大連理工大學碩士學位論文 摘要 隨著科學技術的發(fā)展，傳統(tǒng)的實體金屬材料己運不能滿足工程需要，人們對新材料 提出了更高的要求：輕質(zhì)、強韌且兼具多功能性。為實現(xiàn)這目標，力學家們通過控制 材料微結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了多種構(gòu)型耨顆的結(jié)構(gòu)化材料，如蜂窩、泡沫、類桁架材料等。這些材 料由于其卓越的比力學性能，能夠在保證力學性能的前提下有效降低結(jié)構(gòu)重量，并且易 于實現(xiàn)多功能要求，因而受到了科學界和工程界的廣泛關注和青睞。 本文的研究對象是具有周期性微結(jié)構(gòu)的超輕質(zhì)材料。微結(jié)構(gòu)的周期性給這類材料的 性能預測帶來了很大方便，其中有代表性的方法包括均勻化理論和代表體元法，但如果 考慮到材料在制造和使用過程中可能產(chǎn)生的隨機缺陷，等效性能的求解往往非常耗時， 如何高效預澳0 其等效性能是一個亟待解決的問題；微結(jié)構(gòu)的存在同時也增加了由這類材 料所構(gòu)成結(jié)構(gòu)的彈塑性分析難度，復雜的內(nèi)部構(gòu)形需要投入更多的分析時間和計算資 源，因此發(fā)展快速等效求解方法是非常必要的，尤其當作為優(yōu)化可靠度求解的分析工具 時，這一器求顯得尤為突出；另一方亟，現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)，材料協(xié)同優(yōu)化方法得到的微結(jié)構(gòu)結(jié) 果在宏觀上往往點點相異，這給實際制造帶來了一定困難，有必要發(fā)展考慮制造性的協(xié) 同優(yōu)化方法。針對以上這些問題，本文將主要討論以下三部分內(nèi)容： 1 對于隨機性材料等效性能預測問題，本文采用蒙特卡洛模擬方法，從數(shù)值的角 度比較了不同的邊界條件對預測結(jié)果的影響，討論了其中的尺度效應和對胞元選擇的依 賴性。為了提高d i r i c h j e t 邊界條件下的計算效率和改善結(jié)果精度，本文提出了考慮內(nèi)部 胞元能量等效的代表體元法。該方法能夠有效削弱邊界條件和胞元選擇的影響，實現(xiàn)了 采用較小代表體元得到更好結(jié)果的目的。 2 對于由類桁架材料構(gòu)成結(jié)構(gòu)的彈塑性分析，本文考慮到材料單脆近似為桁架的特 點，基于數(shù)值均勻化理論，建立了宏微觀兩級求解格式。原閥題轉(zhuǎn)化為宏觀上一個非線 性彈性連續(xù)體計算問題和微觀上多個小規(guī)模桁架系統(tǒng)的彈塑性計算問題，從而在保證精 度的前提下有效提高了計算效率。 3 對于結(jié)構(gòu)材料一體化設計，針對現(xiàn)有結(jié)果給制造帶來的困難，本文提出了以均 一微結(jié)構(gòu)為前提的多孔材料與結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化方案。采用拓撲優(yōu)化技術，微結(jié)構(gòu)不再局 限為特定構(gòu)形；在兩個尺度上獨立定義單元密度為設計變量，分別引入了s i m p 和p 觸皿 方法對密度進行懲罰，并集成到一個優(yōu)化模型中進行協(xié)同設計。以此為極限值，我們還 提出了基于子結(jié)構(gòu)的兩級協(xié)同優(yōu)化方案，并討論了其在制造上的優(yōu)勢及尺度效應。 關鍵詞：超輕材料：微結(jié)構(gòu)；均勻化：代表體元法；拓撲優(yōu)化 大連理工大學碩士學位論文 m e c h 鋤i c a lp e 如珊a i l c ea i l dc o n c u 玎e n to p t i m i z a t i o no f u l 仃a - l i g h t m a t e r i a la l l ds 仃u c l u r e a b s n a c t a st h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i 鋤c e 蚰dt e c h n o i o g y ，c o n v e n t i o i l a ls o l i dm e t a l sh a v e b e c o m ei n a d e q u 啦t os a t i s 母t h en d so fp e a c t i c a la p p l i c a t i o n s p e o p l ea r ec o n 砌n t l y s e e k i n gn e wm a t e r i a l sw i ms o m ef a s c i n a t i n gp r o p e n i e s ：i i g h 匕s t i f f 蚴dm u l t i m n c t i o n a l t o a c h i e v em i sg o a l ，m e c h 卸j c sr e s e a r c h e f sm l v ed e v e l o p e ds e v e r a ii n n o v a t i v es h 咖r e d m a t e 曲l sb yc o n t r 0 1 1 i n gm ec o n f i g u r a t i o no fm 嘶r i a lm i c r o s t r u c t i i r e s ，i n c i u d i n gh o n e y c o m b ， f o 鋤鋤d u s s - l i k cm a 鈀r i aj t h e m a t e r i a i sa 他v e r yp r o m i s i n gf o rt l l e rs u p e r i o rm e c h 蛐i c a l p r o p e n i e s 蛐dm u l t i f i i n c t i o n a lc 印a b i l i t i e s t h cu l t r a 一1 i g h tm a t e r i a l si n v e s t i g 如dh e r e i na l lh a v ep c r i o d i cm l c r o s 臼1 i c t u r c s t h e e x i s t e n c eo fm i c r o 曲m c t i i r e0 no n eh 卸dm a i ( e si t v e r yc o n v e n i e n tt 0p 嘴d i c tm 砒一a l p m p e r t i e s ，f o rw h i c h ，h o m o g e n i z a t i o nt h e o r ya n dr e p r e s e n t a t i v ev o l u m ee l e m e n t ( r v e ) m e t h o da r et 、v om a i n s 訂e a mm e t h o d s b u ti fw et a k ei n t oa c c o u n tm n d o mi m d e r f e c t i o n s i n d u c e dd i l r i n gm a n u f k t i l r i n gp r o c e s s 鋤ds u b s e q u e n tp r t i c a la p p l i c a t i o n s ，t h ep d i c t i o no f e q u i v a l e n tp r 0 剛i e sc o u l db e c o m ev e r yt i m e - c o n s 啪i n g f o rn i i sr e a s o n ，m e r ei si r n e r e s ti n f _ m d i n gan e wm e t h o d o l o g yw h i c h 1 1 i b i t sm o r ce f f i c i e n c yo v e rt r a d i t i o n a lo n e s o n 廿l ed t h e r h a i l d ，h a w e v e r ，t h ee x i s t e n c eo fm i c r o s 砸l c t i l r ea l s oj n c r e a t h ed i 伍c u l t yo fe l a 咖- p l a s t i c a n a l y s i so f s 饑l c t u r e sc o n s t n l c t e do f u l 廿a l i g l l tm a t e r i a i s ，s i n c ec o m p l e xi n t e m a lc o n f i g 哪t i o n r e q u i r e sm u c hm o r ct i m ea n dc o m p u t i n gr c s o u r c e s s oi ti so fg r c a ti m p o n a n c et 0d e v e l a pa m o r ee f f i c i e n t 鋤a l ”i c a ja l g o r i t | l m ，e s p e c i a 兒yi nt h ec a s ct 1 1 a tm i s a n a i y s i si sf o ro p t i m i z a t i o n r e l i a b i l n ys o l u t i o n i n 廿1 ea s p e c t0 f 咖咖r e ，m a t 嘶a lc o n c u h _ e n to 螄m i z a t i o l l ，e x i s t i n g m c n i o d sa l w a y sl e a dt 0n o n u n i f 0 硼m i c r o s t n l c t u r e si nt h em a c r 0 一s c a i e ，w h i c h 口o s e s i n s u h l l o u i l t a b l em 蛐u f a c t u r i n gd i c u l t i e s t h u si ti sd e s i r a b l et oh a v ea c o n c u h n t o p t i m i z a t i o ns c h e m ec o n s i d e r i n gm a n u f 弛r i n gf a c t o r s a d d r e s s i n gt h e s ep r o b i e m s ，廿1 es t i l d y o f t l l i st h e s i sc a nb ed i v i d e di n t om m em a i np a r t s ： 1 i np r e d i c t i n ge q u i v a l e n tp r o p e 州e so fm a t c r i a l sw i t hi m p c r f c c t i o n s ，m o n t cc a r l o s i m u l a t i o ni sa d o p t e db a s e do nt h eh o m o g c n i z a 廿o nt h e o r y 鋤dt l l er 印r e s e n 詛t i v ev o l u m e e 1 e m 朋tm 鋤o d w eh a v ec o m p a r c dd i f f b r e n tb o u n 出【r yc o n d i t i o n s ，a n dd i s c u s s e d 曲es i z c e 仃e c t 鋤dt i l ei n f l u c n c eo f d i 療宅r e n tc e l ls e l e c t o i l s t oi m p r o v et h ce f f i c i e | 1 c yo f c o m p u 扭t i o n a n dr e f i n et h ef e s u l t su n d c rd i r i c h l e tb o u i l d a r yc o n d i t i o n ，i ti s p r o p o dar e p r e s e n t a t i v e v o l u m ee l e m e n tc o m p u t a t i o nb a s e do n 鋤e r 盱e q u i v a l e n c eo f i n n e rc e l l s ，a 1 1 dt l i e m f o r eb e 釷e r r e s u i t sc o u l db ea c h i e v e dw n r e l a t i v e l ys m a l l e rr v e - l - 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 2 f o r 恤ee l a s t 0 - p l a s t i ca n a l y s i so fs n l l c t l l r e sc o m p o s e do ft 九j s s - i i k em 懈i a l s ，w ef i r s t s i m p l 酊t h eu n i tc e l la sat f l l s sm o d e l ，a l l dt i l e np r e n tat v v o s c a i e 柚a l 弘i sb 毯e d 曲t h e n u m e r i c a lh o m q g c n i z a t j o n t h eo r i g i n a lp m b l e mi st h e r c b y 缸a n s f o n n e dt 0t w oi n t e 曲o l a t e d p r o b i e m si nt w os c a l e s ：an d n l i n e 盯e l a s t i cc o n t i n u 姍c o m p u 洲o ni nm a c r o s c a l e 鋤ds e v e m i e l a s t o _ p i a 鰣c 柚a l y s e so fs m a l l s c “et n l s ss y s t e m si nm i c 階s c a j e n ep r o p o s e dm e 甘l o di s v e r j f j e dt oh a v et h e 觀m ed r e c i s i o nb u ti e s su s e dt i m e 3 t oa d d r e s st h em a n u 蠡c 州n gd i 炳c u l t yj ne x i s t i n gs t r u c t u r e m a t c r i a lo p t i m i z a t i o n ， 廿l i st h e s i sp r e s e n t san e wc o n c u r 坤n tt o p o l o g yo p t i m j z a t i o ns c h e m et os i m u l t 如e o u s l ya c h i e v e t h eo p t i m u ms 仃u c t u r ca l l do 州m u mm a c e r i a im j c r o s t n l c t i l r e m i c m s t m c t u r ei sa s s u m e dt ob e u n i f b r mi nm r o - s c a l et om e c tm 8 n u f a c m r i gr c q u j r e m 即t s d e s i g nv a r i a b k sj nb o t l ls c a l e s a f e i n d q n d t l y d e 矗n e d 柚d 廿l e n i n t c 掣a t e di n t o o n e 科s t e mw i t ht h eh e j po f h o m o g e n i 翻t i o nt h e o r y p e n a l i 刪o na 阿i r o h e sa r ca d o p t e di nb o 也s c a l e st 0 s u r cc l 哪 t o p o l o g i e s ，i e s i m p ( s o i i di s 酏p i cm a t e r i a lw 汕p e l l a i i z 砒i o n ) i nm i c r o s c a l e 卸dn 鐮伊 ( p o r o u sa n i s 0 仃0 p i cm a t e 嗽1w i t hp e n a l i z a t i o n ) i n1 t l a c r 伊s c a l e f u r l l l e r ，i ti s p r o p o s e d a t l o t l l e rc o n c u n n to p t i i i l i z a t i o ns c h e m eb 酗e do ns u b s 訊l c t u r e 1 h es i z ee 任b c t 躕da d v a 曲髓s 魎rm 鞠硝k 札砘瞎8 r ed i s d k e yw o r d s ：功t 啊_ l i g h tm a t e r i a l ；m i c m s t m c t l i r e ；h o m o g e n i z a t i o n ；r e p r 舔e n t 娟v e v o l u m ee i e m e n t ；t o p o l o g yo p t i m i z 魚戧o n - i v 獨創(chuàng)性說明 作者鄭重聲明：本碩士學位論文是我個人在導師指導下進行的研究工 作及取得研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得大連理 工大學或者其他單位的學位或證書所使用過的材料。與我一同工作的同志 對本研究所做的貢獻均已在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 作者簽名：型l 蘭全日期： j 州68 大連理工大學碩士研究生學位論文 大連理工大學學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學位論文作者及指導教師完全了解“大連理工大學碩士、博士學位論文版權(quán)使用 規(guī)定”，同意大連理工大學保留并向國家有關部門或機構(gòu)送交學位論文的復印件和電子 版。允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大連理工大學可以將本學位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編學位論 文。 作者簽名： 導師簽名： ；磁年l 月量日 大連理工丈學碩士學位論文 引言 0 1 課題背景 隨著科學技術的發(fā)展，傳統(tǒng)的實體金屬材料已經(jīng)遠不能滿足工程應用的需要，人們 對于新材料提出了更高的要求：輕質(zhì)，強韌，且兼有多功能性。為實現(xiàn)這一目的，一種 途徑當然是通過材料、化學、物理等技術手段進行合成制造，但也存在完全不同的技術 路線。這就是，沿用傳統(tǒng)的金屬材料，通過控制材料的微結(jié)構(gòu)實現(xiàn)多種構(gòu)型新穎的結(jié)構(gòu) 化材料如纖維增強復合材料、顆粒增強復合材料、蜂窩、泡沫、類桁架材料等等。這 類材料通常具有輕質(zhì)，高比強度，高比剛度的優(yōu)越特性，并且易于實現(xiàn)多功能要求，因 而逐漸成為了力學、機械、材料等領域的研究熱點，在實際工程中的應用也越來越廣。 結(jié)構(gòu)化超輕材料通?？梢苑譃閮深悾阂活愂侨鐖Do 1 ( a ) 所示的泡沫材料，這類材 料的微結(jié)構(gòu)可分為開孔和閉孔兩大類，其尺寸和具體形狀在空間都是非常隨機的：另一 類的代表是圖0 1 ( b ) - ( d ) 所示的三種材料類型，它們所具有的共同特點是可以表征為某 種微結(jié)構(gòu)( 胞元) 在空間的周期性排布。這類具有周期性微結(jié)構(gòu)的材料也正是本文的主 要研究對象。 針對這里所列出的各種超輕材料，國內(nèi)外己經(jīng)發(fā)展了多種相對成熟的制各技術。以 類桁架材料為例，現(xiàn)有的工藝就包括規(guī)則鏤空板折疊、絲網(wǎng)編織、縫紉、p i n 辦法、打 孔板熱焊等等。隨著這些制造工藝的發(fā)展和完善，超輕材料的制造成本會快速下降，工 業(yè)應用前景也會越來越明朗。同時，這也為超輕材料優(yōu)化設計提供了有力保障。因為以 各種目標為前提的優(yōu)化設計結(jié)果，都必須借助一定的制造工藝才能得以實現(xiàn)，有了成熟 的制造工藝這個至關重要的橋梁，超輕材料微結(jié)構(gòu)的設計才更具實際意義。 超輕材料優(yōu)化設計的另外一個基礎，就是快速有效的分析方法。因為個優(yōu)化過程 往往包含幾十次甚至上百次的結(jié)構(gòu)分析，這是一個非常耗時的步驟。在分析上節(jié)省工作 量和耗時對于提升整個優(yōu)化過程的效率是非常有效益的。正因為此，材料等效力學性能 和多尺度計算的研究也始終是超輕材料研究領域的兩個熱點問題。 本文著重于從快速分析和協(xié)同優(yōu)化的角度研究具有周期性微結(jié)構(gòu)的超輕材料及其 構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，主要研究內(nèi)容包括： 1 考慮超輕材料在制造和使用過程中可能出現(xiàn)的各種隨機缺陷，對等效模量的預 測，提出了考慮內(nèi)部胞元能量等效的代表體元法。 2 。對于由類桁架材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，本文給出了快速等效的彈塑性計算格式。 3 提出了考慮均一微結(jié)構(gòu)構(gòu)型的超輕材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化設計方案。 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 ( c ) 回 圖0 1 四種超輕材料：( a ) 泡沫；( b ) 蜂窩：( c ) 類桁架材料：( d ) 線性蜂窩材料 f i g o 1f o i i r 托p r e s 曲t 鰣。船o f u l 仃小l i g t i tm a t 鰣a l s ： ( a ) f o 鋤；嘞h 0 | 1 e y c o m b ；( c ) t m s s 1 m em a t e 試；( d ) 陸e a r l l u l 盯m 越盯i a i o 2 超輕材料的等效力學性能 超輕材料的許多特點與它自身的微結(jié)構(gòu)形式有關，所以需要通過對于微結(jié)構(gòu)的分析 得到材料的等效性能，以方便超輕材料的評價和應用。這里我們將引入兩種主流的方法： 均勻化方法o m o g e n i z a t i o n ) 和代表體元法( r e p r e s e i i 切t i v ev o i u m ee l e m e n t ) 吐這兩種 方法同時也是本文重要的理論基礎和工具將在文中多次出現(xiàn)，我們將在第一章做專題 介紹。 均勻化方法是超輕材料宏細觀兩級分析中的一種主流方法。它基于小參數(shù)展開攝動 理論，具有很強數(shù)學背景，能有效預測具有周期性微結(jié)構(gòu)的材料的等效宏觀性能，計算 微觀尺度下的物理場【1 】，它還被應用到結(jié)構(gòu)優(yōu)化領域?qū)崿F(xiàn)了對于結(jié)構(gòu)拓撲形式的優(yōu)化1 3 ， ”，在材料微結(jié)構(gòu)設計方面也起者非常關鍵的作用口】。對于一般的均勻化方法。單胞尺 度被認為無限小，考慮單胞尺度的均勻化方法【6 】主要基于菲經(jīng)典連續(xù)體理論如偶應力、 c o s s e r a t 、應變增強、非局部效應等。 代表體元法是一類與均勻化理論相并存的方法，它基于能量等效的思想，由于其簡 單有效的特點得到了廣泛的應用【2 7 】。均勻化方法和代袁體元法在滿足協(xié)調(diào)條件下等效， 而在一般情況下則具有上下界逼近的規(guī)律口l 。 類桁架材料由于其拉壓為主的承載方式能夠獲得較好的力學性能【9 1 ，相對泡沫材料 o ?！扛蛹械馁|(zhì)量分布能夠獲得較好的抗失穩(wěn)能力，更加由于其規(guī)則高連通性和可設計 性使得其多功能性能夠得到更廣泛的發(fā)揮，因此成為近年來研究的一個熱點 1 i 】。a s h b v 、 大連理工大學碩士學位論文 h u t c h i n s o n 、g i b n 等學者分別研究了一定微結(jié)構(gòu)拓撲下類桁架材料的等效力學性能和 材料微結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化“。 在超輕材料制造和應用過程中，不可避免地會出現(xiàn)基體材料、微結(jié)構(gòu)拓撲和尺寸的 隨機性變化。此時等效性能的預測一般采用兩種處理辦法：一種方法基于隨機有限元f l4 1 ， 優(yōu)點是效率很高，缺點是隨機信息需要滿足連續(xù)型概率分布，如節(jié)點偏移等：另一種方 法基于蒙特卡洛模擬口”優(yōu)點是可以處理各種隨機信息，包括桿件缺失等離散型信息， 缺點是需要多次投點分析，非常耗時。本文將在第二章對應用后一種方法時邊界條件的 選取做進一步討論，并提出一種高效算法。 0 3 由超輕材料構(gòu)成結(jié)構(gòu)的力學分析 微結(jié)構(gòu)的存在使得由超輕材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)的性能分析變得更加困難。例如：由類桁 架材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)實際上是一個非常致密的網(wǎng)架，自由度數(shù)目很大，如果完全按空間桁 架計算會消耗相當多的計算資源和時間。而且，結(jié)構(gòu)優(yōu)化、材料設計和可靠度分析都以 結(jié)構(gòu)分析為前提，這些過程往往需要進行多次循環(huán)迭代，完全離散建模計算必然會極大 削弱求解的效率。因此，我們需要以高效精確的近似方法代替完全的結(jié)構(gòu)計算，于是多 尺度分析成為了超輕材料領域研究的又一個熱點。 對于超輕材料構(gòu)成結(jié)構(gòu)的近似彈性分析通常有兩個步驟：第一個步驟是獲取材料的 等效性能。由于材料微結(jié)構(gòu)是周期性分布的，可以通過均勻化方法等對胞元的分析得到 彈性模量和熱導系數(shù)等基本物理參數(shù)的宏觀等效值。第二個步驟是將系統(tǒng)視為由等效連 續(xù)介質(zhì)構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，并使用等效物理參數(shù)分析結(jié)構(gòu)性能。這種做法的優(yōu)點是計算量較小， 宏微觀之間只需要一次信息交換，在胞元尺寸相對結(jié)構(gòu)尺寸較小時可以得到非常理想的 結(jié)果。 但這種簡單的做法局限于線性問題，如果考慮彈塑性、穩(wěn)定性等非線性問題時，舞 要兩個尺度上更多的交互才能完成分析過程，這就需要進一步發(fā)展多尺度的計算方法。 事實上，相對于彈性性質(zhì)而言，材料和結(jié)構(gòu)彈塑性性能對于工程研究領域同樣非常重要。 因而在此方面，已經(jīng)有了很多工作。 對于桁架類材料所制成的結(jié)構(gòu)的彈塑性分析，一類辦法是先求出特定單胞的屈服曲 面i i ”，對于某些類型的連續(xù)體單胞可以考慮通過轉(zhuǎn)換場理論給出宏觀的數(shù)值本構(gòu)模型 “，根據(jù)得到的宏觀尺度本構(gòu)信息就可以直接進行宏觀分析。這類方法能夠提供直接的 宏觀計算，帶來的效率較高，但是往往對于單胞形式有定要求，且強化階段的預測比 較困難。 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 另類辦法是利用數(shù)學均勻化理論和不同的連續(xù)體彈塑性分析方法結(jié)合。文獻中提 出了幾種宏微觀兩級彈塑性分析的數(shù)值方法，其中比較有代表性的兩個工作是： 0 h 0 “”0 9 】對于具有隨機分布夾雜的非均質(zhì)材料，利用v o r o n o ic e l l 有限元方法和數(shù)學 均勻化方法得到了兩級分析求解格式；f i s h 剛針對纖維增強材料采用基于特征應變的彈 塑性分析方法進行求解，此方法對于一般意義上的單胞不具有普適性。t c m 血等認為采 用此類與數(shù)學均勻化結(jié)合的方法只是彈性問題使用增量形式后的推廣，具有很好的形式 但是未必能獲得可按受的結(jié)果叫l(wèi) 。 由于經(jīng)典的均勻化在計算非線性問題時的一些困難，針對這類問題發(fā)展了基于單胞 應力應變體積平均和周期性條件的數(shù)值均勻化方法。t e r a 如等人提出了基于數(shù)值均勻化 的彈塑性計算方法口”，并且討論了其并行計算的實現(xiàn)f 2 2 】，這種方法具備清晰的概念，對 于單胞形式?jīng)]有特殊的要求。類似的求解體系還被應用于求解兩級穩(wěn)定性分析的微單胞 失穩(wěn)模態(tài)問題【2 3 1 2 卯。h o h e 基于應變和能量的體積平均發(fā)展了類似的求解方法( 2 6 ，2 ”，并 應用于超輕材料的計算中。 基于數(shù)學均勻化和數(shù)值均勻化的多級求解方法共同存在的問題是口8 】：周期性假設： 單胞相對結(jié)構(gòu)尺寸必須很小；邊界上需要特殊的處理。而且，大多數(shù)此類方法的本質(zhì)實 際是在高斯點開窗的宏觀分析，宏微觀的信息通過這個媒介傳遞，并非是真正意義上的 多尺度分析方法【2 ”?；谶@些觀點，l a d e v e z e 【2 8 】對于時間相關的多尺度問題，采用了類 似子結(jié)構(gòu)的方法對全結(jié)構(gòu)進行分割，子結(jié)構(gòu)之間通過結(jié)合面的力和位移條件相聯(lián)系然 后結(jié)合宏微觀分離和其提出的l a t i n 迭代方法進行兩級求解。其主要缺點是需要迭代， 而且由于沒有引入近似，計算效率可能不高。 本文第三章主要針對類桁架材料，給出了精確高效的彈塑性求解格式。我們首先利 用類桁架材料基本構(gòu)件長細比較大的特點，將材料單胞簡化為桁架模型。然后考慮到微 單胞空間分布的周期性，基于數(shù)值均勻化理論提出了類桁架材料結(jié)構(gòu)的宏微觀兩級彈塑 性求解格式，從而使原問題轉(zhuǎn)化為宏觀上一個非線性彈性連續(xù)體計算問題和微觀上多個 小規(guī)模桁架系統(tǒng)的彈塑性計算問題。 0 4 超輕材料和結(jié)構(gòu)的優(yōu)化 多功能超輕材料具有強韌、抗沖擊、吸能、隔熱、吸音等優(yōu)異的綜合性能，在航空 航天、汽車等工程領域受到了廣泛的關注與青睞，也已經(jīng)有了一定工業(yè)應用。但是，超 輕材料更有效和更經(jīng)濟的使用仍然有賴于更先進的設計理念、設計思想和設計方法的提 出，這不僅包括單純的材料設計，更包括考慮結(jié)構(gòu)和材科相互影響的一體化設計，這就 是需求。另一方面，正如前面我們已經(jīng)提到的，成熟的制造手段已經(jīng)在一定程度上消除 大連理工大學碩士學位論文 了超輕材料設計結(jié)果實現(xiàn)上的障礙，而快速高效的多尺度分析方法進一步減少了我們在 數(shù)值實現(xiàn)上可能遇到的困難。從這兩方面來看，材料設計和結(jié)構(gòu)，材料一體化設計的研究 是非常必要的，也是有實用前景的。 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計問題大致可分為三類，即尺寸優(yōu)化，形狀優(yōu)化和拓撲優(yōu)化。相對于前 兩種優(yōu)化，拓撲優(yōu)化能從根本上改變結(jié)構(gòu)拓撲形式，能夠得到創(chuàng)新性的構(gòu)型，以目標函 數(shù)衡量往往更加優(yōu)越，更能體現(xiàn)真正意義上的最優(yōu)設計是初始設計階段的有力工具。 因此，拓撲優(yōu)化技術廣泛應用于結(jié)構(gòu)設計、材料設計和結(jié)構(gòu)材料一體化設計等領域。 現(xiàn)代拓撲優(yōu)化理論可以追溯到1 9 引年c h e n g 和o l h o f rp 1 關于實心板最小柔順性的 研究。在這項工作中，他們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)板具有無限細無限密的增強肋，并且引入了微結(jié)構(gòu) 的概念來描述這一現(xiàn)象。1 9 8 8 年，b e n s o e 和k i k u c h i 【4 沿用了微結(jié)構(gòu)的概念，引入均勻 化理論實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化。他們假設設計域是由無限多個中心具有孔洞的胞元構(gòu)成，孔洞 往往具有給定的幾何形式( 如方形) ，而大小則由一個或多個尺寸變量來描述。設定孔 洞的尺寸變量為設計變量，進而可以通過尺寸優(yōu)化在設計域上重新分配材料。具有較大 孔洞( 即較小材料密度) 的胞元在宏觀上被認為接近無材料，而具有較小孔洞( 即較大 材料密度) 的胞元在宏觀上被認為是構(gòu)成結(jié)構(gòu)的實體部分。 s i m p ( s o l i di s o 仃o p j cm a t c r i a lw i 也p a l i z a t i o n ) 是結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的另一種實現(xiàn)途徑。 它的優(yōu)點是概念簡單，實現(xiàn)相對容易。在實施s i m p 方法時，先將宏觀結(jié)構(gòu)劃分為單元， 優(yōu)化的目的是決定每一單元處的材料“有”和“無”。其實最直截了當?shù)霓k法是將材料 “有”“無”處理為離散設計變量“1 ”和“o ”，這就變成了o - l 規(guī)劃問題，這類問題 存在一定的求解困難。s i m p 方法選取單元相對密度為設計變量，允許相對密度在1 和 o 之間變化，在得到的優(yōu)化結(jié)果中，相對密度為“1 ”的單元被認為是宏觀上的實體部分， 而相對密度為“o ”的單元則是空心部分，從而將離散設計變量連續(xù)化。設計變量和力 學性能之間的關系則是通過指數(shù)懲罰來實現(xiàn)的。這一做法具有一定的人為成份但是簡單 易行，目前被廣泛應用于拓撲優(yōu)化問題的求解。 雖然拓撲優(yōu)化的價值很可觀，但是以上兩種實現(xiàn)方法仍然存在一定的問題，其中比 較常見的就是灰色區(qū)域的產(chǎn)生。在基于均勻化的方法中，灰色區(qū)域的胞元包含有中間尺 寸的孔洞。這非常像具有微結(jié)構(gòu)的超輕材料，但這里的微結(jié)構(gòu)是點點不一樣的，制造非 常困難。而對于s i m p 方法，灰色區(qū)域的單元具有非o 非l 的中間密度。我們可以從等 效彈性性能的意義出發(fā)，找到某些微結(jié)構(gòu)來對應這些中間密度。 以前，人們總是想得到清晰的”黑- 白”設計，于是提出了各種各樣的方法來避免灰色 區(qū)域的產(chǎn)生，常見的有密度懲罰d m 、周長約束1 3 1 】、過濾法等等。但隨著具有多孔特 征的超輕質(zhì)材料的深入研究和廣泛應用，傳統(tǒng)的實心材料結(jié)構(gòu)設計理念已經(jīng)不能滿足需 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 要，因此結(jié)構(gòu)，材料一體化設計逐漸成為了研究的熱點。區(qū)別于材料或結(jié)構(gòu)的獨立優(yōu)化， 結(jié)構(gòu)材料一體化優(yōu)化是一個兩尺度之間交互協(xié)調(diào)的過程，材料是最優(yōu)結(jié)構(gòu)下的最優(yōu)材 料，結(jié)構(gòu)是最優(yōu)材料下的最優(yōu)結(jié)構(gòu)。 在第四章，我們針對現(xiàn)有結(jié)構(gòu)材料一體化設計中材料微結(jié)構(gòu)宏觀非均勻性給制造帶 來的困難，提出了均一多孔材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同優(yōu)化方案。以此為極限值，我們還提出了 基于子結(jié)構(gòu)的兩級協(xié)同優(yōu)化以討論尺度效應并適應制造上的需要。 大連理工大學碩士學位論文 1 超輕材料的等效性能預測 類桁架材料，蜂窩材料，編織材料，纖維增強材料等新材料所具有的共同特點是可 以表征為如圖1 1 所示的某種微結(jié)構(gòu)( 胞元，c e l i ) 在空間的周期性排布。評價和比較 這類材料的等效性能往往需要對微觀尺度上代表體元( r v e ，r e 甜e s e n 鈕t i v ev o l u m e e l e m e m ) 進行分析。其中，常用的兩種方法是：均勻化方法【1 ( h o m o g e n i z a t i o n m e t l l o d ) 和代表體元法【2 1 ( r v em e t h o d ) 。 本章首先將分別介紹兩種理論的基本思想和實現(xiàn)過程，然后我們將對二者的關系做 一些探討。這部分的內(nèi)容將是后面三章研究內(nèi)容的主要理論基礎和工具，也是第二章隨 機性材料等效模量研究的重要比對。 1 1 均勻化理論及其有限元實現(xiàn) 均勻化理論的基本思想如圖1 2 所示：物理場( x ) 可以分解成宏觀尺度上的個平 緩變化場和微觀尺度上的一個周期變化場的疊加。這里的場量在力學問題中就是位移 “，應力盯和應變占。通過這樣的分解，由微分控制方程導出的變分方程將自動分解成 兩個尺度上的耦合問題，從而實現(xiàn)了原問題的雙尺度求解。 下面給出均勻化應用于彈性力學問題的推導過程。對于由單胞周期性排布構(gòu)成的超 輕材料，設單胞尺度為f ( o s f 1 ) ，這是一個相對宏觀尺度很小的量。引入兩個尺度： 和y = s 來描述結(jié)構(gòu)宏細觀場變量的性質(zhì)，其中x 表示宏觀尺度，y 表示細觀尺度。以 q 表示材料實體部分，y 對應于個單胞，根據(jù)線彈性范圍內(nèi)的虛位移原理可得 上。等暴扣= l ，v n + e v f d r ( 1 1 ) 篇瓢 o - ， 矽 蕾掣姣礦一 藤_圈 一r 陌( c e m ：3 x 3 1 圖1 1 材料胞元，代表體元及其表征的材料 f 追1 1 a k i n d o f s 訂u c m r e d m a t e a i ：i 硌c e 鋤d r v e 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 圖1 2 攝動展開：均勻化的基本思想2 j f i g 1 2 a s y m p t 0 廿ce 印a 那i o n ：血e b 酆j c i d e a f b r h o m o 掣m j z a t i o n 這里假設單胞內(nèi)邊界上無面力作用。其中，z 為體積力，f ，表示作用在甜邊界r ，上的 外載荷，“為真實位移，v 為滿足位移邊界條件的虛位移， t f 1 ，2 ，3 。將位移展成 關于s 的漸近級數(shù)，從恧有 礦( x ) = “o ( 墨y ) + p “1 仁，) + s 2 2 ( 毛y ) + ( 1 2 ) v ( x ) = v o ( 薯y ) + 5 v 1 ( 工，y ) + 占2 v 2 ( y ) + - - ( 1 _ 3 ) 將式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 代入式( 1 1 ) ，考慮 魚嬖掣：萼華+ 三冬型v 州功叫w ) ( 1 4 ) 嬲 ， s 卻 同時利用周期性邊界條件，可以得到若干不同階次上的攝動方程。由這些攝動方程可知： 擴( y ) 與細觀尺度坐標y 無關，麗是具有等效材料性能的結(jié)構(gòu)在外力作用下的宏觀尺 度位移，因而可以表示成擴( 工) ，這個宏觀位移可以由下式確定 l 礙等魯拯一l zv d q 一丘扭= o ( 1 5 ) 這里的互_ ：，是等效彈性張量，可由下式求出 嘞= 參( 一籌卜 s ， 其中廣義位移函數(shù)彩，t ，p 1 ，2 ，3 ) 是下列問題的周期解 大連理工大學碩士學位論文 聯(lián)籌辦= 肛打 ， 至此，我們可以利用有限元技術求解( 1 7 ) 式，并將所得廣義位移函數(shù)z ：代入( 1 6 ) 式求 得等效彈性矩陣。 從( 1 6 ) 式可以看到，等效模量其實是由兩部分構(gòu)成的。第一部分是材料模量在胞元 上的體積平均，反映了胞元抵抗協(xié)同變形的能力。但是僅僅這部分的模量必然會高估等 效模量值，因為在強制協(xié)同變形作用和周期性邊界條件的限制下，胞元內(nèi)部可以發(fā)生變 形，這部分的變形會吸引部分的能量。所以在等效模量的求解中，有必要需要引入第二 部分和胞元內(nèi)部變形相關的項。 下面對兩個關鍵列式( 1 6 ) 和( ! 7 ) 進行有限元離散，給出均勻化求解的有限元列式。 與式( 1 8 ) 對應的方程是 k u = f b 7 - d 拶 ( 1 9 ) r 這里的k ，u 和b 均對應于胞元有限元離散后的全部自由度。u 是胞元的節(jié)點位移向量， b 是位移，應變轉(zhuǎn)換矩陣，d 是材料本構(gòu)矩陣，k 是胞元的總剛度矩陣，具體形式如 k = l b l - d b ( 1 1 0 ) ， 與式( 1 ，6 ) 對應的是下式，其中d “是等效模量矩陣，i 是單位矩陣。 艫2 南戶( 卜b - u ) 拶 ( 1 1 1 ) 在有限元實現(xiàn)中，周期性邊界條件可做如下處理( 圖1 3 ) ：四角點的位移耦合 相等，對邊對應節(jié)點和_ 位移分別耦合相等，內(nèi)部節(jié)點。位移獨立。注意到平面問題需 要約束三個自由度，位移耦合本身已經(jīng)約束了旋轉(zhuǎn)自由度，只需再約束平動自由度即可。 圖l j 3 周期性邊界冬件 f i g1 3p 剛o d i c 咖n d a r yc o n d i t i o n 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 1 2 代表體元法及其邊界條件 代表體元法分為兩個主要步驟： 1 首先從具有微結(jié)構(gòu)的材料中取出一定數(shù)量的胞元構(gòu)成代表體元( 如圖1 1 ) ，施 以特定的邊界條件求解其結(jié)構(gòu)響應。常用的邊界條件有： ( 1 ) 均勻應力( n e u m a n n ) 邊界條件：如圖1 4 ( a ) ，假設均勻應力；，則需要對代 表體元邊界施加力p 3 】 t = o x ，x a r ( 1 1 2 ) 其中勰代表代表體元邊界，這里均為張量表示。 ( 2 ) 均勻應變( d i r i c h l c t ) 邊界條件：如圖1 4 ( b ) ，假設均勻應交；，則需要對代表 體元邊界施加強制位移 u = x ，x 勰 ( 1 1 3 ) ( 3 ) 周期性( p e r i o d i c ) 邊界條件：對圖1 4 ( c ) 所示的代表體元，4 ，鳴和且，皿分 別代表兩組對邊上的對應節(jié)點。分三種情況施加邊界條件，其中s 是代表體元的邊長： ( 3 a ) 假設宏觀應變占，： v = v 日2 ，“口2 一i m = 乏s ，”_ i = “2 ，i = - 2( 1 1 4 ) 這里和”分別代表位移矢量u 的兩個分量。 ( 3 b ) 假設宏觀應交i ： 釓l = 2 ，叱l 一心2 = q j ，材塒= 日2 ，1 = 2( 1 1 5 ) ( 3 c ) 假設宏觀應變石：可以轉(zhuǎn)化為對應旋轉(zhuǎn)4 5 。的代表體元上一拉一壓兩個正交 宏觀應變。 i = h 2 ，l 一心2 = 島，2 占，l ：2 ，“引一“日2 = ，刪2 占 ( 1 1 6 ) 2 在應變能等效的意義下使研究的非均質(zhì)材料等效為均質(zhì)材料，進而利用式( 1 1 7 ) 確定其宏觀等效性能。其中c 為等效剛度張量，s 為等效柔度張量。 中= 卜：耐n = ；：c ：；= ；：s ：； r ( 1 1 7 ) 大連理工大學碩士學位論文 ( a )( b )( c ) 圖1 4 代表體元法的邊界條件 f i g 11 4b 伽岫d a r yc o n d i 廿o n sf b rr 、，em 甜1 0 d 1 3 兩種方法的討論 均勻化方法和代表體元法的實現(xiàn)都需要對代表體元施加一定的邊界條件：均勻化方 法是周期性邊界條件；代表體元法則包括周期性邊界條件，均勻應變( d i r i c h l e t ) 邊界 條件和均勻應力( n e u m a n n ) 邊界條件。均勻化方法和周期性邊界條件下代表體元法的 結(jié)果是一致的。 圖1 5 桁架單胞 f i g 1 5 1 h s s l i 考慮圖1 5 所示的桁架類型胞元，邊長取為1 o ，材料常數(shù)e = 1 o ，圖中兩根粗桿 面積取為0 0 5 ，其他桿件為0 0 1 。分別應用兩種方法，結(jié)果如圖1 6 所示。 鐘 算單十t x 雌 i 啊嘲趣再- 件列t 曩咒蛀用千菲對材辯 ” 拈i ：= ：稿 羹摹善 ob j 亨f 卜計 與什舞摹蠢十蠢i 一。砷 圖1 6 代表體元法的尺度效應8 】 f i g 1 6s c a l ee f f e ni 工ii v em e t l l o d 駕耕每靜 超輕質(zhì)材料和結(jié)構(gòu)的協(xié)同分析與優(yōu)化 從結(jié)果可以看到：代表體元法的預測結(jié)果呈現(xiàn)明顯的尺度效應，隨著參與計算的胞 元個數(shù)的增多，d i r i c h l e t 模量、n c u m 柚n 模量分別從上、下界逼近均勻化的結(jié)果。閻軍 等 8 】對此現(xiàn)象做出了理論上的解釋： u m 鋤邊界條件下的單胞邊界變形協(xié)調(diào)性或者d i r i c h l e t 邊界條件下的邊晃節(jié)點 力的平衡性，是產(chǎn)生尺度效應的本質(zhì)原因，可以作為產(chǎn)生尺度效應的簡單判據(jù)；并且這 種不協(xié)調(diào)性或者非平衡性越大。所得結(jié)果誤差也就越大。 以圖1 7 顯示的n e u m 粕n 邊界條件下的胞元為例。設想將這樣受力的單胞周期性 排列，相鄰單元邊界上的節(jié)點力自然平衡?，F(xiàn)在我們來考慮變形特征，變形圖中單胞左 邊界向左突出，右邊界向右突出，上邊界向下凹，下邊界向上凸。將這樣變形的單胞周 期性排列時，相鄰單胞的變形在邊界上必然出現(xiàn)裂隙或重迭而無法協(xié)調(diào)。因此n e u m a n n 模量的計算呈現(xiàn)明顯的尺度效應。進一步的數(shù)值分析顯示，隨著參與計算的單胞個數(shù)的 增加，邊界變形的不協(xié)調(diào)性得到改善，代表體元法剛度的計算結(jié)果從下界逼近均勻化結(jié) 果。 嬰日圖 圖1 7n c i l i i l n 邊界條件下的位移不協(xié)調(diào)吲 f i g 1 7 u n c o o r d 曲砷e dd e f o l t n a t i o n 瑚d e r n 即m 呦b o