華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 隨機(jī)動力學(xué)系統(tǒng)以各種各樣的形式出現(xiàn)在自然科學(xué)的許多領(lǐng)域。近年來，對隨 機(jī)動力學(xué)系統(tǒng)的研究成為理論界和實驗界的焦點。本論文用解析的方法研究了由關(guān) 聯(lián)噪聲驅(qū)動的隨機(jī)動力學(xué)系統(tǒng)中隨機(jī)共振現(xiàn)象、平均第一通過時間的對稱性破缺及 其在激光系統(tǒng)中的應(yīng)用。論文包括三個方面的工作。 第一，研究了由關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動的雙穩(wěn)系統(tǒng)和激光系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象，討論 了各種參數(shù)對隨機(jī)共振形式的影響。f 根據(jù)建立模型的不同，我們對三種隨機(jī)系統(tǒng)中 出現(xiàn)的隨機(jī)共振現(xiàn)象分別進(jìn)行了研究。( 1 ) 首次研究了鋸齒型雙穩(wěn)勢阱模型中隨機(jī) 共振現(xiàn)象。運(yùn)用絕熱近似理論，導(dǎo)出了輸出信號功率譜和信噪比的解析表達(dá)式。研 究發(fā)現(xiàn)，信噪比隨著加性噪聲強(qiáng)度變化時，不僅會出現(xiàn)共振，還會出現(xiàn)抑制、單調(diào) 減少和單調(diào)增加四種情況；信噪e e 隨著勢壘高度的變化曲線會出現(xiàn)抑制、雙極值和 單調(diào)下降三種情況。( 2 ) 首次研究了無限深雙穩(wěn)勢阱中的隨機(jī)共振現(xiàn)象。運(yùn)用絕熱 近似理論，得到了信噪比的解析表達(dá)式。在信噪比隨著噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的曲線中觀察 到了多重隨機(jī)共振現(xiàn)象，并且還發(fā)現(xiàn)信噪比隨著加性噪聲強(qiáng)度和乘性噪聲的變化， 既出現(xiàn)了共振也出現(xiàn)了抑制。( 3 ) 研究了出現(xiàn)在具有周期調(diào)制噪聲的單模激光系統(tǒng) 中的隨機(jī)共振現(xiàn)象。首次將信號和噪聲以相乘的形式引入單模激光系統(tǒng)中，考慮關(guān) 聯(lián)的泵噪聲和量子噪聲的情況，運(yùn)用線性化近似方法，導(dǎo)出了激光處于穩(wěn)態(tài)時的光 強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)、功率譜和信噪比。第一次在激光系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)信噪比隨著關(guān)聯(lián)時間的變 化既出現(xiàn)單峰的隨機(jī)共振又出現(xiàn)多重隨機(jī)共振。而且，當(dāng)適當(dāng)改變參數(shù)時，還會出 現(xiàn)多重隨機(jī)共振和單峰形式的隨機(jī)共振之間的轉(zhuǎn)變。寸t 第二，首次研究了噪聲間關(guān)聯(lián)對對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)的平均第一通過時間的影響。，運(yùn) 用解析方法導(dǎo)出了由關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動的對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中的相反方向平均首通時間的關(guān) 系，證明它們不再具有空間對稱性( 空間對稱破缺) 。研究發(fā)現(xiàn)，( 1 ) 由于噪聲間關(guān) 聯(lián)的存在，導(dǎo)致對稱雙穩(wěn)勢的平均第一通過時間左右不對稱，即t + t 。而且，它 們隨著噪聲強(qiáng)度的變化規(guī)律也完全不同。( 2 ) 由于關(guān)聯(lián)效應(yīng)使平均首通時間隨噪聲 強(qiáng)度的變化，出現(xiàn)共振、抑制，乃至于出現(xiàn)“相變”。作為例子，分別導(dǎo)出了四次方 模型和鋸齒模型的平均第一通過時間。由平均第一通過時間的解析式，進(jìn)一步證明 了在同樣參數(shù)區(qū)，0 一寸工+ ；五) ，( j + 一x ；丑) ，不僅如此，還發(fā)現(xiàn)t + ( 即 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 t ( x 一_ x + ；五) ) 和t 。( 即r ( x + 斗石一；五) ) 隨著乘性噪聲強(qiáng)度q 和：3 1 ：1 性噪聲強(qiáng)度d 的 變化呈現(xiàn)出不同的規(guī)律。在四次方模型中，當(dāng)t + a 曲線出現(xiàn)一個極大值時，t 一為 單調(diào)減??；當(dāng)，+ d 曲線出現(xiàn)單調(diào)增加一三極值一單極值的相變，而r 一只是單調(diào)減 小；減小參數(shù)q ，當(dāng)，+ d 曲線表現(xiàn)為單調(diào)減小一兩極值一單調(diào)增加，即另形式 的相變，而丁一d 曲線僅單調(diào)增加。對雙穩(wěn)鋸齒模型也有類似表現(xiàn)。 第三，研究了在相關(guān)色噪聲作用下，單模激光的定態(tài)性質(zhì)。t 運(yùn)用由我們研究組 提出的近似方法，導(dǎo)出了具有白關(guān)聯(lián)的不同自相關(guān)時間的加性色噪聲和乘性色噪聲 驅(qū)動的單模激光三次方模型的場幅定態(tài)幾率分布及其均值、協(xié)方差，分析了在閉值 上時，激光光強(qiáng)均值和協(xié)方差受噪聲間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度a 和噪聲的“顏色”的影響。 關(guān)鍵詞：隨機(jī)共振；平均第一通過時間：雙穩(wěn)系統(tǒng)；單模激光；關(guān)聯(lián)噪聲； 。一 - 一 一 一一一 絕熱近似：線性化近似 j 一 一、 i i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = = = = = = = = = z = = = = = = ；= = = = = 2 = = = = = = = = = = 一一= a b s t r a c t t h e r ea r ev a r i o u ss t o c h a s t i cd y n a m i c ss y s t e m si nm a n y s c i e n t i f i cf i e l d s r e c e n t l y , i t h a sb e c o m eah o tf o c u st oi n v e s t i g a t et h es t o c h a s t i cd y n a m i c s s y s t e m sb y m e a n s o f t h e o r y a n d e x p e r i m e n t i nt h i sp a p e lu s i n gt h ea n a l y t i cm e t h o d s ，t h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i c r e s o n a n c ea n ds y m m e t r y - b r e a k i n gi nt h em e a nf i r s t p a s s a g et i m e ，w h i c ho c c o ii nt h e s t o c h a s t i cd y n a m i c ss y s t e m sd r i v e nb yc o r r e l a t e dn o i s e s ，a n di t sa p p l i c a t i o n si nt h el a s e r s y s t e m s ，a r es t u d i e d i nd e t m l t h r e ea s p e c t sa r ei n c l u d e di nt h i sp a p e r f i r s t ，t h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i cr e s o n a n c eo c c u r r i n gi nab i s t a b l es y s t e ma n d l a s e rs y s t e m ，w h i c ha r ed r i v e nb yc o r r e l a t e dn o i s e ，a r es t u d i e d f u r t h e r , t h ee f f e c t so i lt h e f o r mo fs t o c h a s t i cr e s o n a n c e b yp a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e d b ys e t u p i n gv a r i o u sm o d e l s ，w e i n v e s t i g a t et h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h r e es t o c h a s t i cs y s t e m s ( 1 ) b y u s i n gab i s t a b l es a w t o o t hp o t e n t i a lm o d e l ，t h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i cr e s o n a n c ei s f i r s t l ys t u d i e d u s i n gt h ea d i a b a t i ce l i m i n a t i o nt h e o r y , w e d e r i v et h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no f o u t p u ts i g n a lp o w e rs p e c t r u ma n ds i g n a l t o n o i s er a t i o ，a n dd e t e c tt h a t ：t h e r ea r en o to n l y r e s o n a n c eb u ta l s os u p p r e s s i o na n dm o n o t o n yi nt h ed e p e n d e n c eo f s i g n a l - - t o - - n o i s er a t i o u p o nt h ea d d i t i v en o i s ei n t e n s i t y ；t h e r ea r et h r e ec a s e ，s u p p r e s s i o n ，t w o e x t r e m e ，a n d d e c r e a s i n gm o n o t o n o u s l y , i nt h ed e p e n d e n c eo fs i g n a l - - t o - - n o i s er a t i ou p o nt h eb a r r i e r h e i g h t ( 2 ) b yu s i n g ab i s t a b l eb o xp o t e n t i a lm o d e l ，t h ep h e n o m e n o no fs t o c h a s t i c r e s o n a n c ei ss t u d i e df i r s t l y u s i n gt h ea d i a b a t i ce l i m i n a t i o nt h e o r y , w ed e r i v et h ea n a l y t i c e x p r e s s i o no fs i g n a l t o n o i s er a t i o t h ep h e n o m e n o no f s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei so b s e r v e d i nt h e d e p e n d e n c e o fs i g n a l - t o n o i s er a t i o u p o nt h e c o r r e l a t i o n i n t e n s i t y , a n db o t h r e s o n a n c ea n ds u p p r e s s i o na p p e a ri nt h ed e p e n d e n c eo fs i g n a l t o n o i s er a t i o u p o nt h e a d d i t i v en o i s ei n t e n s i t ya n dt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ei n t e n s i t y ( 3 ) t h ep h e n o m e n o no f s t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nt h es i n g l e m o d el a s e rs y s t e md r i v e nb yp e r i o d i c a l l ym o d u l a t e d n o i s ei ss t u d i e d m u l t i p l i c a t i v e l yi n t r o d u c i n gt h en o i s ea n ds i g n a li n t oa s i n g l e - m o d e l a s e r s y s t e mf i r m l y , t a k i n gt h ec o r r e l a t e dp u m p a n dq u a n t u mn o i s ei n t oa c c o u n t ，u s i n gt h el i n e a r a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，w ed e r i v et h ea n a l y t i ce x p r e s s i o no f l a s e ri n t e n s i t yc o r r e l a t i o n f u n c t i o n ，p o w e rs p e c t r u m ，a n ds i g n a l t o n o i s er a t i o ，a n df i n df i r s t l yt h a t ，t h et w of o r m so f i 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 i = = = = = ；= = = 2 = = = = = = = = = = = = ；= ；= = = ：= = 一 s t o c h a s t i c r e s o n a n c e ( t h e s i n g l e p e a k f o r ms t o c h a s t i c r e s o n a n c ea n d s t o c h a s t i c m u l t i r e s o n a n c e ) i nt h ec u r v eo ft h ed e p e n d e n c eo fs i g n a l t o n o i s er a t i ou p o nt h en o i s e c o r r e l a t i o nt i m e ，f u r t h e r m o r e ，w h e nt h ec o r r e l a t i o n i n t e n s i t yb e t w e e nn o i s e sa n dt h e i n t e n s i t i e so f b o t hn o i s e sa r ec h a n g e d ，t h et w of o r m s o f s t o c h a s t i cr e s o n a n c ea l t e r n a t e s s e c o n d ，e f f e c to nt h em e a nf i r s tp a s s a g et i m ei ns y m m e t r i c a lb i s t a b l es y s t e m sb y c r o s s c o r r e l a t i o nb e t w e e nn o i s e s i ss t u d i e d f i r s t l y b ys t u d y i n gs y m m e t r i c a lb i s a b l e s y s t e m sd r i v e nb yc o r r e l a t e dn o i s e s ，w ed e r i v et h er e l a t i o nb e t w e e nt h em e a nf a s tp a s s a g e t i m ei nt w oo p p o s i t ed i r e c t i o n s ，a n dp r o v et h a t ，t h em e a nf i r s t p a s s a g et i m ei n t w o o p p o s i t e d i r e c t i o n si sn o t s y m m e t r i c a la n ym o r ew h e nn o i s e s a t ec o r r e l a t e d t w o c o n c l u s i o na r ed r a w n ：( 1 ) t h ee x i s t e n c eo f c r o s s c o r r e l a t i o nl e a d st os y m m e t r y - b r e a k i n g i n t h em e a nf i r s tp a s s a g et i m e f u r t h e r m o r e ，t h ed e p e n d e n c eo f t h e m u p o n n o i s ei n t e n s i t ya r e e n t i r e l yd i f f e r e n t ( 2 ) i ti st h ee f f e c to fc r o s s c o r r e l a t i o nw h oi n d u c e st h er e s o n a n c ea n d s u p p r e s s i o n ，e v e n t h eo c c u r r e n c eo ft h e p h a s et r a n s i t i o n w h e n 兄= 0 ( w i t h o u t c r o s s c o r r e l a t i o n ) ，t h ed e p e n d e n c eo ft h em e a nf i r s tp a s s a g et i m e si nt w oo p p o s i t e d i r e c t i o n s u p o n n o i s ei n t e n s i t yi s a l w a y sm o n o t o n o u s a se x a m p l e s ，t h em e a nf i r s t p a s s a g et i m ei nt h eq u a r t i cb i s t a b l em o d e la n dt h es a w t o o t hb i s t a b l em o d e la r ec a l c u l a t e d ， r e s p e c t i v e l y f r o mt h ea n a l y t i cr e s u l t so f t h em e a n f i r s tp a s s a g e t i m e ，w et e s t i f yf u r t h e rt h e r e l a t i o n t ( f r o m 工一t ox + ，a ) t ( f r o mx + t ox 一，旯) i n t h es a m ea r e ro ft h e p a r a m e t e rp l a n m o r e o v e r , i ti s f o u n dt h a tt h ed e p e n d e n c e so f t + ( i e ，t ( f r o mx t o x + ，a ) ) a n dt 一( i e ，t ( f r o mx + t oz 一，a ) ) u p o nt h em u l t i p l i c a t i v en o i s ei n t e n s i t ya a n dt h ea d d i t i v en o i s ei n t e n s i t yde x h i b i te n t i r e l yd i f f e r e n tp m p e r t i e s i nt h eq u a r t i c b i s t a b l es y s t e m ，w h e nt h e t + v s q c l l r v ee x h i b i t sam a x i m u m ，w h i l et h e t v s o c u r v ei sm o n o t o n o u s ；w h e nt h et + v s dc u r v ee x p e r i e n c e st h ep h a s et r a n s i t i o nf r o m i n c r e a s i n gm o n o t o n o u s l yt op o s s e s s i n gt h r e ee x t r e m at op o s s e s s i n gs i n g l ee x t r e m e ，w h i l e t h et v s dc u r v ej u s ti n c r e a s e sm o n o t o n o u s l y d e c r e a s i n gq ，w h e nt h et + v s d c u i v ce x p e r i e n c e sa n o t h e rp h a s et r a n s i t i o n ，f r o md e c r e a s i n gm o n o t o n o u s l yt op o s s e s s i n g t w oe x t r e m at o i n c r e a s i n gm o n o t o n o u s l y , w h i l et h e t v s dc u r v eo n l yi n c r e a s e s m o n o t o n o u s l ys i m i l a r b e h a v i o u r sa l s oe x i s ti nt h es a w t o o t hb i s t a b l em o d e l i v 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 f i n a l ，t h es t a t i o n a r yp r o p e r t yo fas i n g l e - m o d el a s e rs y s t e md r i v e nb yc o r r e l a t e d c o l o r e dn o i s e si ss t u d i e d u s i n ga l la p p r o x i m a t i o nm e t h o dd e r i v e db yu sf o rt h ec o l o r e d n o i s e ，w ed e r i v et h es t a t i o n a r yp r o b a b i l i t yd i s t r i b u t i o n ，t h em e a n v a l u ea n dt h en o r m a l i z e d v a r i a n c eo ft h el a s e ri n t e n s i t yo fas i n g l e - m o d el a s e rc u b i cm o d e ld r i v e nb yc o r r e l a t e d m u l t i p l i c a t i v ea n d a d d i t i v ec o l o r e dn o i s e s m o r e o v e r , t h ei n f l u e n c eo f t h em e a nv a l u ea n d t h en o r m a l i z e dv a i l a n c eo ft h el a s e ri n t e n s i t yb yc o r r e l a t i o ni n t e n s i t yb e t w e e nn o i s e sa n d t h ee o l o r e n e s so f n o i s ea l es t u d i e d k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ；m e a n f i r s tp a s s a g et i m e ；b i s t a b l es y s t e m ； s i n g l e m o d el a s e r ；c o r r e l a t e dn o i s e ；a d i a b a t i c e l i m i n a t i o n t h e o r y ；, l i n e a ra p p r o x i m a t i o nm e t h o d v 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 ；= = ；= = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 1 1 非平衡統(tǒng)計物理概述 1 綜述 非平衡統(tǒng)計物理是研究系統(tǒng)在遠(yuǎn)離平衡時與外界環(huán)境及內(nèi)部耗散共同作用下的 宏觀突變行為與現(xiàn)象的一門物理學(xué)學(xué)科【岫】。近四十年來，非平衡統(tǒng)計物理取得了巨 大的進(jìn)展，對物理學(xué)和對整個自然科學(xué)乃至社會科學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，大大改變 了人們思考問題的角度，改變了人們對自然與社會以及整個世界的認(rèn)知方式。 對于近平衡態(tài)的研究，以漲落耗散定理、昂薩格倒易關(guān)系和最小熵產(chǎn)生定理為 主要內(nèi)容的線性熱力學(xué)和近平衡態(tài)統(tǒng)計物理已經(jīng)發(fā)展成熟。對于遠(yuǎn)離平衡態(tài)的研究， 普里高津( i l y ap f i g o g i n e ) 學(xué)派的耗散結(jié)構(gòu)理論【”】和哈肯( h e r m a nh a k e n ) 學(xué)派的協(xié)同 學(xué)1 6 - 8 1 是最有影響的兩種理論學(xué)派。耗散結(jié)構(gòu)理論和協(xié)同學(xué)都是研究非平衡開放系統(tǒng) 中的自組織和合作行為，但兩者處理問題的思路是完全不同。 耗散結(jié)構(gòu)理論從“非平衡是有序之源”的觀點出發(fā)，通過熱力學(xué)分析、動力學(xué) 分析( 突變論處理方法) 和隨機(jī)方法的綜合考察，對于復(fù)雜系統(tǒng)自組織問題作出了 一系列開創(chuàng)性的工作，但也留下了一系列的有待進(jìn)一步解決的問題 3 5 1 。協(xié)同學(xué)正是 在這種情況下延生。哈肯學(xué)派認(rèn)為熵這一物理量對非平衡的描述是不很恰當(dāng)?shù)摹Ｋ?們從激光理論抽象出適用于其它系統(tǒng)的內(nèi)容，建立了協(xié)同學(xué)。協(xié)同學(xué)研究系統(tǒng)中子 系統(tǒng)之間是怎樣相互合作、協(xié)調(diào)作用以產(chǎn)生宏觀的空間結(jié)構(gòu)、時間結(jié)構(gòu)、功能結(jié)構(gòu)。 他們對于每個子系統(tǒng)都合理地寫出運(yùn)動方程，其中包含了決定性力和隨機(jī)力之間的 協(xié)同作用，即廣義的朗之萬方程。然后，對這些朗之萬方程進(jìn)行動力學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的 考察。由于系統(tǒng)包含的子系統(tǒng)很多，哈肯提出了序參量和伺服原理：對于一個高維 ( 甚至是無窮維) 的非線性系統(tǒng)，在不穩(wěn)定點( 分叉點) 附近，存在著不穩(wěn)定模和 穩(wěn)定模，后者完全由前者支配。通過絕熱消去法，原來的高維系統(tǒng)就變成了一個維 數(shù)很低的方程組，即序參量的演化方程。該方程控制著系統(tǒng)在臨界點附近的動力學(xué) 性質(zhì)，通過求解此方程，即可得到各種時間、空間和功能結(jié)構(gòu)【6 培l(xiāng) 。 二十世紀(jì)八十年代以來，遠(yuǎn)離平衡的非平衡統(tǒng)計物理研究又有了較大的突破， 發(fā)現(xiàn)了非線性隨機(jī)系統(tǒng)中的許多新奇現(xiàn)象，如：隨機(jī)共振【9 1 、共振激活【1 0 ”1 、淬火現(xiàn) 象 9 1 、噪聲誘導(dǎo)相變 9 2 1 】、噪聲誘導(dǎo)輸運(yùn) 2 2 34 1 、分子馬達(dá)及蛋白質(zhì)分子的能量輸運(yùn) 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 p 6 】等等。這些研究工作大大促進(jìn)了非非平衡統(tǒng)計物理在物理學(xué)的各個分支和其它諸 如化學(xué)、生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、天文學(xué)、大氣物理、地球科學(xué)等自然科學(xué)乃至經(jīng)濟(jì)學(xué)、 金融學(xué)、新聞學(xué)等社會科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用，成為理論物理和其他自然科學(xué)以及社會科 學(xué)的交叉點，大大改變了人們對自然和整個社會的認(rèn)識。另一方面，這些研究工作 也使人們認(rèn)識到，“世界是隨機(jī)的”這一觀念并不意味著我們將會失去對世界的把握 和控制，相反，在本論文對隨機(jī)共振的研究中，我們將會看到噪聲在許多情況下充 當(dāng)著積極的角色。正如英國 新科學(xué)家周刊1 9 9 9 年1 月9 日的評論文章標(biāo)題：“噪 聲有妙用”。 1 2 噪聲 在宏觀世界里，隨機(jī)漲落是普遍存在的。這種漲落是快速變化的、隨機(jī)的、不 可預(yù)言的，我們稱之為噪聲。通常，人們認(rèn)為噪聲總是消極的東西，它產(chǎn)生雜亂的 運(yùn)動，破壞次序，破壞功能，抹去相和相之間的差異，導(dǎo)致系統(tǒng)均勻，起到破壞相 變的作用1 9 。但是普里高津( i l y ae r i g o 舀n e ) 學(xué)派的耗散結(jié)構(gòu)理論認(rèn)為“無序是有序之 源”，即系統(tǒng)“通過漲落達(dá)到有序”。這之后，更多的研究發(fā)現(xiàn)噪聲在系統(tǒng)的演化中 起到了決定性的作用，使許多在確定性方程中不可能產(chǎn)生的相變行為在噪聲的作用 下成為可能。這些相變導(dǎo)致了序的形成和對稱性的破缺。就目前研究來看，噪聲在 各種隨機(jī)系統(tǒng)中起著關(guān)鍵性的作用，比如：隨機(jī)共振，噪聲誘導(dǎo)相變、噪聲誘導(dǎo)輸 運(yùn)以及分子馬達(dá)等1 4 2 - 4 5 。 根據(jù)噪聲起源的不同，可分為內(nèi)噪聲和外噪聲。內(nèi)噪聲通常認(rèn)為是系統(tǒng)內(nèi)部的 統(tǒng)計性質(zhì)引起的結(jié)采。它是系統(tǒng)自發(fā)產(chǎn)生的，一般與體系體積的倒數(shù)成正比，因此 這種噪聲比較小。例如，在激光系統(tǒng)中，量子噪聲是由于粒子的自發(fā)輻射引起，它 就是內(nèi)噪聲。同時，它也是量子效應(yīng)的直接結(jié)果，源于量子力學(xué)的不確定原理剛。 外噪聲則是由于系統(tǒng)所處的外部環(huán)境引起的，它e h 鄉(xiāng)l , 部條件完全控制。例如，激光 系統(tǒng)中的泵浦噪聲就是外噪聲。在運(yùn)用理論模型處理時，一般通過對系統(tǒng)引入的各 個參量加以控制，來實現(xiàn)外噪聲對系統(tǒng)的控制作用。 人們常常應(yīng)用朗之萬方程處理隨機(jī)動力學(xué)的問題。在朗之萬方程中，根據(jù)噪聲 與參量作用的不同形式可分為加性噪聲和乘性噪聲。與參量無關(guān)的噪聲源，用加 性噪聲描述。例如，內(nèi)噪聲通常就是加性的。而與參量有關(guān)的噪聲源用乘性噪聲。 例如，外噪聲通常就是乘性的。 2 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = = = ；= = = = = = j ；= = = = = = = = = = = = = = ；= ；一一 此外，噪聲還可根據(jù)其統(tǒng)計性質(zhì)，分為白噪聲和色噪聲。其統(tǒng)計性質(zhì)為分別為 白噪聲和色噪聲【9 】： 1 ) 白噪聲 白噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)為： = 0 且 = 2 d s ( t s ) ，( 1 2 1 ) 其中 代表系綜平均( 注意，這里與量子力學(xué)中波函數(shù)的狄拉克表示法不同) 。 之所以把它稱之為白噪聲，是由于其功率密度： s ( o j ) = i2 d s ( t ) p “d t = 2 d ， 為常數(shù)，與c o 無關(guān)，即譜是白色的。這種噪聲實際上是沒有的，只是對實際噪聲的一 種抽象近似。因為這種噪聲具有無窮大的功率( wz 陋( 國) 砌= o o ) ，所以真實的噪 聲必然要對功率譜進(jìn)行截斷，僅保留其低頻部分。這樣作的結(jié)果正是色噪聲的特性， 使噪聲的不同時刻之間具有了關(guān)聯(lián)，對s ( o j ) 一種常用的截斷是使s ( o j ) 為洛倫茲型： 滟) = 羔 2 ) 色噪聲 色噪聲( 這里主要是指o u 噪聲) 的統(tǒng)計性質(zhì)為： c ( 出) ： ：旦e x p ( 一二丑)( 1 2 2 ) 當(dāng)r 專0 時，c ( ，) = 2 d s ( a t ) ，色噪聲回歸為白噪聲 3 s - 4 0 。圖1 1 是用數(shù)值模擬得 到的一個色噪聲樣本。 圖1 i 色噪聲的一個樣本 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 噪聲又可分為高斯和非高斯兩種情況，一方面高斯噪聲集平穩(wěn)、高斯、馬爾可 夫性等統(tǒng)計性于一身，數(shù)學(xué)上處理起來比較容易；另一方面，大數(shù)定理又使得高斯 噪聲是許多實際問題中的漲落的有效近似。其高斯噪聲的高階矩滿足： = 【c ( ， 一t h ) c ( r k 。一t k ) 1 ， = 0 。 在這里，噪聲是人們對自然界中所有物理量的漲落的一個通俗而形象的叫 法，不僅僅是指我們?nèi)粘Ｓ谜Z中的“噪音”。以上對噪聲的分類以及噪聲統(tǒng)計性 質(zhì)的不同數(shù)學(xué)描述，是人們對各種實際物理系統(tǒng)中噪聲理想化的理論抽象，它 們只是在一定程度上描述了噪聲的實際物理狀態(tài)。這樣做的目的，是為了便于 理論上對噪聲的定量分析與計算。隨著人們對噪聲研究的進(jìn)一步深入，將會有 更多理想化形式的噪聲被引入到各種物理系統(tǒng)。 1 3 噪聲間的關(guān)聯(lián) 整個自然界之所以多姿多彩，正是由于它們之間都有著一定的聯(lián)系；人類社會 之所以走向文明，正是因為人與人之間存在相互作用。人類認(rèn)識自然的過程，也就 是人與自然的相互作用的過程。否則這個世界就是一個不可認(rèn)知的“謎”。因此， 自然界中引起漲落的各種噪聲源之間也必然會存在著一定的關(guān)聯(lián)。 在過去，有不少的工作為了簡單起見。認(rèn)為各個噪聲源問沒有關(guān)聯(lián)【“。f o x 和 r o y 4 2 1 研究了量子噪聲和泵噪聲問沒有關(guān)聯(lián)時的光強(qiáng)漲落，并得到一個新的朗之萬方 程，即現(xiàn)在普遍使用的單模激光光強(qiáng)的l a n g e v i n 方程。但是，自然界中的同一系統(tǒng) 或同一過程的不同噪聲源之間必然存在某種形式的關(guān)聯(lián)。基于這樣的考慮，1 9 9 1 年， f u l i n s k i 等人提出在某些情況下，兩個噪聲之間可以存在關(guān)聯(lián)1 4 3 1 。隨后，許多研究者 研究了噪聲間存在關(guān)聯(lián)時的情況，而且這些結(jié)果進(jìn)一步與實驗相符m “l(fā) 。1 9 9 3 年和 1 9 9 5 年，朱世群m 、曹力和吳大進(jìn)等人l 勰】把f u l i n s k i 等人的工作推廣到單模激光中， 并分別研究了加性和乘性噪聲之間的關(guān)聯(lián)對激光光強(qiáng)定態(tài)性質(zhì)和瞬態(tài)行為的影響。 龍全等人對單模激光和雙模激光中的噪聲關(guān)聯(lián)作了深入的研究1 4 9 - 5 2 】。1 9 9 5 年， m a d u r e i r a 等人【5 3 i 在關(guān)聯(lián)加性和乘性噪聲驅(qū)動的雙穩(wěn)系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了“巨抑制”現(xiàn)象。 z h o u 等人巧4 】考慮了量子噪聲的實部與虛部問的關(guān)聯(lián)，吸引了許多研究者在這方面作 了大量的工作1 5 5 ?？碌热? 5 考慮量子噪聲的實部和虛部間的關(guān)聯(lián)，得到的光強(qiáng)朗 4 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 之萬方程在a 。= 寺時，與f o x 和r o 產(chǎn)2 1 等得到的結(jié)果完全一致，并且揭示了激光的 z 鎖相正是由于量子噪聲的實部與虛部間的關(guān)聯(lián)所致。1 9 9 7 年，賈亞等人【5 8 1 在研究一 個雙穩(wěn)系統(tǒng)時，在相互關(guān)聯(lián)的加性和乘性噪聲作用下，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)出現(xiàn)了重復(fù)相變。 自從1 9 8 1 年首次發(fā)現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象以來 5 9 1 ，隨機(jī)共振現(xiàn)象一直以來成為人們研 究隨機(jī)動力學(xué)系統(tǒng)的重要課題。1 9 9 8 年和2 0 0 0 年，t e s s o n e j 和w i o s 將噪聲間 的關(guān)聯(lián)引入到對雙穩(wěn)系統(tǒng)中隨機(jī)共振的研究，發(fā)現(xiàn)了信噪比對噪聲強(qiáng)度的“頑固性” 6 0 “】。2 0 0 0 年和2 0 0 1 年，賈亞等人研究了分別由相互關(guān)聯(lián)的加性和乘性白噪聲和由 相互關(guān)聯(lián)的加性和乘性色噪聲驅(qū)動的雙穩(wěn)系統(tǒng)中的隨機(jī)共振現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了雙峰形式 的隨機(jī)共振 6 2 - 6 3 1 。在2 0 0 2 年和2 0 0 3 年，我們也研究了許多由相互關(guān)聯(lián)的加性和乘 性噪聲產(chǎn)生的隨機(jī)共振現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)了單峰形式和多峰形式的隨機(jī)共振 6 4 - 6 5 1 。在后面 的章節(jié)，我們還將詳細(xì)地介紹我們的工作。 下面我們將簡要介紹噪聲間的各種關(guān)聯(lián)形式。 1 9 9 1 年，f u l i n s k i 等人m l 提出了兩個白噪聲孝( f ) 和7 7 ( f ) 問的占函數(shù)關(guān)聯(lián)，即白關(guān) 聯(lián)形式，其統(tǒng)計性質(zhì)為 = 0 ：! 簍黧= 夠( f - s ) (131)2ds(y 2 2 0 ，s ) = = t - s ) 、7 y 2 l ( f ，s ) = = y 。2 0 ，s ) = = 2 2 1d 廁8 ( t s ) 其中旯為噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，這里是個常數(shù)。 1 9 9 6 年，魏雪勤等人陋1 提出了兩個色噪聲善( f ) 和r l ( t ) 間的e 指數(shù)關(guān)聯(lián)，即色關(guān) 聯(lián)形式，其統(tǒng)計性質(zhì)為 = = 0 ( f ，f ，) ： ：壘唧( 一生型) f il i 繼，f ，) ： = o e x p ( 一生1 ) ( 1 捌 r 2r 2 如以即硝撕m 。華唧c 一訾， 其中旯為噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，這里為常數(shù)。 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 ；= = ；= = = = = = = = = = = = = = ；= ；= = ；= = = ；= = = ；一一 1 9 9 7 年，賈亞等人【6 7 】提出了兩個白噪聲孝( f ) 和叩( f ) 間的e 指數(shù)關(guān)聯(lián)，即色關(guān)聯(lián) 形式，其統(tǒng)計性質(zhì)為 = = 0 n l ( ，s ) = = 2 q s ( t s ) y 2 2 ( f ，s ) 2 = 2 d ( 5 ( t s ) ( 1 3 3 ) 訛。) ： 似( 。) 扣桃。) ： ：坐亙e x p ( _ 幽) fr 其中a 為噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度，這里也是個常數(shù)。 1 9 9 8 年，t e s s o n e j 和w i o s 6 0 l 提出了兩個白噪聲毒( f ) 和r ( t ) 間含時關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的 占函數(shù)關(guān)聯(lián)，其統(tǒng)計性質(zhì)為 = = 0 y l l ( f ，5 ) = - - - - 2 q 6 ( t s ) 以f ，s ) ： ：2 d 6 ( t j ) ( 1 3 4 ) ，：。( ，j ) = = ，。：( ，s ) = = 2 五“) 五匹謗( f s ) 這里噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度不再為常數(shù)。t c s s o n e j 和w i o s 假設(shè)它的形式為 兄( f ) = 旯oc o s o t( 1 3 5 ) 2 0 0 0 年，t e s s o n e j 和、i o s t 6 1 】又給它加了一個初始相位西，成為 a ( f ) = 九c o s ( o t + 妒( 1 3 ，6 ) 至于兩個噪聲之間為什么要取這些關(guān)聯(lián)形式，各類文獻(xiàn)中都沒有從物理意義上 去定量的解釋，或者從數(shù)學(xué)上進(jìn)行嚴(yán)密的證明。每種關(guān)聯(lián)形式的給出都是一種假設(shè)， 而且根據(jù)研究的必要性，我們還可以提出新的恰當(dāng)?shù)年P(guān)聯(lián)形式。這些假設(shè)的關(guān)聯(lián)形 式的正確性只能由從它導(dǎo)出的理論結(jié)果與實驗結(jié)果是否相符來判斷。這就如同量子 力學(xué)的五個基本假設(shè)的正確性，是由于從它導(dǎo)出的所有微觀量子效應(yīng)與實驗相一致 的結(jié)果。 1 4 逃逸問題和平均第一通過時間 逃逸問題是研究系統(tǒng)從束縛區(qū)( 穩(wěn)定區(qū)) 進(jìn)入逃逸區(qū)( 不穩(wěn)定區(qū)) 的性質(zhì)和規(guī) 律。例如，一個具有大的電阻阻尼的電路系統(tǒng)，設(shè)x 表示電壓，表示臨界值，t 表 6 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 = = = = = 2 = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一： 示穩(wěn)定值。當(dāng)初始電壓小于臨界值x 。，系統(tǒng)會自動穩(wěn)定到x 。的定態(tài)，但一旦某種原 因使某一時刻的電壓超過臨界值五，系統(tǒng)會逃逸出束縛區(qū)。也就是說，電壓會由于 某種正反饋機(jī)制進(jìn)一步放大，直至器件被燒毀。這時氣就是使電路系統(tǒng)正常運(yùn)行的 最大電壓。這里所說的“某種原因”主要指的是系統(tǒng)受到的不可避免的噪聲。我們 感興趣的是，當(dāng)不存在大的宏觀外力時，系統(tǒng)由于受到不可避免的噪聲作用而產(chǎn)生 的逃逸。盡管隨機(jī)力的強(qiáng)度很小，但它仍然可以引起各類穩(wěn)定系統(tǒng)的崩潰。所以， 研究系統(tǒng)的逃逸問題對于估計系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于根據(jù)實際需要來設(shè)計系統(tǒng)，有著 重要的意義【9 】。 所謂平均第一通過時間是指系統(tǒng)的某一物理量在噪聲的驅(qū)動下第一次到達(dá)邊界 的統(tǒng)計平均時間，一般簡寫為m f p t 。它是描寫隨機(jī)系統(tǒng)的一個重要特征量之一。 在一般的文獻(xiàn)中( 噪聲強(qiáng)度很小的情況下) ，人們常把平均第一通過時間的倒數(shù)定義 為逃逸率【9 l 。因此，對逃逸問題的研究和對平均第一通過時間的研究密切相關(guān)。由于 對逃逸問題的研究，平均第一通過時間( m f p t ) 很早就引起了人們的觀注。1 9 4 3 年，c h a n d r a s e k h e r 6 s l 曾用m f p t 的幾率分布估計過逃逸率。1 9 4 5 年，u h l e n b v e c k 等 人】研究過具有初速度的布朗粒子的m f p t 幾率分布。先前人們主要研究馬爾可夫 過程。近年來，人們的目光又轉(zhuǎn)向非馬爾可夫過程。1 9 8 1 年，h a n g g i 等人【7 0 】提出了 用廣義的的主方程描述離散的非馬爾可夫過程的m f p t 理論。1 9 8 5 年，h a n g g i t 7 i 】 提出了“退耦合假設(shè)”計算m f p t ，接著又討論了雙態(tài)噪聲及純擴(kuò)散條件下的 m f p t 【7 2 ；同年，s a n c h o 也討論了雙態(tài)噪聲系統(tǒng)的m f p t 問題，得到維雙態(tài)線性 噪聲系統(tǒng)的m f p t 的精確公式【7 3 】。1 9 8 6 年，f o x 7 4 】采用泛函與路徑積分方法，得到 了近似的f p e ，無須作h a n g g i 假設(shè)，m f p t 的理論結(jié)果和實驗結(jié)果相符。接著，f o x 把m f p t 理論用來處理激光中的噪聲【7 5 】。m a s o l i v e r 等人討論了高斯色噪聲情況 下的m f p t ，并且指出了h a n g g i 的假設(shè)和f o x 的結(jié)果都是他們的特定近似。s a n c h o 等【77 j 通過投影算子方法，借助于記憶核的向后方程，直接得到m f p t 的形式方程， m f p t 也可用奇異微擾方法進(jìn)行研究。1 9 8 8 年，曹力等人運(yùn)用投影算子技術(shù)到處了 平方o u 噪聲驅(qū)動的單變量系統(tǒng)的m f p t 方程，并得到了近似解【颶】。1 9 8 9 年，刁操 政等人對內(nèi)外噪聲同時驅(qū)動下的m f p t 問題進(jìn)行了研究，推動了m f p t 的近似公式， 并對所得的結(jié)果進(jìn)行了推廣和應(yīng)用【7 ”。進(jìn)入九十年代，提出了許多解決非馬爾可夫 情況下m f p t 問題的新方法和新技巧。例如，插值法【8 0 】，統(tǒng)一色噪聲展開川，統(tǒng)一 華中科技大學(xué)碩士學(xué)位論文 展開理論瞰】等。 平均第一通過時間的計算，不僅是解決逃逸問題的基礎(chǔ)，也是分析隨機(jī)共振現(xiàn) 象的關(guān)鍵問題之一。因此，在這里簡單介紹一下最基本的計算平均第一通過時間的 方法【3 8 】。 以噪聲驅(qū)動的一維系統(tǒng)在齊次過程的情況為例，假定粒子在區(qū)間( a , b ) 中，并 且時刻f _ 0 的初始位置是j ，口和6 兩點設(shè)定為兩個吸收壁。因此，粒子時刻r 仍然 在區(qū)間( 口。b ) 中的概率為 r j d ( j ，杠。逑= g “，) 0 4 1 ) 假定粒子離開區(qū)間( a , b ) 的時刻是，則( 1 4 i ) 式可寫成 p r 。6 仃f ) = 從工，忙。皿0 4 ，2 ) 這意味著g ( x ，