第 1 頁 共 11 頁 2014 高考百天仿真沖刺卷 數(shù) 學(xué) (理 ) 試 卷 （ 二 ） 第 卷 （ 選擇題 共 40分） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng) . 1若集合2| , M y y x x R，| 2, N yy x R，則 MNI等于 （ A） 0, （ B）( , ) （ C） （ D） (2, 4)，( 1, 1) 2 某校高三 一班有學(xué)生 54 人，二班有學(xué)生 42 人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出 16 人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是 （ A） 8， 8 （ B） 10， 6 （ C） 9， 7 （ D） 12， 4 3極坐標(biāo)方程4cos化為直角坐標(biāo)方程 是 （ A）22( 2) 4xy （ B）4xy （ C）22( 2) 4 （ D）22( 1) ( 1) 4 4 已知na是由正數(shù)組成的等比數(shù)列， nS表示na的前 項(xiàng)的和 若 13a ， 24144aa，則 10S的值是 （ A） 511 （ B） 1023 （ C） 1533 （ D） 3069 5函數(shù))2(cos 2 xy的單調(diào)增區(qū)間是 （ A）( , )2kk kZ （ B）( , )2 kk kZ （ C）(2, 2)k （ D）(2, 2 2)kkk 6已知某個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中正視圖是等邊三 角形，側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是等腰直角三角形， 則此三棱錐的體積 等于 （ A）612 （ B）33 （ C）64 （ D）233 7如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，, AC分別是雙曲線虛軸的上、下頂點(diǎn)， B是雙曲線的左頂點(diǎn)， F為雙曲線的左焦點(diǎn)，直線 AB與 FC相交于點(diǎn) D.若雙曲線的離心率為 2，則 BDF的余弦值是 （ A）77 （ B）577 （ C） 714 （ D） 14 8定義區(qū)間( , )ab， , )，( , ab， , 的長度均為d b a，多個(gè)區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如 , (1, 2) 3, 5)的長度(21) (5 3) 3d. 用x表示不超過 x的最大整數(shù)，記 x x x，其中 xR. 設(shè)( ) f x x x，( ) 1gx x，若用 1 2 3,d d d分別表示不等式( ) ( )f x g，方程( ) ( )f x gx，不等式( ) ( )f x gx解集區(qū)間的長度，則當(dāng) 0 2011x 時(shí)，有 側(cè)視圖 正視圖 1 俯視圖 x y O C B A F D 第 2 頁 共 11 頁 （ A） 1 2 31, 2, 2008d d d （ B） 1 2 31, 1, 2009d d d （ C） 1 2 33, 5, 2003d d d （ D） 1 2 32, 3, 2006d d d 第 卷（非選擇題 共 110 分） 二、填空題：本大題共 6小題，每小題 5分，共 30分 .把答案填在題中橫線上 . 9復(fù)數(shù) 13iz ， 21iz ，則12zz等于 . 10在二項(xiàng)式6( 2)x的展開式中，第四項(xiàng)的系數(shù)是 . 11如 下 圖，在三角形 ABC中， D， E分別為 BC， AC的中 點(diǎn)， F為 AB上的點(diǎn)，且 B4A AF. 若AD xAF yAE ，則實(shí)數(shù) x ，實(shí)數(shù)y . 12執(zhí)行右圖所示的程序框圖，若輸入 5.2x， 則輸出y的值為 13如下圖，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中 , 對(duì)角線, ACBD相交于 點(diǎn) E已知 23BC， 2AE EC， 30BD， 則 CAB ， AC的長是 14對(duì)于各數(shù)互不相等的整數(shù)數(shù)組),( 321 niiii ( n是不小 于 3 的正整數(shù) )，對(duì)于任意的, ,2, , , pq n，當(dāng)qp時(shí)有 qpii ，則稱 pi， qi是該數(shù)組的一個(gè)“逆序”，一個(gè)數(shù)組中所有“逆序”的個(gè)數(shù)稱為該數(shù)組的“逆序數(shù)”，則數(shù)組（ 2， 4， 3， 1）中的逆序數(shù)等于 ；若數(shù)組 1 2 3( , , , , )ni i i i中的逆序數(shù)為 n，則數(shù)組 11( , , , )nni i i中的逆序數(shù)為 . 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分 .解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程 . 15（本小題滿分 13分） 在銳角 ABC中，角 A， B， C所對(duì)的邊分別為 a， b， c已知3cos 2 4C . （）求 sin； （）當(dāng) 2ca，且 37b時(shí)，求 a. A B C D E F 開始 輸入 x 是 ?i 5 輸出y 結(jié)束 xy | 2|yx 否 0, 0yi 1ii 第 3 頁 共 11 頁 16（本小題滿分 13分） 如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 為直角梯形，且 /A BC， 90A PAD ，側(cè)面 PAD底面 ABCD. 若12PA AB BC AD . （）求證： CD平面 PAC； （）側(cè)棱 PA上是否存在點(diǎn) E，使得 /BE平面 PCD？若存在，指出點(diǎn) E 的位置并證明，若不存在，請(qǐng)說明理由； （）求二面角 APDC的余弦值 . 17（本小題滿分 13分） 在某校教師趣味投籃比賽中 ,比賽規(guī)則是 : 每場(chǎng)投 6 個(gè)球，至少投進(jìn) 4 個(gè)球且最后 2 個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng) . 已知教師甲投進(jìn) 每 個(gè)球 的概率 都 是23 （ ） 記教師甲在每場(chǎng)的 6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為 X，求 X的 分布列及 數(shù)學(xué)期望 ； （ ） 求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率； （ ） 已知教師乙在某場(chǎng)比賽中， 6個(gè)球中恰好投進(jìn)了 4個(gè)球，求教師乙在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率；教師 乙 在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率 與教師 甲 在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率 相等嗎？ A B P C D 第 4 頁 共 11 頁 18（本小題滿分 13分） 已知函數(shù)2( ) ln 2 0)f x a x ax (. （ ）若曲線 ()y f在點(diǎn) (1, (1)Pf處的切線與直線 2yx垂直，求函數(shù) ()y f x的單調(diào)區(qū)間； （）若對(duì)于 (0, )x 都有) 2( 1)f x a成立，試求 a的取值范圍； （）記() () ( )gx fx x b b R .當(dāng) 1a時(shí)，函數(shù)()gx在區(qū)間1 , ee上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) b的取值范圍 . 19（本小題滿分 14分） 已知( 2, 0)A，(2, 0)B為橢圓 C的左、右頂點(diǎn)， F為其右焦點(diǎn)， P是橢圓 C上異于 A， B的動(dòng)點(diǎn)，且 APB面積的最大值為 23 （ ）求橢圓 C的方程及離心率； （）直線 AP與橢圓在點(diǎn) B處的切線交于點(diǎn) D，當(dāng)直線 AP繞點(diǎn) A轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試判斷以 BD為直徑的圓與直線 PF的位置關(guān)系，并加以證明 第 5 頁 共 11 頁 20（本小題滿分 14分） 有 n個(gè)首項(xiàng)都是 1的等差數(shù)列，設(shè)第 m個(gè)數(shù)列的第 k項(xiàng)為 mka(, 1,2,3, , , 3)mk nn ，公差為 md，并且 1 2 3, , , ,n n n nna a a a成等差數(shù)列 （）證明 1 1 2 2md pd pd （ 3 mn ， 12,pp是 m的多項(xiàng)式），并求 12pp的值； （）當(dāng) 121, 3dd時(shí)，將數(shù)列md分組如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9( ), ( , , ), ( , , , , ),d ddd ddddd(每組數(shù) 的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列 ) 設(shè)前 m組中所有數(shù)之和為4( ) ( 0)mmcc，求數(shù)列2 mc md的前 n項(xiàng)和 nS （）設(shè) N是不超過 20 的正整數(shù)，當(dāng) nN時(shí)，對(duì)于（）中的 nS，求使得不等式 1 ( 6)50 nnSd成立的所有 的值 2013 高考百天仿真沖刺卷 數(shù)學(xué) (理 )試卷（ 二 ）參考答案 一、選擇題 : 題號(hào) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6） （ 7） （ 8） 答案 A C A D A B C B 二、填空題 : 題號(hào) （ 9） （ 10） （ 11） （ 12） （ 13） （ 14） 答案 1+2i 160 2 1 0.8 30 6 4 2 32nn 三、解答題：本大題共 6小題，共 80分 . 15（本小題滿分 13分） 解：（）由已知可得 2 31 2 s i n4C .所以 2 7sin8C . 因?yàn)樵?ABC 中 ， sin 0C ， 第 6 頁 共 11 頁 所以 14sin4C . 6分 （）因?yàn)?2ca ，所以 1 1 4s i n s i n28AC. 因?yàn)?ABC 是銳角三角形，所以 2cos4C ， 52cos8A . 所以 s i n s i n ( )B A Cs i n c o s c o s s i nA C A C 1 4 2 5 2 1 48 4 8 4 378 . 由正弦定理可得： 37sin sinaBA，所以 14a . 13分 16（本小題滿分 13分） 解法一： （）因?yàn)?90PAD ，所以 PA AD . 又因?yàn)閭?cè)面 PAD 底面 ABCD ，且側(cè)面 PAD 底面 A B C D A D ， 所以 PA 底面 ABCD . 而 CD 底面 ABCD ， 所以 PA CD . 在 底 面 ABCD 中 ， 因 為 90A B C B A D ，12A B B C A D ， 所以 22A C C D A D， 所以 AC CD . 又 因 為 PA AC A ， 所以 CD 平面PAC . 4 分 （）在 PA 上存在中點(diǎn) E ，使得 /BE 平面 PCD ， 證明如下：設(shè) PD 的中點(diǎn)是 F ， 連結(jié) BE ， EF ， FC ， 則 /EF AD ，且 12EF AD. 由已知 90A B C B A D ， 所以 /BC AD . 又 12BC AD， 所以 /BC EF ，且 BC EF ， 所以四邊形 BEFC 為平行四邊形，所以 /BE CF . 因?yàn)?BE 平面 PCD ， CF 平面 PCD ， 所以 /BE 平面 PCD . 8分 （）設(shè) G 為 AD 中點(diǎn)，連結(jié) CG ， 則 CG AD . 又因?yàn)槠矫?ABCD 平面 PAD ， 所以 CG 平面 PAD . 過 G 作 GH PD 于 H ， 連結(jié) CH ，由三垂線定理可知 CH PD . 所以 GHC 是二面角 A PD C的平面角 . 設(shè) 2AD ，則 1P A A B C G D G , 5DP . E F A B P C D G H A B P C D 第 7 頁 共 11 頁 在 PAD 中， GH DGPA DP，所以 15GH. 所以 t a n 5CGGHCGH ， 6c o s6GHC. 即二面角 A PD C的余弦值為 66. 13分 解法二： 因?yàn)?90PAD ， 所以 PA AD . 又因?yàn)閭?cè)面 PAD 底面 ABCD ， 且側(cè)面 PAD 底面 A B C D A D ， 所以 PA 底面 ABCD . 又因?yàn)?90BAD ， 所以 AB ， AD ， AP 兩兩垂直 . 分別以 AB ， AD ， AP 為 x 軸， y 軸， z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 . 設(shè) 2AD ，則 (0, 0, 0)A ， (1, 0, 0)B ， (1, 1, 0)C ， (0, 2, 0)D ， (0, 0, 1)P . （） (0 , 0 , 1)AP ， (1, 1, 0 )AC ， ( 1, 1, 0 )CD , 所以 0AP CD， 0AC CD，所以 AP CD ， AC CD . 又因?yàn)?AP AC A ， 所以 CD 平面 PAC . 4分 （）設(shè)側(cè)棱 PA 的中點(diǎn)是 E ， 則 1(0, 0, )2E， 1( 1, 0 , )2BE . 設(shè)平面 PCD 的一個(gè)法向量是 ( , , )x y zn ，則 0,0.CDPD nn 因?yàn)?( 1, 1, 0 )CD ， ( 0 , 2 , 1)PD ， 所以 0,2 0.xyyz 取 1x ，則 (1, 1, 2)n . 所以 1(1 , 1 , 2 ) ( 1 , 0 , ) 02BE n， 所以 BEn . 因?yàn)?BE 平面 PCD ，所以 BE 平面 PCD . 8分 （）由已知， AB 平面 PAD ，所以 (1, 0 , 0 )AB 為平面 PAD 的一個(gè)法向量 . 由（）知， (1, 1, 2)n 為平面 PCD 的一個(gè)法向量 . 設(shè)二面角 A PD C的大小為 ，由圖可知， 為銳角， 所以 ( 1 , 1 , 2 ) ( 1 , 0 , 0 ) 6c o s661ABAB nn. 即二面角 A PD C的余弦值為 66. 13 分 17（本小題滿分 13分） 解： （ ） X的 所有可能取值為 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6. 依條件可知 X B(6， 23). z y x A B P C D 第 8 頁 共 11 頁 6621()33kkkP X k C ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6k ) X的 分布列為： X 0 1 2 3 4 5 6 P 1729 12729 60729 160729 240729 192729 64729 所以 1 ( 0 1 1 1 2 2 6 0 3 1 6 0 4 2 4 0 5 1 9 2 6 6 4 )729EX = 29164729. 或因?yàn)?X B(6， 23)，所以 2643EX . 即 X的數(shù)學(xué)期望 為 4 5分 （ ）設(shè) 教師 甲 在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 為事件 A， 則 2 2 4 1 5 6441 2 1 2 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .3 3 3 3 3 8 1P A C C 答：教師 甲 在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率 為 32.81 10分 （ ）設(shè) 教師 乙 在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 為事件 B， 則 2444662()5AAPBA. 即教師 乙 在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率為 25. 顯然 2 32 325 80 81，所以教師 乙 在這場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率 與教師 甲 在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng) 的概率 不相等 13分 18（本小題滿分 13分） 解 : (I) 直線 2yx 的斜率為 1. 函數(shù) ()fx 的定義域?yàn)?(0, ) ， 因?yàn)?2() afx xx ， 所以22(1 ) 111af ，所以 1a . 所以 2( ) l n 2f x xx . 22() xfx x . 由 ( ) 0fx 解得 2x ；由 ( ) 0fx 解得 02x . 所以 ()fx 的單調(diào)增區(qū)間是 (2, ) ,單調(diào)減區(qū)間是 (0,2) . 4分 (II) 22()a a xfx x x x ， 由 ( ) 0fx 解得 2xa；由 ( ) 0fx 解得 20 xa . 所以 ()fx 在區(qū)間 2( , )a 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 2(0, )a上單調(diào)遞減 . 所以當(dāng) 2xa時(shí)，函數(shù) ()fx 取得最小值，min 2()yfa. 因?yàn)閷?duì)于 (0, )x 都有 ( ) 2 ( 1)f x a成立， 所以 2( ) 2 ( 1)faa 即可 . 則 22l n 2 2 ( 1 )2 aaaa . 由 2lnaaa 解得 20 ae . 第 9 頁 共 11 頁 所以 a 的取值范圍是 2(0, )e. 8分 (III)依題得 2( ) l n 2g x x x bx ，則 222() xxgx x . 由 ( ) 0gx 解得 1x ；由 ( ) 0gx 解得 01x. 所 以函數(shù) ()gx 在 區(qū)間 (0, 1) 為減函數(shù)，在 區(qū)間 (1, ) 為增函數(shù) . 又因?yàn)楹瘮?shù) ()gx 在 區(qū)間 1 , ee 上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以1( ) 0,( ) 0, (1) 0. gegeg 解得 211bee . 所以 b 的取值 范 圍是 2(1, 1ee . 13分 19（本小題滿分 14分） 解：（）由題意可設(shè)橢圓 C 的方程為 22 1 ( 0 )xy abab ， ( ,0)Fc 由題意知 解得 3b ， 1c 故橢圓 C 的方程為 22143xy，離心率為 12 6分 （）以 BD 為直徑的圓與直線 PF 相切 證 明 如 下 ： 由 題 意 可 設(shè) 直 線 AP 的 方 程 為( 2)y k x( 0)k . 則點(diǎn) D 坐標(biāo)為 (2, 4 )k ， BD 中點(diǎn) E 的坐標(biāo)為 (2, 2 )k 由 22( 2 ),143y k xxy 得 2 2 2 2( 3 4 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為00( , )xy，則 20 21 6 1 22 34kx k 所以 20 26834kx k ，00 212( 2 ) 34ky k x k 10 分 因?yàn)辄c(diǎn) F 坐標(biāo)為 (1, 0) ， 當(dāng) 12k時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 3(1, )2，點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (2, 2) . 直線 PF x 軸，此時(shí)以 BD 為直徑的圓 22( 2 ) ( 1 ) 1xy 與直線 PF 相切 當(dāng) 12k時(shí)，則直線 PF 的斜率0 2041 1 4PFy kk xk. 所以直線 PF 的方程為24 ( 1 )14kyxk 2 2 21 2 2 3 ,22 , . abaa b c O FEPDBAyx第 10 頁 共 11 頁 點(diǎn) E 到直線 PF 的距離222228421 4 1 416 1(1 4 )kkkdkk32222814 2 | |14| 1 4 |kkk kkk 又因?yàn)?| | 4 | |BD k ，所以 1 |2d BD 故以 BD 為直徑的圓與直線 PF 相切 綜上得，當(dāng)直線 AP 繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，以 BD 為直徑的圓與直線 PF 相切 14 分 20（本小題滿分 14分） 解：（）由題意知 1 ( 1)m n ma n d 2 1 2 1 2 1 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 ) ( )nna a n d n d n d d ， 同理，3 2 3 2( 1 ) ( )nna a n d d ，4 3 4 3( 1 ) ( )nna a n d d ， ( 1 ) 1( 1 ) ( )n n n n n na a n d d 又因?yàn)? 2 3, , , ,n n n n na a a a成等差數(shù)列，所以2 1 3 2 ( 1 )n n n n n n n na a a a a a . 故2 1 3 2 1nnd d d d d d ，即 nd是公差為21dd的等差數(shù)列 所以，1 2 1 1 2( 1 ) ( ) ( 2 ) ( 1 )md d m d d m d m d 令122 , 1p m p m ，則1 1 2 2md p d p d，此時(shí)121pp 4 分 （）當(dāng)121, 3dd時(shí)， *2 1 ( )md m m N 數(shù)列 md分組如下：1 2 3 4 5 6 7 8 9( ) , ( , , ) , ( , , , , ) ,d d d d d d d d d 按分組規(guī)律，第 m 組中