摘要 本文在介紹含有幾何常數(shù)c 的擬賦范空間基本概念及強(qiáng)三角不等式的基礎(chǔ)上，對(duì)擬 賦范空間，的性質(zhì)、有限維擬賦范空間的性質(zhì)、擬b a n a c h 空間的性質(zhì)分別進(jìn)行分析討 論，在此基礎(chǔ)上研究了擬b a n a c h 空間中的最佳逼近問題，p 一角距的基本性質(zhì)及其上下 界不等式，以及擬召口玎口幽空間中心，y 映射的性質(zhì)和它所滿足的三角不等式結(jié)構(gòu)，并得到 擬賦范空間三角不等式的推廣，最后將擬b a n a c h 空間中的強(qiáng)三角不等式推廣到非阿范 數(shù)空間。 關(guān)鍵詞：擬b a n a c h 空間，擬范數(shù)，p 一角距，v 副映射，非阿范數(shù)空間 a b s t r a c t b a s e do nt h ep r i m a r yc o n c e p ti nq u a s i n o r m e ds p a c ea n dt h ep r o p e r t yo f p - n o r m e ds p a c e sa n df i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c ei nq u a s i n o r m e ds p a c e s ，t h i sp a p e r d i s c u s s e sa na p p r o x i m a t i o np r o b l e mi nq u a s i b a n a c hs p a c e s ，t h eu p p e ra n dl o w e r b o u n d sf o rt h ep - a n g u l a rd i s t a n c ei nq u a s i b a n a c hs p a c e ，a n dt h ep r o p e r t i e so f m a p p i n g 1 ，j ，i n q u a s i b a n a c hs p a c e s ，g e t t i n gt h ep r o m o t i o no f t r i a n g l e i n e q u a l i t yi nq u a s i b a n a c hs p a c e s i na d d i t i o n ，t h et r i a n g l e i n e q u a l i t yo f q u a s i b a n a c hs p a c ei se x t e n d e dt on o n a r c h i m e d e a nn o r m e ds p a c e k e y w o r d s ：q u a s i b a n a c hs p a c e s ，q u a s i n o r m ，p - a n g u l a rd i s t a n c e ， t h em a p p i n g ，x j ，n o n a r c h i m e d e a nn o r m e ds p a c e s 中山大學(xué)碩：e 學(xué)位論文 論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所 取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的作品成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確 方式標(biāo)明。本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 4 2 作者簽名：習(xí)印 2 0 1 0 年5 月 于中山大學(xué) 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論帚一旱殖化 1 9 2 0 年到1 9 2 2 年間s b a n a c h ，h h a h n ，e h e l l y 和n w i e n e r 等人開始了對(duì)賦范空 間理論的研究。隨著科學(xué)研究的不斷發(fā)展，產(chǎn)生了擬賦范空間的理論及對(duì)其的研究。由 于完備的擬賦范空間即擬b a n a c h 空間中存在幾何常數(shù)c ，對(duì)賦范空間的三角不等式及 逼近理論，還有p 一角距等理論產(chǎn)生影響，相關(guān)的理論也都得到了進(jìn)一步的推廣。本章首 先介紹擬賦范空間的概念和擬范數(shù)的連續(xù)性以及擬b a n a c h 空間的三角不等式，為后續(xù) 的研究分析提供基礎(chǔ)概念和理論依據(jù)。 1 1 擬賦范空間的概念及連續(xù)性 擬賦范空間及擬范數(shù)的概念最早是m p a v e l 和s r o l e w i z 于1 9 5 9 年在研究一類線 性度量空間性質(zhì)的基礎(chǔ)上，相對(duì)于范數(shù)的定義提出來的。下面我們?cè)诮榻B擬范數(shù)的連續(xù) 性之前，先介紹一下擬范數(shù)的定義。 定義1 1 1 1 設(shè)k 是實(shí)數(shù)域r 或復(fù)數(shù)域c ，x 是數(shù)域k 上的線性空間，若| j | | 是x 到r 的映射，且滿足下列條件： ( 1 ) 0 x l l o a x l l = 0 當(dāng)且僅當(dāng)x = o ，協(xié)x ( 2 ) 惻i = u 4 ，v x e x $ f l v a k ( 3 ) 存在c 1 ，使得忙+ 少i c l x l + c t y ，對(duì)所有毛y x 成立。 ( 3 ) 中的常數(shù)c 不依賴于x ，y ，則稱i i i l 為x 上的擬范數(shù)，而稱為x 的擬范數(shù)，這時(shí) 稱，) 為擬賦范線性空間。 明顯地，若c = 1 ，則( x ，| i | | ) 為賦范線性空間，一般地，擬范數(shù)刪不一定就是x 上 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 的范數(shù)。下面舉出擬賦范線性空間的例子： 例1 1 1 對(duì)于。p ，= ( _ ) 卜墨妻i = 1k i p l l - c l l x 。一u + c u y 。- y 。0 可知定理成立。 定理1 2 2 若( 置| | i | ) 是擬賦范空間，以一五，寸x o ，則九專缸o(hù) 。 證明：l l 觸。- x x i i = 0 觸。- l n x 。+ 九- x x 。0 c 。- 1 x 。0 + c 1 t , x 。- x x 。0 = c 陋一圳i i + c 川慨一0 因此， 當(dāng)厶專名，嶺時(shí)，有 h 而0 哼瓴| i o 得證。 另外，賦范空間中使用的序列收斂，開( 閉) 集、稠密和緊集等概念都可以在擬賦范空 間中推廣使用。 定義1 2 1 設(shè)x 是擬賦范空間，b 。) cx ，ex ，若! 到h x 。1 1 - - o ，則稱序列 依擬范數(shù)| i 1 l 收斂于，記為山。 在實(shí)數(shù)空間r 中，【口，a ji - n 連續(xù)函數(shù)一定有界并達(dá)到它的上下界，但在度量空間中， 有界閉集上的連續(xù)函數(shù)不一定能達(dá)到它的上下界，因此引入列緊性等概念，列緊性是 m f r e c h e t 在1 9 0 4 年發(fā)表在c o m p t e sr e n d u s 的論文引進(jìn)的。 定義1 2 2 設(shè)x 是擬賦范空間。f 為x 的子集，若f 的任何序列都有在x 中收斂 的子序列，則稱f 為相對(duì)列緊：若，為相對(duì)緊集，并且是閉的，則稱f 為列緊集。 此外，在擬賦范線性空間中，仍然用u ( ，) = x 肛一8 ，) 記為以為球心， 2 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 ，為半徑的開球，b b ( x o , r ) = xex l l l x - x o l l - ，) 記為以為球心，為半徑的閉球。 1 2 擬b a n a c h 空間的強(qiáng)三角不等式 三角不等式是一類重要的基本不等式，在b a n a c h 空間x 中存在三角不等式 i i x + y 1 - i i 爿t + u y f l ( x ，y 彳) 。后來，人們?cè)谘芯康倪^程中得到比忙+ j ，0 + ( 石，y x ) 更強(qiáng)的不等式，即如下的三角不等式，稱為強(qiáng)三角不等式： 定理1 2 1 設(shè)x 為b a n a c h 空間，任意非零元素x ，y x ，刪m i ，不等式： u x + y u + ( 2 一旆+ 神陟8 - i i x l l + l f y l f ( 1 2 1 ) 成立。 i i x + y l l + ( 2 一睜跏x u ( 1 2 2 ) 其中不等式( 1 2 1 ) 最早見于h u d z i k 和l a n d e s 的文章 1 3 ，不等式( 1 1 1 ) ， ( 1 2 2 ) 亦見于【1 4 j ， 挖ab a n a c h 空間中，f l j t - b a n a c h 空間的三角不等式肛+ y l + 惻i ( 毛y x ) 被 i i x + y 0 c i l x f l + c 陟f f ( x ，y x ) 代替，即出現(xiàn)了幾何常數(shù)c ( c 1 ) ，2 0 0 7 年吳聰在 4 中論證并得到如下強(qiáng)三角不等式： 定理1 2 2 1 4 擬b a n a c h 空間x 上的任意非零元素x ，j ，叫l(wèi) ，不等式： l i t + y l l + c ( 2 一鼯神刎 - i x l l + i l y l l 3 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 i l x + 小( 2 c 2 一睜蹄k i i 此外，關(guān)于擬腑辦空間x 上的一個(gè)擬范數(shù)| 1 i i 和p r ( o p 1 ) ，i i | | 滿足p 一三 角不等式忙+ 卅ps p + m l ，( x ，y x ) ，吳聰在 4 證明了如下擬勘”口c 辦空間上的強(qiáng)三 角不等式： 定理1 2 3 1 4 對(duì)擬砌以砌空間x 上的任意非零元素工，y ，0 y 0 ，不等式： o x + y o p + i l 爿i p + l l y o p 一( o x i l o y i | ) p l h 翥+ 蒯l ，o y 8 p + p 刮州+ 砷卜陟刪訓(xùn)_ i | 叫卜睜甜圳1 成立。其中p r ( o p 1 ) 。 4 第二章擬賦范空間的基本性質(zhì) 各類擬賦范空間具有一定的拓?fù)湫再|(zhì)，本章內(nèi)容對(duì)本研究涉及的常見的幾類擬賦范 空間，即，p 空間，有限維的擬賦范空間，擬鼢撇幽空間的基本性質(zhì)展開分析討論。 2 1 擬賦范空間j ，的基本性質(zhì) 在第一章中跏曾刪，關(guān)于乇= 卜枉墨妻i = i 矧p ，o p l ，它在擬范數(shù) 惻i = ( 善k l ，) ，下是擬賦范線性空間，下面我們以，。為例進(jìn)行證明。先介紹一個(gè)有用的 命題： 命題2 1 1 1 2 7 ：設(shè)孝，7 7 露，則i 善r + i 玎l(xiāng) ，到孝+ ，7i ，o f l 1 證明：當(dāng)勃= 0 時(shí)，l 孝f 夕+ fr f 多習(xí)孝+ 7 7f 聲，0 1 顯然成立。 當(dāng)勃o 吼因?yàn)榇б?，揣虬?l 刪柏揣熗揣+ 揣= ， 從而i 孝i 戶+ i ，7 f ，( f 善i + i ，7 | ) 戶到孝+ ，7 i ， 下面證明小h 薯眠釉； 0 在擬鍘悱c 釉分下是擬溉 證明：設(shè)石= ( 而，x 2 ) ，少= ，兒) | fx | | = ( | 而1 2 + ix 21 2 ) 2 = 而i + l 屯i + 2 ( i x ii 1x 2i ) i | | yl l = lmi + i 虼j + 2 ( 1 乃j | 兒d j i ix + y l l = t 而+ 少ii + i 而+ y 21 + 2 ( 1 毛+ 咒i 1x 2 + 夕21 ) j i 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 由上述的命題可知： 三三三三三三 lx l + y l1 2 篤x l1 2a t - ly l1 2 ，lx 2 + y 21 2qx 21 24 - iy 21 2 從而 2 i 而+ m1 2lx 2 + y 21 2 2 ( i 而1 2 + iy l1 2 ) ( ix 21 2 + ly 2i2 ) 又因?yàn)?所以 三三 2x l x 21 2 + ix li + ij ，2i + iy li + i x 2i + 2iy l y 2i 2 爿ixl l + l lyl l 三 i 而i + ix 2 罔毛i + ix 2i + 2 ( i 五l ix 2i ) 2 刊lx0 三 iy li + iy 2l 訇少1i + iy 2i + 2 ( iy li iy 21 ) 2 爿ij ，0 l lx + y 臨2 忪l l + 2l ly | i ，即c = 2 故z 爭(zhēng)= ( 葺) 卜k ，妻i = ll _ 戶 ) 在擬范數(shù)峙8 = c 妻i = l k 淳，2 下是擬范數(shù)。 對(duì)于擬賦范空間z p ，它具有很多的拓?fù)湫再|(zhì)，本節(jié)中針對(duì)，p 空間的有界性和連續(xù) 性展開討論，首先介紹線性拓?fù)淇臻g中的若干引理。 定義2 1 1 3 ：線性拓?fù)淇臻gx 有一個(gè)由凸鄰域組成的0 點(diǎn)的鄰域基，稱x 為局部凸 空間。 定義2 1 2 3 ：線性拓?fù)淇臻gx 有一個(gè)有界的0 點(diǎn)鄰域，稱x 局部有界。 引理2 1 1 3 ：一個(gè)非局部凸的線性度量空間，其中度量有界集與有界集是一致的。 引理2 1 2 3 ：矗專。并不蘊(yùn)涵去喜& 寸。的線性拓?fù)淇臻g。 對(duì)于引理2 1 2 ，如果x 是局部凸空間，x 且x n 。，則丟喜磁專。但是， 對(duì)于非局部凸空間而言，這一命題并不成立。 引理2 1 3 3 ：一個(gè)非局部凸空間，在它上面存在非零連續(xù)線性泛函。 對(duì)于= t 眠主1 = 1m p 小p 叱它在擬鍘m 釉下是 擬賦范線性空間，這個(gè)線性拓?fù)淇臻g局部有界但不是局部凸的，由上面的引理可得到關(guān) 于擬賦范空間lp 的如下性質(zhì)： 推論2 1 1 ：擬賦范空間，p 中，度量有界集與有界集是一致的。 證明：考慮滿足條件i i p o o 的切數(shù)列所成的線性空間， n = l 對(duì)于x = 瓴) ，y = 白。 ，定義d ( 溉 ，軔。) ) ：妻i 六一鞏l p 故擬賦范空間，p 為一非局部凸的線性度量空間。 下證，在空間，p ( 0 p 1 ) 中，集a 是有界的，當(dāng)且僅當(dāng)它是度量有界的。 開球隊(duì)d ，1 ) = 溉】| d ( d ，溉 ) 0 ，使得o p + 印 1 。 令x 。= ( 。，o ，古，。，) ，第，z 位為萬1 7 g 一p 、- 、 廣所 ，l c 、 ，一脅 d ，l u 一， 、， ，m i = 、，j d ，l u 一， ，c 、， 廠d ，- ， uc 彳 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 則而且一o ，即d ( ，。) = 萬1 專o 刀 另一方面，有吾喜以= 咕，i 1 了，i 1 萬，o ，0 ，) 因此，d 咕喜磁，d ) = 萬1 + 矛專i + + 矛七萬刀矛丟萬= 礦功j 佃 推論得證 推論2 1 3 ：擬賦范空間，中存在非零連續(xù)線性泛函。 好= h t 咄舶1 = ip 0 小p 是一個(gè)局黼心乍局部凸的擬 賦范空間，定義實(shí)值函數(shù)! 溉：專r ，! 溉) ! = i 六i p , o p 1 ，則坐標(biāo)泛函 n = l z ( 溉) ) = 點(diǎn)是非零連續(xù)線性泛函。 關(guān)于，口空間中的連續(xù)線性泛函，汪林和楊富春于2 0 0 0 年在 3 中討論f r e c h e t 空 間的性質(zhì)時(shí)，提出如下定理： 定理2 1 4 【3 】：擬賦范空間z p 包舍一個(gè)閉真子空間x ，使，p 上的任一連續(xù)線性泛函廠， 若廠在x 上為零，則它在，p 上亦為零。 在給出定理的證明之前，我們引入一個(gè)有用的引理及其推論： 引理2 1 4 【3 1 設(shè)x 是可分的局部有f r e c h e t 的空間( 1 s x 有有界的0 點(diǎn)鄰域) ，則對(duì) 某個(gè)p e ( 0 ，1 ) ，x 同構(gòu)于，口的一個(gè)商空間。 推論2 1 4 【3 】：對(duì)每一個(gè)p ( o 0 ，使得c l i l x l l 。：c ：。，則f 1 | 。和帆等價(jià)。 這個(gè)定義表明，具有相同維數(shù)的兩個(gè)有限維線性擬賦范空間在代數(shù)上是同構(gòu)的，在 拓?fù)渖鲜峭叩摹?由上面的定義可以得出如下推論： 推論2 2 1 擬賦范空間x 上的兩個(gè)擬范數(shù)i | 1 | 。和帆是彼此等價(jià)的，若對(duì)任何 x x ，l i x n4 專o ，當(dāng)且僅當(dāng)慨0 ：專。成立。 定理2 2 2有限維的擬賦范線性空間一定是擬b a n a c h 空間。 證明： 若往。) 為”維擬賦范線性空間( x ，i f i i )c a u c h y 列，則對(duì)于xh a m e l 基e 。， ，有石塒= 口， 由q ( 窆f q l ：) i 1 c ：( 之k l ：) i 1 ，可知耐m ，) 亦為c a u c h y 列， 故存在口f r ，使得口；“一口j ， 因此有口：( 口，) ，使得( 窆阿辨，一口fj 2 ) ；一。 令x = 叩，貝j j j l 工腳- x n l l = j 4 帕q 一j 仃 l 一 一 l f 窯l i j 暑l j 曩l i 窆i 口m ) _ a t m l l 0 9 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 窆i 口；m ) _ a i l 2 ) ；( 乳川2 ) 丟 ：m ( 窆口f m ) _ o ij 2 ) ；一o l i p i i x 冊(cè)一i i - 爭(zhēng)o ，因此缸歷) 是收斂序列，所以z 是完備的，即是擬b a n a c h 空間。 定理得證。 定義2 2 1 5 設(shè)x 為度量空間。f 是x 的子集。若f 的任何序列都有在x 中收斂 的子序列，則稱f 相對(duì)列緊：若f 相對(duì)列緊，并且是閉集，則稱，為列緊集，簡(jiǎn)稱緊集。 構(gòu)， 下面討論有限維擬賦范線性空間( x ，i i | | ) 中緊集與有界閉集的關(guān)系。 設(shè)p l ，口2 ，為( 彳，| j | | ) 的h a m e l 基，則對(duì)任意x x ，：f ix = 島 定義k “到x 的算子r ( 吼) = 口，吼，則存在c 0 ，c 2 0 ，使得： c ，( 羔蚶i ) ；愀) i | c ：( n 蚶i ) ； 從而丁是k ”到x 的連續(xù)算子，且是一一對(duì)應(yīng)的。 由c ( 窆k | 2 ) ；咿( ) 8 知丁一- 是x 到k 一的連續(xù)算子，因此r 是k 一到x 的拓?fù)渫?所以m 為緊集當(dāng)且僅當(dāng)t - 1 ( m ) 為k ”的緊集，從而m 是x 的緊集當(dāng)且僅當(dāng)m 是 有界閉集。 定理2 2 3 設(shè)( z ，l | | 1 ) 是有限維的擬賦范線性空間，則mc x 是緊集當(dāng)且僅當(dāng)m 是有界閉集。 考慮：若擬賦范線性空間( z ，怖的每個(gè)有界閉集都是緊集，則m 為有限維的擬賦范 線性空間。 l o 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 在給出這個(gè)結(jié)論的證明之前，先介紹f r i e s z 在1 9 1 8 年得到的r i e s z 引理及其推廣得 到的引理。 r i e s z 引理 5 ：設(shè)m 是賦范線性空間( z ，i h i ) 的閉真子空間，則對(duì)任意o 占 l ，存 在k x ，忙i i = 1 ，使得忙一屯8 占，對(duì)任意x m 成立。 下面我們將r ie s z 引理推廣到擬賦范線性空間。 引理2 2 1 設(shè)m 是擬賦范線性空間何，j j | 1 ) 的閉真子空間，則對(duì)任意o 0 ，由d 的定義可知，存在x 。m ，使得：d i l y 。一i i 赤o y o - x l l 鬲d 小赤 由，7 的任意性知，存在，7 o ，使得了茜 ，且l l x 一x 冊(cè)忙丟不存在任何收斂子序列，這與b ( x ) 是緊集矛盾， 所以( 彳，1 1 1 1 ) 是有限維的擬賦范線性空間。 由上面的引理和所得到的定理，我們得到下面的推論： 推論2 2 2 擬賦范線性空間x 是有限維的，當(dāng)且僅當(dāng)彳的每個(gè)有界閉集是緊集。 命題1 【5 】：設(shè)e 是擬賦范空f a - z 的閉線性子空間，關(guān)于某個(gè)固定的元素y ，y 甓e ，序列 & 。+ y ) 在e 中收斂，x n e ，a 。k ，則 口。) 和扛。 收斂。 證明：設(shè)序列庫+ a n y ，矗e ，口。k ，y 薯e 在x 中收斂， 不妨設(shè)當(dāng)n o o 時(shí)，k + a y 一0 。 若 ) 不收斂，則存在一個(gè)子序列 口k ) ，存在叩 0 ，使得i 口厶i 刁 因此，k - 1 ( 飛+ y 牡k m 厶+ y i l 收斂。 事實(shí)上，若 矗十吒辦收斂，s j j 。l i m 。( x + 力存在， 所以 。- - x 腳) + ( 口。- a 。) y 一0 故有口。- a 冊(cè)一0 ，因此 口。) 是一個(gè)柯西列。 命題2 5 】：擬賦范線性空間x 的任何有限維子空間是閉集。 證明：若e 是擬賦范線性空間x 的閉線性子空間，定義f = s p a n e u 0 ，存在正 整數(shù)，使得聊，刀 時(shí)，有d ( 石歷，x 。) 占，則稱扛。) 為柯西列。 定義2 3 5e 5 若度量空間( x ，| | | | ) 的每一個(gè)柯西列都收斂于x 中的點(diǎn)j i u 稱( x ，| | 1 1 ) 為完備的度量空間。 定理2 3 1 設(shè)( x ，是擬賦范線性空間，則( x ，州1 ) ：鼽1 , b a n a c h 空間的充要條件是 x 中的每一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)都收斂。 證明：設(shè)( x ，l i | i ) 是完備的擬賦范線性空間，且秭絕對(duì)收斂，則有 佃， n l l n = l 可知：對(duì)于最= x l + x 2 + + x 。，有： i s n + p - - s 。l | ：l l x n + l + x n + 2 + + k p 0 c + 。i | + + c i i x 忡卜。伽- - , o o ) ， 因此髖) 是x 的柯西列。 由( x ，i i o ) 的完備性可知，存在x x ， 。l i 呻r a 。s = x ，即善2 x 反之，設(shè)x 的每一個(gè)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)都收斂，則對(duì)于x 的柯西列 x 。) ， 1 4 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 對(duì)以= 丁1 ，有廳。 刀： 擰m ，使得： h + i - z 。0 丁1 ( 七= 1 ，2 ，) 因而羔k 。一k0 佃 由假設(shè)可知( x 一x m ) l l x 。一x ：l ，這說明i l z l l 。 確定了一個(gè)擬范數(shù)空間z a 。 如果& 。) 是由原來的點(diǎn)組成的一個(gè)柯西序列，定義一個(gè)新的點(diǎn)y ，則在受中， 。弘因此( ，毛，) 是j 中的一個(gè)收斂于的序列。 慨一y l 。= 艦慨一1 1 。專o ， 因此z 在盒中稠密，x 是宕的密子空間。 設(shè) z 。) 是盒中的任意一個(gè)柯西列，是原來的點(diǎn)，則恢一i l 。 i 1 因此| | x 冊(cè)一以u(píng) - - i l x 肘一毛f | 0 - c l l x 。一乙扎+ c 慨一乙扎+ c 恢一矗i i o ， 當(dāng)”，掰專時(shí)，8 一i i - - , 0 ，因此扛。) 是x 中的柯西列。 若z 是扛療) 在皇的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，i i 乙一z i i 。c 慨一i l 。+ c i i 矗一z i i 。專o ，因?yàn)樵陟校?一z ，故序列扛。) 在皇中收斂。 由0 。) 的任意性，故盒是完備的擬賦范空間，即是擬踟如空間，定理得證。 下面討論擬b a n a c h 空間的子空間成為擬b a n a c h 空間的條件。 定義2 3 6 5 設(shè)( x ，d ) 為度量空間，g 是x 的子集，若存在某個(gè)開球u ( ，) ， 使得u ( 粕，) g ，則g 稱為g 的內(nèi)點(diǎn)。 若g 的每一個(gè)點(diǎn)都是g 的內(nèi)點(diǎn)，則g 稱為開集。 定義2 3 7 5 設(shè)度量空間( x ，d ) 的子集f 的余集f 。= 彳f 是開集，則f 稱為閉集。 1 6 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 定義2 3 8 設(shè)( x ，怖是擬賦范線性空間。若m c z 是x 的線性子空間，則稱 ( m ，l | 1 1 ) 為( x ，卅i i ) 的子空間，若m 還是( x ，| 1 1 1 ) 的閉集，則稱( m ，l | 1 1 ) 為( z ，小i i ) 的閉子空間。 明顯地，若( x ，怖是擬眈眥砌空間，m 為( x ，怖的閉子空間，則( m ，怖是擬鼢撇c 廳 空間，反之亦然。 定理2 3 3 t 5 t ( x ，i i h ) 擬b a n a c h 空間，m 是( x ，f 1 1 1 ) 的子空間，則( m ，i i - i i ) 是擬 b a n a c h 空間當(dāng)且僅當(dāng)m 是x 的閉集。 證明：設(shè)( m ，怖是擬b a n a c h 空間，當(dāng)毛m 且毛寸x 時(shí)，缸。 為m 的柯西列，因而扛。 收斂于m 上的一點(diǎn)，故z m ，即m cm ，所以肘是閉集。 反之，設(shè)扛。 cm 為柯西列，則 蠢 為，的柯西列。 由于( x ，f | f 1 ) 是擬砌叩辦空間，因此扛。) 是收斂列，即存在x x 使一工，又由 于m 是( x ，怖的閉子空間，故x m 。 即扛。) 在m 中收斂于x ，所以( m ，i - i i ) 擾, ( b a n a c h 空間。 定義2 3 9 設(shè)x 是線性空間，p 是x 上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，且滿足： ( 1 ) p ( o ) = 0 ： ( 2 ) p ( 缸) - - i a l p ( x ) ，v x x ，旯k ： ( 3 ) p ( x + 少) c p ( x ) + c p ( y ) ，c 1 ，v x ，y x 則稱p 為x 上的半擬范數(shù)。 明顯地，x 上的擬范數(shù)一定是半擬范數(shù)，但對(duì)x 上的半擬范數(shù)p ，由于p ( x ) - - 1 0 時(shí) 不一定有x ：0 ，因此半擬范數(shù)不一定是擬范數(shù)。 1 7 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 4p 一范數(shù)空間的基本性質(zhì) 本節(jié)中介紹p 一范數(shù)空間的定義與基本性質(zhì)，并將賦范空間中的嚴(yán)格凸性質(zhì)推廠到擬 賦范空間。 定義2 4 11 9 設(shè)k 是實(shí)數(shù)域r 或復(fù)數(shù)域c ，x 是數(shù)域k 上的線性空間若| | | | 是x 到r 的映射，且滿足下列條件： ( 1 ) 嗍0 且= 0 當(dāng)且僅當(dāng)x = o ，v x x ( 2 ) l = l l x l l ，v x x 和v a k ( 3 ) 存在c 1 ，使得l x + y t l c i l x l + c m l ，對(duì)所有為y x 成立： ( 4 ) i i x + y l l p l l x l l p + ，對(duì)x ，y x ，0 p _ 1i 或5 z 常數(shù)c 不依賴于x ，y ，則稱| i | | 為x 上的p 一范數(shù)，而稱刪為x 的范數(shù)。這時(shí)稱( 兄m 為 p 范數(shù)線性空間。 如果p 一范數(shù)線性空間是完備的，則稱其為p b a n a c h 空間。 在p 一范數(shù)空間中，任意的x ，y x ，其加法，數(shù)乘與范數(shù)運(yùn)算都是連續(xù)的。 定理2 4 1 設(shè)( x ，1 1 i | ) 是p - 范數(shù)空間，若x 。一x ，y 。專y ，則x n + y 。一x + y 。 證明：圳( x 。+ 兒) 一o + y ) 曠= l l ( x - x 。) + ( y j ，。) i i p - l l x - x n l l ，+ y - y 。 當(dāng)專x ，y 。專y 時(shí)，定理成立。 定理2 4 2 設(shè)( x ，i | i i ) 是p 一范數(shù)空間，若專x ，以專a ，則以一觸。 證明：由8 知一以以8 p = 0 觸一九x + 九x 一九吒4 p 一九) x o p + l l x ( x - x 。卅 肛一九i ，1 4 p + p 0 x - - x 。 若x 。專x ，九專兄，則九x 。哼觸成立 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 定理2 4 3 設(shè)，f 1 i ) 是p 一范數(shù)空間，若矗一z ，貝, jl l x 1 i 專刪。 證明：由于慨l l p = l l x - x + x l l p l l x - x 。+ i x p 同時(shí)刪p = l l x - x 。+ 吒8 ，- l l x - x i i ，+ 肛。： 可知腳f 戶一k 刪肛一吒8 p 當(dāng)_ x 時(shí)，定理成立。 在賦范空間x 中，如果對(duì)任意的五少x ，肛+ 糾i 刪| + 圳j 成立，則空間x 是凸的。 關(guān)于p 一賦范空間( x ，i i | 1 ) 存在下列定義： 定義2 4 2 9 p 一范數(shù)空間( x ，1 1 i | ) 是凸集如果單位球鞏= & x ，l l x l l 1 ) 是凸集， 擬范數(shù)具有p 可加性，即：任意的x ，y x ，0 p 1 ，有 i i x + y l l p l l x l l p + l l y l l p 命題2 4 1 9 3 如果擬賦范空間( x ，1 1 i i ) 關(guān)于0 p 1 是p - 凸集，則是對(duì)任意的 0 ，p ，刪) 是r - 凸集。 賦范空間中的嚴(yán)格凸性質(zhì)容易在擬賦范空間中得到推廣。 定義2 4 3 8 任意的x , y x ，0 p 1 ，如果忙+ 枷， i i x l p + l l y l l 尹，則稱擬賦 范空間( x ，l | 1 1 ) 是嚴(yán)格p - & 空l h 。 命題2 a 2 嘲鼬哪慵擬賦艘叫| i 渺格眥則吲| c 口( m + m i ) ，因此，我們有： 緲( ，如，以) - - i l y - x , 一如x ：一以 劉 x 。+ 如x ：+ + a n x 。| i _ 1 1 y i i = 石1 l | - | l 少i l 1 c 1 c 南嘎| i _ i l 州壓歷r “ = 吉夸n ；峰赤薯川 = 石1 ( ( 丑) 2 ) j - l l y l i m 1 h o t = i 因此，對(duì)于每個(gè)a ，五：，以，使得( ) 2 ，2 時(shí)，對(duì)于某些正數(shù)，有 她，如，丸) ， 在閉球( ) 2 r 2 上，函數(shù)緲( 丑，a ：，九) 取得最小值m ，由于9 ( o ，o ，o ) = m i ， 所以聊。 因此，函數(shù)妒( ，如，以) 在擬b a n a c h 空間工上存在最小值。 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 3 2 擬b a n a c h 空間中的p 一角距 在賦范線性空間中，p 一角距具有上界和下界，在這一節(jié)中我們將討論p 一角距不等式 在擬賦范空間中所具有的性質(zhì)，并研究得到它在擬b a n a c h 空間中相應(yīng)的上界和下界不 等式，同時(shí)作進(jìn)一步的推廣得到相應(yīng)的強(qiáng)三角不等式。 定義3 2 1 9 在賦范線性空間x 中，對(duì)任意兩個(gè)向量l y x ，定義： 口p 時(shí)】= i l l 礦1 腎p - - | - y 0 ，稱為p 角距( p - a n g u l a r d i s t a n c ex 1 9 6 5 年，b o u r b a k i 在 1 0 中給出了b a n a c h 空間中關(guān)于口p i x ，y 】的上界的b o u r b a k i 不等式：g l p x , y l 卜圳盟乒書i i 川- l | 川川| 掣肼) 口pc x ，y ，i x - y 苧器i i 三 ； 一i x 曠一p i y 曠一p | + 芝庇帑堊等； 彳，p ( - o o ，) 口，t x ，糾l l x - 爿1 等嵩手瑋尋 一1 1 1 跏卜p o 川1 1 p 1 刁高產(chǎn)寺哿= 歹，p ( - j ) 下面結(jié)合擬賦范空間的定義，我們研究p 一角距的性質(zhì)及其在擬b a n a c h 空間的上界 和下界不等式。若x 為擬b a n a c h 空間，則 ( 1 ) 1 1 4 - o 且1 1 4 = o ，當(dāng)且僅當(dāng)x = o ，v x x 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 2 ) i l 刮l = i x l i ，比x 和v a k ( 3 ) i i x + y l l c l n l + c l l y l l ，c 1 ，對(duì)所有x ，ye x 成立。 ( 3 ) 中的常數(shù)c 不依賴于z ，弘如下結(jié)論成立。 定理3 2 1 ：設(shè)x 是擬b a n a c h 空間，任意兩個(gè)向量x ，y x ，定義： a p x ，糾= 黔o p - x - i l y l l 川卅，稱為p 一角距( p - a n g u l a rd i s t a n c e ) ，則 ( 1 ) 口。i x ，x 】- 0 ( 2 ) 口p i x ，y 】= 口p y ，x 】 ( 3 ) 口，卜x ，y 】= 口p x ，- y ( 4 ) 口p 【缸，砂】= l 五i ，a p x ，y 】 定理3 2 2 ：設(shè)x 是擬b a n a c h 空間。任意x , y ，z j ，且y 0 ，z 0 ，則有： a p x ，y + z 】c 口，i x ，y 】+ c 口，i x ，z 】，pe 【l ，+ o o ) 證明：口， 訓(xùn)+ z 】= i l l x l l 川一i l y + z r 抄+ z ) | l = i - x - i l y + z 0 p - - | * y 一z 卜釧 m xp - 1 x + i i x i i p - i x - - i l y + z o p - - i y o y + z o 產(chǎn)1 z 6 s c i l l 習(xí)l - x - i l y + z i i p - i 十c 一一陟+ z l l - 訓(xùn) c l l i x l f x - i l y l l p - 1 y l + c 川一| | zp - i z l l = c 1 2 p 【x ，y 】+ c 。1 2 x ，z 】 定理3 2 3 - 設(shè)x ，y 為擬b a n a c h 空間x 中任意兩個(gè)非零向量，則有： ( 1 ) 吣小c i h ，幅一訃t ) + c | l x i i p ( 2 ) 吣小i x l l p ( 引贏一小) - i l y t l p 證明：對(duì)任意口，r ，x ，y x ，有： 忪刊十陟u 陸一卻帕釧圳剖 好刎醑訃c 枷咱爺陟l i 剖 = c 歸| i 怫峙一蒯i + c | | 訓(xùn)硎一川州0 蒯l hl ”懈。睜訃d o 州利剛叫) 以川怫u 擰訃1 ) + c 州i 令口- - i l x l l - , 夕= l l y l l p ，則有： b u 川一眇i i p - i y 卜陟i i 川刈川檸訃1 ) + c i i 擴(kuò)1 i i x l l = c 1 l 一幅一蒯+ 1 ) + c | | 坩 從而釩k y 】 l l y l | l ，a , p k ，若口夕 0 ，則可得到 如下強(qiáng)三角不等式： 推論3 2 1 ：設(shè)x , y 為擬b a n a c h 空間x 中任意兩個(gè)葬零向i t ，l i x l l l l y t i ，任意 口，k ，且口 0 則有： 怯倒2 一旒+ 補(bǔ)州f c 0 ，時(shí)，由不等式忙+ j ，9 c i 嘲+ c i l y l l ，我們得： 峪十酬= p ( 贏+ 贏) + 叫啡贏一川叭蒯 c p ( 高+ 贏弘c 卜贏一川圳蒯f = 叫i i i y i i 旒一刮f + c 忙| i 卅別圳 因?yàn)榭?o ，l n i - i l y l i ，上式子等價(jià)于： 以帥| i 睜t l + c 川i 捌岍i t 陟i i ) 影川l 靜訃c 刮卅1 1 帥i i 心肋i i l 以州i 靜甜2 c 川小c 咿i i 巾 以夕i l y l l 醑訃2 + c ( 州咿1 1 3 4 b 所圳阱釧+ c ( 2 - i h + 甜圳i i o 上tx l _ i l y l i ， 關(guān)于p 一角距，存在如下強(qiáng)三角不等式： 定理3 2 4 ：設(shè)x ，y 擬b a n a c h 空間x 中任意兩個(gè)向量，若x ，y o 且i l x l li l y l l ，關(guān) 于p 一角距：口p x , y l = 忙o - x - h y h 川y 0 ，有： 吣y m 心一辭跏y i ， c ( 1 l x l l p + l l y l l ，) 鉺k 小c 2 c 2 一睜蹄刪 3 3 擬b a n a c h 空間中的匕。夕映射 本節(jié)中我們將討論擬反撇如空間中的v ”映射，通過本節(jié)內(nèi)容的研究，得到v 訓(xùn)映 射在擬b a n a c h 空間中的性質(zhì)，且在進(jìn)一步論證過程中得到關(guān)于擬b a n a c h 空間中三角不 等式忙+ 硎c + c 的推廣。首先，介紹一下賦范空間中半內(nèi)積的定義： 定義3 3 1 2 1 在賦范線性空間 中，對(duì)于任意的一對(duì)x ，y z ，定義上下半 內(nèi)積為： 2 9 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 上半帆：姆掣 下半撬，：姆掣 設(shè)p ，q ，f ，且p 口，關(guān)于以上極限，存在如下性質(zhì) 2 2 2 4 ： ( 1 ) ( x ，功，= 1 1 叫1 2 ，任意x x ( 2 ) ( a x ，p y ) p = 口p ( x ，力j p ，如果倪，夕0 且x x ( 3 ) i ( x ，j ，) p l l y l i ，任意x ，y 仨z ( 4 ) ( a x + y ，x ) p = a ( x ，x ) ，+ ，x ) p ，任意而y 彳，口k ( 5 ) ( 一x ，y ) p = 一o ，y ) p ，任意x ，y x ( 6 ) + y ，z ) p - r + , v x , y ：絲蟬 不難得到，對(duì)于x ，y 烈 o 有1 ， ( f ) ：生掣，由上述v ( f ) 映射的定義， 我們得到關(guān)于它的一些基本性質(zhì)： 性質(zhì)3 3 1 ：1 ， ( f ) 有界，且h ，y ( t ) - u y u 性質(zhì)3 3 2 ：莫饑存在如下不等式：鍺釩炒臀 f 。 鍺狐啦瞥p 。 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 性質(zhì)3 3 3 - 若0 ，則。f 列極限成立： 魍匕，y ( t ) = q y l l ，1 i m 。叱。y ( ，) = 例 姆k 朋2 瞥，姆k 如) = 箐 證明：( 1 ) 由三角不等式得到：肛+ 圳卜卜降+ 紗一_ x | l = l t l i l y l l ，t r 所以( 1 ) 成立。 ( 2 ) 若r 0 ，由柯西不等式得到： l l x + 紗i i ( x + t y ，x ) ， - i l x l 2 + ( 鈔，x ) ， = l l x l l 2 + f ( y ，x ) 。 舭h x + 鈔i i 制瞥 x t o , 故有啪，= 幽t 瞥 同樣地，i i x + o , i l ( x ，x + t y ) ， = ( x + 紗一紗，x + 們， = i i x + o , i2 + ( - t y ，x + t y ) ， = 肛+ 計(jì)- t ( y ，x + t y ) ， 因此， i i x + 紗1 1 2 - t ( y ，x + t y ) ，- i n i 1 1 x + o , i l 又f 0 的情況，可類似的得到證明。性質(zhì)2 證畢。 l i r av , , , y ( t ) 2 刪l i m + v 唼) ：l i m u x + 詈l l - i l x u 中山大學(xué)碩士學(xué)位論文 = 姆( i i y + 鍛i i 一1 1 x i i )