)(2)1，解得3于是2112aa，43(11)(6)(2)24aa這與na為等差數(shù)列矛盾所以，對任意，na都不可能是等差數(shù)列（）記2(12)nbnnn，根據(jù)題意可知，10b且0nb，即2且2*()nnnN，這時總存在*0nN，滿足：當0nn時，0nb；當01nn時，0nb所以由1nnnaba及110a可知，若0n為偶數(shù)，則00na，從而當0nn時，0na；若0n為奇數(shù)，則00na，從而當0nn時0na因此“存在*mN，當nm時總有0na”的充分必要條件是：0n為偶數(shù)，高考地理復習記02(12)nkk，則滿足22221(2)20(21)210kkbkkbkk故的取值范圍是22*4242()kkkkkN5.（福建卷理19）已知函數(shù)321()23fxxx.（）設an是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為Sn，其中a1=3.若點211(,2)nnnaaa(nN*)在函數(shù)y=f(x)的圖象上，求證：點（n,Sn）也在y=f(x)的圖象上；（）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內的極值.解：()證明：因為321()2,3fxxx所以2()2fxxx，由點211(,2)(N)nnnaaan在函數(shù)()yfx的圖象上,221122nnnnaaaa111()()2()nnnnnnaaaaaa，又0(N),nan所以12nnaa，na是13,2ad的等差數(shù)列所以2(1)32=22nnnSnnn,又因為2()2fnnn,所以()nSfn,故點(,)nnS也在函數(shù)()yfx的圖象上.()解:2()2(2)fxxxxx,令()0,fx得02xx或.當x變化時,()fx()fx的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值注意到(1)12aa,從而當212,21,()(2)3aaafxf即時的極大值為,此時()fx無極小值；當10,01,()aaafx即時的極小值為(0)2f,此時()fx無極大值；當2101,()aaafx或或時既無極大值又無極小值.6.（廣東卷理21）設pq，為實數(shù)，是方程20xpxq的兩個實根，數(shù)列nx滿高考地理復習足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（34n，）（1）證明：p，q；（2）求數(shù)列nx的通項公式；（3）若1p，14q，求nx的前n項和nS【解析】（1）由求根公式，不妨設，得2244,ppqppq2244ppqppqp，2244ppqppqq（2）設112()nnnnxsxtxsx，則12()nnnxstxstx，由12nnnxpxqx得stpstq，消去t，得20spsq，s是方程20xpxq的根，由題意可知，12,ss當時，此時方程組stpstq的解記為12sstt或112(),nnnnxxxx112(),nnnnxxxx即11nnxtx、21nnxtx分別是公比為1s、2s的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質可得2121()nnnxxxx,2121()nnnxxxx,兩式相減，得2212121()()()nnnxxxxx221,xpqxp，222x，1x22221()nnnxx，22221()nnnxx1()nnnx，即1nnnx，11nnnx當時，即方程20xpxq有重根，240pq，即2()40stst，得2()0,stst，不妨設st，由可知2121()nnnxxxx，2121()nnnnxxxx高考地理復習即1nnnxx，等式兩邊同時除以n，得111nnxx，即111nnxx數(shù)列nnx是以1為公差的等差數(shù)列，12(1)111nnxxnnn,nnnxn綜上所述，11,(),()nnnnnxn（3）把1p，14q代入20xpxq，得2104xx，解得1211()()22nnnxn232311111111()()().()()2()3().()22222222nnnSn23111111()()2()3().()22222nnn111111()2()()3(3)()2222nnnnnn7.（廣東卷文21）設數(shù)列na滿足11a，22a，121(2)3nnnaaa(3,4,)n。數(shù)列nb滿足11,(2,3,)nbbn是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有111mmmkbbb。（1）求數(shù)列na和nb的通項公式；（2）記(1,2,)nnncnabn，求數(shù)列nc的前n項和nS?！窘馕觥浚?）由121()3nnnaaa得1122()3nnnnaaaa(3)n又2110aa，數(shù)列1nnaa是首項為1公比為23的等比數(shù)列，1123nnnaa12132431()()()()nnnaaaaaaaaaa高考地理復習2222211333n112183231255313nn，由122221111,0bbbbZb得21b，由233331111,0bbbbZb得31b，同理可得當n為偶數(shù)時，1nb；當n為奇數(shù)時，1nb；因此1-1nb（2）11832553832553nnnnnnncnabnn1234nnSccccc當n為奇數(shù)時，012