有限群的子群弱補(bǔ) 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè) 研究生蘇躍斌指導(dǎo)教師王坤仁 利用子群的性質(zhì)來刻畫一些特殊的有限群的結(jié)構(gòu)一直被許多學(xué)者所熱衷而極 小子群，即素?cái)?shù)階子群，在研究群的p 冪零性巾能夠起到特殊重要的作用例如著 名的i t 6 定理斷言，若群g 的每個(gè)p 階元在g 的中心里，如果p = 2 那么g 的4 階 元也在g 的r f l 心里，則g 是爭(zhēng)冪零群本文第一章主要是利用子群弱補(bǔ)去刻畫 有限群的結(jié)構(gòu)，并得到了若干i t 6 定理類型的結(jié)果；在第二章巾我們研究了p ng ， 的子群的弱補(bǔ)性與p 冪零性的關(guān)系，并且推廣了b u r n s i d e 定理在最后一章， 根據(jù)群系理論，我們獲得了飽和群系的一些充分條件，推廣了一些已知結(jié)果 關(guān)鍵詞：子群弱補(bǔ)p 冪零群冪零上根群系局部群系飽和群 系 ，超中心 第i n ，共2 8 頁(yè) t h e w e a k l y - c o m p l e m e n t d e ds u b g r o u p so ff i n i t eg r o u p s b a s i cm a t h e n m t i c s p o s t g r a d u a t e ：s uy u e b i n s u p e r v i s o r ：w a n gk u n r e n t h ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p sa r eu s e db ym a n ys c h o l a r st oc l m r c t e r i s et h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m i n i m a ls u b g r o u p s ，i e s u b g r o u p sw i t hp r i m eo r d e r t a k e 8s p e c i a li m p o r t a n tp a r ti ni n v e s t i g a t i n gt h ep - n i p o t e n c y aw e l l - k n o w nr e s u l t d u et oi t 5s t a t e st h a tag r o u pgi sp - n i l p o t e n ti fe v e r ye l e m e n to fo r d e rpl i e s i nt h ec e n t e ro fg ，a n di fp =2e l e m e n t so fgw i t ho r d e r4a r ea l s o i nt h e c e n t e ro fg i nt h i sp a p e r w em a i n l yl l s ew e a k l yc o m p l e m e n t e ds u b g r o u p st o c h a r a c t e r i s et h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sa n do b t a i ns o m er e s u l t sl i k ei t 5 8t h e o - r e mi nt h e 曲a p t e ri i nt h en e x tc h a p t e rw ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e nt h e w e a k l y - c o m p l e m e n t e ds u b g r o u p so fpn a n dp - n i l p o t e n c y , a n dg e n e r a l i z et h e b u r n s i d e st h e o r e m i nt h el a s t c h a p t e r ，a c c o r d i n gt ot h et h e o r yo ff o r m a t i o n s ，w eo b t a i ns o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs a t u r a t e df o r m a t i o n ，a n dg e n e r a l i z es o m e k n o w nt h e o r e m s k e yw o r d s ：w e a k l yc o m p l e m e m e ds u b g r o u p ；p - n i l p o t e n e y ；n i l p o t e n tr a d i c a l ； f o r m a t i o n ；1 0 c a lf o r m a t i o n ；s a t u r a t e df o r m a t i o n ；y - s u p p e rc e n t e r 四川師范大學(xué)學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性及 使用授權(quán)聲明 本人聲明：所呈交學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師丑趟( 三 指導(dǎo)下，獨(dú)立 進(jìn)行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)1 容外，本論文不含任何 其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn) 的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。 本人承諾：已提交的學(xué)位論文電子版與論文紙本的內(nèi)容一致。如因不符而 引起的學(xué)術(shù)聲譽(yù)上的損失由本人自負(fù)。 本人同意所撰寫學(xué)位論文的使用授權(quán)遵照學(xué)校的管理規(guī)定： 學(xué)校作為申請(qǐng)學(xué)位的條件之一，學(xué)位論文著作權(quán)擁有者須授權(quán)所在大學(xué)擁 有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：1 ) 已獲學(xué)位的研究生必須按學(xué)校規(guī)定提交印 刷版和電子版學(xué)位論文，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn) 行檢索；2 ) 為教學(xué)和科研目的，學(xué)?？梢砸_的學(xué)位論文或解密后的學(xué)位 論文作為資料在圖書館、資料室等場(chǎng)所或在校園網(wǎng)上供校內(nèi)師生閱讀、瀏覽。 論文作者簽名： 年月日 部分符號(hào)說明 v a g h n n l g l l g ：m l m g 璺g s o c ( g ) ( 日) c g ( h ) d p ( g ) n 司司g 勖t a g ) a u t ( g 1 互尹( g ) 日c h a r g 圣( g ) a 皇b , k g ) z ( g ) f ( g ) p ( g ) g ， 任意的 a 是g 的子群 日與的交 包含在日中g(shù) 的極大正規(guī)子群 g 的階 m 在g 的指數(shù) m 是g 的極大子群 k 是g 的正規(guī)子群 g 的所有極小正規(guī)子群的積 日在g 中的正規(guī)化子 日在g 中的中心化子 g 的正規(guī)p 子群的交 是g 的次正規(guī)子群 g 的s y l o w p - 子群集 g 的自同構(gòu)群 g 的p 超中心 日是g 的特征子群 g 的f r a t t i n i 子群 a 與b 是同構(gòu)的 g 的階之素因子的集合 g 的f 超中心 g 的f i t t i n g 子群 g 的廣義f i t t i n g 子群 g 的1 ：- 上根 第1 頁(yè)共2 s 頁(yè) 刖菁 在有限群的研究中，對(duì)群結(jié)構(gòu)的研究占據(jù)著重要的地位而利用有限群的各 類子群描述群的特征是群結(jié)構(gòu)研究的基本方法眾所周知，補(bǔ)子群在群結(jié)構(gòu)研究 中占有重要的地位，通常我們說群g 的一個(gè)子群日在g 中可補(bǔ)的，當(dāng)且僅當(dāng) 有g(shù) 的一個(gè)子群耳使得g = 日耳且日n k = 1 利用補(bǔ)子群去研究群的結(jié)構(gòu)已有豐富的結(jié)果，例如k e g e l 在文獻(xiàn)f 1 】、【2 】 中證得了g 是可解的，如果g 的每一個(gè)極大子群在g 中有一個(gè)循環(huán)補(bǔ)子群， 或者g 的某個(gè)冪零子群在g 中有個(gè)冪零補(bǔ)子群h a l l 在文【3 】中證明了g 是可 解的當(dāng)且僅當(dāng)g 的每個(gè)s u t o w 子群在中都是可補(bǔ)的，后來a r a d 與w a r d 在 【4 】將日“f 的結(jié)果推廣為：群g 是可解的當(dāng)且僅當(dāng)g 的每個(gè)s y l o w 2 - 子群與 s y t o w 3 - 子群在g 中可補(bǔ)最近a b a l l e s t e s b o l i n c h e s 和g u o x i u y u n 在【5 | 中證得了具有初等交換b u t o w 子群的所有有限超可解群類恰好就是每個(gè)極小子 群都可補(bǔ)的所有有限群所在的群類 關(guān)于補(bǔ)子群的概念近年來有新的推廣，例如2 0 0 0 年王燕鳴在文【6 】中提 出了c - 可補(bǔ)的概念，后來很多學(xué)者利用這一概念得到了豐富的結(jié)果，如文獻(xiàn) 【_ 7 】一【9 】 2 0 0 4 年李世榮在文10 1 中提出了予群弱補(bǔ)的概念，他得出了：有限群g 的每個(gè)極小子群是弱補(bǔ)的當(dāng)且僅當(dāng)g 是超可解的并且每個(gè)s v f 伽，子群是初等 交換群這個(gè)結(jié)果推廣了a b a u e s t e s b o l i n c h e s 和g u o x i u y u n 在【5 】中得到 的結(jié)論另外還得到了一些p 冪零的充分條件本文主要是在文【1 0 】的基礎(chǔ)上 研究了子群弱補(bǔ)對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響，并推廣了一些相關(guān)結(jié)果( 見本文第一、第二 章) 隨著群系理論的發(fā)展，使得有限群的結(jié)構(gòu)的研究更加完善在本文的第三 章中，還利用了群系的有關(guān)理論，將一些結(jié)果推廣到群系上，從而更加豐富了有 限群的結(jié)構(gòu)理論 第2 頁(yè)，共2 s 頁(yè) 一 第一章準(zhǔn)素子群與有限群的p 冪零性 有限群的p - 冪零性一直是群研究的一個(gè)主要課題而極小子群，即素?cái)?shù)階 子群，在研究群的p 冪零性中能夠起到特殊的重要作用例如著名的i t 5 定理 斷言：若群g 的每個(gè)p 階元在g 的中心里，并且若p = 2 ，那么4 階元也在g 的中心里，則g 是p - 冪零群 本章首先從有限群的4 階循環(huán)子群的弱補(bǔ)性去研究有限群的p 冪零性在 本章第二節(jié)利用準(zhǔn)素子群的弱補(bǔ)性去研究有限群的p 冪零性， 1 1 預(yù)備知識(shí) f 】0 l 定義1 1 1 一設(shè)g 是有限群，hsg 我們說日在g 中存在弱補(bǔ)，如果 存在k 2 ，則e x p p = 弘而若p = 2 ，則e x p p 4 第3 頁(yè)，共2 8 頁(yè) 1 1 預(yù)備知識(shí) ( 3 ) 若p 為交換群，則p 為初等交換群；若p 為非交換2 - 群，則e x p = 4 ； ( 4 ) c p 西( p ) 當(dāng)且僅當(dāng)【c 1b l 1 ，其中b 是0 的生成元； ( 5 ) p = o 幃，其中g(shù) 坼是g 的p 冪零上根； ( 6 ) p 垂( p ) 是g i 圣( p ) 的一個(gè)極小正規(guī)子群 引理1 1 6 【p 為一個(gè)素?cái)?shù)，設(shè)p 為礦階初等交換p 群，那么i a 塒( p ) i ： 編r 礦恤- 1 m ，這里砥= n ：l 一1 ) 引理1 1 7 【l l 】設(shè)k g ，如果i g ：g l ：p i 其中p 為的l g l 最小素因子，那 么k 里g 引理1 1 8 【l l 】設(shè)p 為的i g l 最小素因子，p 勖f ，( g ) 且p 循環(huán)，則g 有 正規(guī)p 補(bǔ) f 1 1 1 引理i i 9 一設(shè)g 是有限群，p 是g 的p 子群，但不是s y l o w p - 子群， 則p n c ( p ) 引理1 1 1 0 【l l 】設(shè)g 是有限群，pes f p ( g ) ，0 ( p ) ：c b ( p ) ，則g 是p 冪 零群 引理i i i i 設(shè)g 是內(nèi)p 冪零群，是g 的正規(guī)子群，p 為g 的正規(guī)s y l o w p 子群若g i n 是p 冪零群，則p n 證明由g 的內(nèi)尹冪零性及引理1 1 ，5 可知g = p q q 為g 的非正規(guī)循 環(huán)勛l a wq - 子群，g i n = p n n q n i n 若p 菇n ，由a l g 的p 冪零性可 知q n n 是g n 的正規(guī)p 補(bǔ)由尸n 知q n 2 則由引理1 1 5 知e 印p = p 有定理?xiàng)l件知p s z ( g ) ，故q 司g 與q 碧g 矛盾 ( 2 ) p = 2 設(shè)p 是交換群，則由引理1 1 5 知p 為初等交換群且e x p p = 2 ， 從而p z ( g ) ，故qqg 與q 碧g 矛盾因此p 是非交換且e x p p = 4 取 a = 為p 的4 階循環(huán)群則由條件有k 2 ，則e x p p = p ，由條件假設(shè)p n n z ( g ) 注意到g p 冪零，由引理1 1 1 1 知p n ，故有p z ( g ) 于是g 是冪零群矛盾故 p = 2 ( 2 ) 1 n g ，n 冪零群 事實(shí)上，若n = 1 ，由條件有g(shù) 是p 冪零群矛盾若n = g ，由定理1 2 1 知g 是p 冪零群亦矛盾所以1 n g ，而由( 1 ) 知冪零群 ( 3 ) 得出結(jié)論 由( 2 ) 知冪零故可設(shè)n = 口，其中s u t d n ) ，s y t 。( n ) 顯然p ，均為g 的正規(guī)子群，從而p ，q 下證 p 若否，設(shè) = p ，則有psn 若p 是a b e l 群，由引理1 1 5 及( 1 ) 知p 是初等a b e l 2 - 群由已知有p z ( g ) 矛盾若p 是非a b e l 2 - 群且e x p p = 4 取a = 母, b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o l n第6 y i ，共2 s 頁(yè) 畢業(yè)論文 第一章準(zhǔn)素子群與有限群的p - 冪零性 為p 的4 階循環(huán)子群則由條件有k g 使g = a k 若ig ：kl = 4 ，則 ia ：a n ki = 4 ，故ia n kj = 1 又因 z ( g ) ，則k 是g 的 指數(shù)為2 的子群從而k 司g 因此由k 冪零知k 的 s y l o w 口子群在g 中正規(guī)從而g 冪零，矛盾若lg ：ki = 2 。則同理可得 g 冪零，矛盾從而 0 p 另一方面因g i n 是p - 冪零群，故由引理1 1 1 1 知p n ，從而由p 習(xí)g 可得p = 矛盾于 2 ，則e x p p = p 故p 為初等交換群由引理1 1 1 4 知西( p ) = 1 再由引理1 1 5 知p 是g 的極小正規(guī)子群任取a 為p 的極小子群則由條件 有k 4 若p 無4 階元，則p s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o l n 第7 頁(yè)，共2 s 頁(yè)畢業(yè)論文 1 24 階循環(huán)子群弱補(bǔ)與有限群結(jié)構(gòu) 的每個(gè)非單位元z 皆是2 階的于是 在g 中弱補(bǔ)由此及g 的內(nèi)冪零 性知。舊) ，從而p v o ( q ) = g ，矛盾因此可令a n 是4 階循環(huán)群， 由假設(shè)知存在g 的真子群k 使得g = a k 由g 的內(nèi)冪零性知冪零設(shè) k = k 2 蚴 ( i ) 如果j 幻= 1 ，那么p = a 由引理1 1 3 知g 為2 - 冪零群，與g 為極小 反例矛盾 ( 1 1 ) 如果j g 1 ，考慮子群i v g ( j 如) 由k 舀( j 已) 及引理1 1 9 知 恐 p ( k 2 ) ，從而i g ：g ( 尬) i = 2 或g ( 鮑) = g ( i ) 若f g ：b ( j 島) l = 2 ，則g ( i 2 ) 司g 且n o ( k 2 ) 4 矛盾如果b 菇垂( p ) ，那么1 只圣( p ) 西( p ) sp 雪( p ) 由且 及雪( p ) 的正規(guī)性知p l 雪( p ) 圣( p ) 司g 圣( p ) 由引理1 1 5 知只圣( p ) 圣( p ) = p 垂( 尸) ，從而p l = p ，因此( k 2 ) = g 這與l g ：b ( 2 ) l = 2 相矛盾 ( i i ) 若g ( k 2 ) = g ，則考慮商群g 尥由于g = a ，i a f = 4 ，所以8 不能 整除l g 鮑| 由引理1 1 3 知g i k 2 是2 _ 冪零群從而由引理1 1 i i 知p j 島 所以p = k 2 ，再由a k 2 s k 知g = a k = k ，這與k g 矛盾所以極小 反例不存在，定理結(jié)論成立 推論1 2 3 設(shè)q g ，g i n 是冪零群若的每個(gè)極小階子群及4 階循環(huán) 群( 若2 l | 1 ) 在g 中弱補(bǔ)，則g 是冪零群 推論1 2 4 設(shè)p 7 r ( g ) ，若g 的每個(gè)p 階子群和4 階循環(huán)子群( 若p = 2 ) 在g 中弱補(bǔ)，則g 是p 冪零群 推論1 2 5 若g 的每個(gè)素?cái)?shù)階子群及4 階循環(huán)子群在g 中弱補(bǔ)，則g 是 冪零群 定理1 2 4 設(shè)n og ，g n 是超可解群若可解且f ( ) 的每個(gè)極小子群 在g 中弱補(bǔ)，則g 是超可解群 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 啪第8 頁(yè)，共2 s 頁(yè)畢業(yè)論文 第一章準(zhǔn)素子群與有限群的p - 冪零性 證明若定理不成立，設(shè)g 是極小反例 ( 1 ) 雪( g ) = 1 若量( g ) 1 令日是包含在壬( g ) 中的g 的極小正規(guī)子群若h n ， 則日f ( ) 令風(fēng)是包含在日中的極小子群則由條件假設(shè)有k g 使g = h 1 k = 圣( g ) k = k 矛盾故h n 考慮商群g h 因 日n n = 1 所以f ( h n h ) 皇f ( ) ，進(jìn)一步有f ( h n h ) 壘f ( n ) h h 因 g h n 壘( g n ) ( h n ) 是超可解，故( g h ) ( h n h ) 皇g h n 是超可解 如果乏蠆了= h h 是f ( h n h ) 的極小子群，則 是f ( ) 的極 小子群由假設(shè)有k 礦設(shè)l 為g 的任一真子群， 因?yàn)?l l n 皇l n n s g n 由假g n 設(shè)是p 冪零的，故l l n n 為p 冪零的若i l n n l p 2 ，那么由 引理1 1 1 5 知l 為p 冪零的若i 工n n i p 2 ，由假設(shè)知上n r 的每個(gè)p 2 階 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o m 第1 0 頁(yè)，共2 8 頁(yè)畢業(yè)論文 第一章準(zhǔn)素子群與有限群的p - 冪零惶 子群在g 中弱補(bǔ)那么由引理1 1 1 知l n 的每個(gè)p 2 階子群在三中弱補(bǔ)于 是l 滿足條件由g 的取法可知工是p 冪零的從而g 是極小非p - 冪零群 由引理1 1 4 知是g 一個(gè)內(nèi)冪零群從而由引理1 1 5 知g = p q ，p 司g 且為g 的s y l o wp - 子群，q 為g 的循環(huán)s y l o wq 一子群，且糾圣( p ) 是c 圣( p ) 的一 個(gè)極小正規(guī)子群 ( 2 ) 最終的矛盾 由g i n 是p 冪零群及引理1 1 1 1 知p s n 由( 1 ) 的證明可設(shè)i pj 礦 再設(shè)a n 且i a f = p 2 ，由假設(shè)知存在g 的真子群耳使得g = a k 由g 的 內(nèi)冪零性知k 冪零，設(shè)k = 蚴 ( 1 ) 如果k p = 1 ，那么p = a 由引理1 1 3 知g 為尹冪零群，與g 為極小 反例矛盾 ( 2 ) 如果1 ，考慮子群g d 坼) 由k n o ( ) 及引理1 1 9 知 ( ) 從酬g ：g a ( ) i = p 或l v a ( ) = g ( i ) 若i g ：g ( ) l = p ，則g ( ) p 2 矛盾如果毋菇垂( p ) ，那么b 西( p ) 西( p ) sp 西( p ) 由p l 及 西( p ) 的正規(guī)性知p 1 垂( p ) 圣( p ) 司g 圣( p ) 由引理1 1 5 知p 1 圣( p ) 垂( p ) = p 面( p ) ，從而p l = p ，因此n o ( 塢) = g 這與i g ：n o ( 綿) i = p 相矛盾 ( i i ) 若g ( ) = g ，則考慮商群g 晦由于g = a k ，i a i = p 2 ，所以p 3 不能整除i g | 由引理1 1 - 3 知g 塢是p 冪零群從而由引理1 1 1 1 知 p 所以p = 蟛，再由a 綿k 知g = a k = k ，這與k g 矛盾， 所以極小反例不存在，定理結(jié)論成立 推論1 3 1 設(shè)g 是奇階有限群巾為j g l 的最小素因子如果g 的每個(gè)礦階 子群在g 中弱補(bǔ)，那么g 是p 冪零群 注1 3 1 ( 1 ) 由f e i t t h o m p s o n 定理知奇數(shù)階群可解，但是在定理1 3 1 和推論1 3 1 中，條件“g 是奇階群”不可削弱成是“g 是有限可解群”比如 四次對(duì)稱群& 就是反例 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 t o n i第1 1 頁(yè)，共2 8 頁(yè) 畢業(yè)論文 1 3 準(zhǔn)素子群弱補(bǔ)性與有限群結(jié)構(gòu) ( 2 ) 定理1 3 1 和推論1 3 1 中條件“p 為i g i 的最小索因子”不可削弱為 “p 為l g i 的素因子”比如令g 為3 次對(duì)稱群s 3 ，p = 3 則g 滿足定理1 3 1 和推論1 3 1 中除外“p 為i g j 的最小素因子”的條件，但g 不是3 - 冪零群 定理1 3 2 設(shè)g 是有限群且( i g i ，3 ) = l ，如果的4 階子群在g 中弱補(bǔ)，那 么g 是2 冪零群 證明反證法，若定理不成立，設(shè)g 是極小反例 如果2 不整除l g l ，那么g 是2 冪零群故可設(shè)p 為g 的一個(gè)勖z d 2 - 子 群，且p 1 如果p 循環(huán)，由引理1 1 8 知也g 為2 - 冪零群因此可設(shè)p 為 非循環(huán)的取l g 如果8 不整除l 引，那么由引理1 1 3 知l 是2 - 冪零群 如果8 整除l l | ，那么由假設(shè)l 的每個(gè)4 階子群在g 中弱補(bǔ)于是由引理1 1 1 知l 滿足條件，由g 的取法知l 是2 冪零群從而g 是一個(gè)極小非2 - 冪零 群由引理i i 3 和1 1 4 知g 是一個(gè)內(nèi)冪零群由引理i i 5 知g = p q ，p 司g 為g 的s y l o w p - 子群，q 為g 的循環(huán)s y l o wq - 子群，且p 圣( p ) 是v 西( p ) 的一個(gè)極小正規(guī)子群 設(shè)日是g 的4 階子群由假設(shè)知存在g 的真子群k 使得g = 日k 首先h p 否則假設(shè)日= p ，則l p l = | h i = 4 故由引理1 1 3 知g 是2 - 冪零群矛盾，所以日尸 由k g 及g 的內(nèi)冪零性知k 冪零，設(shè)k = 媧硒下證尬硇g(shù) 否則k 2 司g 那么由引理1 1 3 及引理1 1 1 1 有p = 1 2 于是h 鮑由 g = h k 知g = k ，這與k 4 ，由假設(shè)知三n 的每個(gè)2 階子群 在l 中弱補(bǔ)于是二滿足條件于是由引理1 1 1 知l 滿足條件，由g 的取法 知l 是二冪零群從而g 是一個(gè)極小非2 - 冪零群，由引理1 1 4 知g 是一個(gè) 內(nèi)冪零群由引理1 1 5 知g = p q ，p q g 為g 的s y l o w2 一子群，q 為g 的循 環(huán)s y l o wq - 子群q 為素?cái)?shù)，且p 垂( p ) 是a 垂( p ) 的一個(gè)極小正規(guī)子群 設(shè)日是g 的2 階子群由假設(shè)知存在g 的真子群k 使得g = 日耳 首先h p 否則假設(shè)h = p ，則i p i = i h = 2 出引理1 1 8 知g 是 冪零群矛盾所以h p 于是由g = 口k 且k 是g 的真子群可知l g ：k i = i h i = 2 所以k q g 又由于g 是內(nèi)冪零群故耳的正規(guī)2 補(bǔ)也是g 的正規(guī)2 - 補(bǔ)，從而g 是2 冪 零群矛盾 這個(gè)矛盾表明極小階反例不存在，所以g 是2 - 冪零群 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o i n 第1 3 頁(yè)，共2 q 頁(yè)畢業(yè)論文 第二章p n g 7 子群的弱補(bǔ)性與有限群p - 冪零性 b u e k l e y 在1 9 7 0 年曾在文獻(xiàn) 2 0 】獲得如下結(jié)果：如果奇階群g 的所有極 小子群在g 中正規(guī)，則g 是超可解群之后，又有一系列文獻(xiàn)致力于這一結(jié)果 的推廣本章仍然關(guān)注的是群的p 冪零性 受b u r n s i d e 定理( 設(shè)p 是i g i 的素因子，p 是g 的研f 跳p 子群，如 果p 包含在它的正規(guī)化子的中心里面，則g 是p 冪零) 和1 t o 引理( 設(shè)p 是i g i 的素因子，如果群g 的所有的p 階元均包含在g 的中心z ( g ) 中，且 當(dāng)p = 2 時(shí)的階為4 的元素也都包含在z ( g ) 中，則g 是p 冪零群) 的啟 發(fā)，b a l l e s t e r b o l i n e h e 8 和g u o 在文獻(xiàn)【2 1 】得到如下結(jié)果： 設(shè)p 是l g i 的素因子，p 是g 的勛l o o p - 子群，若p n g 的每個(gè)極小階 子群包含在n o ( p ) 的中心中，且當(dāng)p = 2 時(shí)，或者p ng ，的每一4 階元都包 含在n o ( p ) 的中心中或者尸與四元素群無關(guān)且g ( p ) 是二冪零的，則g 是 p 冪零群 受這一結(jié)果的啟發(fā)，將包含在中心中這個(gè)條件減弱為弱補(bǔ)，或者去掉 n o ( p ) 是2 - 冪零的等這些條件后，結(jié)論是否仍然成立昵? 本章主要將給出肯 定的回答 2 1 基本引理 引理2 1 1 【1 6 j 設(shè)g 是有限非可解群且有冪零極大子群肘，設(shè)尬，是m 的 h a l l2 - 子群，則m z q g 引理2 1 2 【1 l 】設(shè)g 是有限群，則： ( 1 ) 若p s y l p ( g ) ，b 是任意p 子群，且p b = b p 則b5p ； ( 2 ) 若h g ，r s u t ( h ) ，則存在p s y t p ( g ) 使r = p f l h 引理2 1 3 1 3 l 設(shè)g 是有限冪零群，且1 寸g 貝j j n f l z ( g ) 1 第1 4 頁(yè)，共2 8 頁(yè) 2 2 p ng ，子群的弱補(bǔ)性與有限群p 冪零性 定理2 2 1 設(shè)g 是有限群，p 霄( g ) ，p 為g 的s y l o wp - 子群若 p n g 的每個(gè)極小階子群在n g ( p ) 中弱補(bǔ)，且n g ( p ) 是p 冪零群則g 是 p 冪零群 證明若結(jié)論不真，設(shè)g 是一個(gè)極小階反例下面分步證明： ( 1 ) p a g 為初等交換群，并且p n g 7 z ( p ) 若p ng ，= 1 ，則結(jié)論已經(jīng)成立下設(shè)p ng ，1 設(shè)1 是p 的極小正規(guī)子群且l 尸ng ，因p 是冪零群，則由引理 2 1 3 有l(wèi) n z ( p ) 1 再由j v l 的極小性有l(wèi) = v l n z ( p ) ，從而l s z ( p ) 且l l i = p ，由條件假設(shè)及引理1 1 1 有 i 也在p 中弱補(bǔ)，故有k 1 p 使得 p = n 1 k 1 又由l p ng ，可得 p n g 7 = ( p n c ) n p = ( p n g 7 ) n n , k i = a r l ( ( j p n g ) n k i ) 再設(shè)2 是( p ng ，) n j “的極小正規(guī)子群由1 z ( p ) 知( p ng ，) n 司p 故同理可得n 2sz ( p ) 且i n 2 l = p 如此下去就有： p f1g ，= l n 2 肌， 其中ms z ( p ) 從而尸ng ，z ( p ) 故p ng ，為初等交換群 ( 2 ) p n g ，cz ( g c ( p ) ) 顯然p 也是n o ( p ) 的s y l o w p - 子群因n g ( p ) 是p 冪零群，故n c ( p ) 有 正規(guī)p 補(bǔ)日使n a ( p ) = p 日再由p n g 7 z ( p ) 有p ng ，c z ( 0 ( p ) ) ( 3 ) 0 有真子群是內(nèi)冪零群 由文獻(xiàn)【13 】定理1 0 3 2 知g 有子群曰是極小非p - 冪零群由引理i i 4 知 日是內(nèi)冪零群從而由引理i i 5 知： h = 島凰( p 口) 其中塢習(xí)日且為h 的s y l o wp - 子群，風(fēng)為日的循環(huán)s y l o w q 一子群且聾h ( 4 ) 凰在日中的正規(guī)閉包砰= 日 著砰 h ，則砰冪零因峨為h 的循環(huán)s y l o w q 一子群，從而也是 h ：釣s y l o w q - ： 耩由h 譬冪零t 奄h q c h a r h ；園h ；q h ，撤h q q h ，矛 盾子h q 垂h 故h ；= h s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o m第1 5 頁(yè)，共2 s 頁(yè)畢業(yè)論文 2 2p n g ，子群的弱補(bǔ)性與有限群p 冪零性 ( 5 ) 若n 司日，且n 上r p 則n z ( 日) 因n q h ，n 峨 日，則島是冪零群故顯然峨也是n 日；的s y l o w q - 子群t 從而n 峨= n 島于是n c 0 ( 峨) 因此對(duì)任意h h n = n “c 0 ( 研) 又因?yàn)?砰= ， 故由( 4 ) 有 n 翰( 礎(chǔ)) = ( 日) = z ( 圩) ( 6 ) 緝= 【耳，峨l - 因【緝，冠g - - - = 日，且由h p 的正規(guī)性有舊；，風(fēng)】坼若 ，凰1 訴，則由( 5 ) 及隅，】司h 有【緝，島】z ( 日) 令百= h z ( h ) ， 則口虧，j 習(xí)= t 從而 耳= 耳葛；瓦瓦 于是- h 冪零，故日冪零矛盾故有月；= 【，峨】 ( 7 ) 最終的矛盾 由( 6 ) 有 易= 隅，峨l g ， 由s y l o w p - 子群的共軛性不妨設(shè)島sp ，從而耳sp n g 令a = g a ( ：) 因埤p r i g 7 ，且由( 2 ) 有： p n g 7 cz ( g ( p ) ) ， 故珥z ( ( p ) ) 從而： p s c a ( 易) 因 c o ( 曰p ) q n a ( 珥) = a ， 且p 是c c ( g p ) 的s y l a w p - 子群，從而由f r a t t i n i 論斷有 a = g ( 緝) = n a ( p ) g 0 ( 緝) s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 第1 6 頁(yè)，共2 8 頁(yè)畢業(yè)論文 第：章p n c 子群的弱補(bǔ)性與有限群p _ 晷零性 因 珥s z ( g ( p ) ) ， 故 臺(tái)( p ) c 臺(tái)( 緝) 又由 v ( p ) s ( p ) ， 從而 n a ( p ) 5c o ( 緝) ， 故 a = g ( 紼) = n a ( p ) 國(guó)( 緝) s ( 緝) 從而 ( 珥) = ( 耳) 故h 是p 冪零群矛盾因此極小反例不存在，定理結(jié)論成立 注2 2 1 定理中條件“n a ( p ) 是p 冪零群”不可少事實(shí)上，令g = a 5 ， 則對(duì)g 的任意s y l o w 5 - 子群p ，其正規(guī)化子n c ( p ) 階為l o 而g 的每個(gè) s y l o w 5 - 子群p 的5 階子群在n c ( p ) 中弱補(bǔ)但g 是單群矛盾 定理2 2 2 設(shè)g 是有限群，p 是i g i 的最小素因子p 為g 的s y l a wp - 子群若p ng ，的每個(gè)極小子群在n c ( p ) 中弱補(bǔ)則g 是p 冪零群 證明( 1 ) 若n g ( p ) = g 故p 司g 若結(jié)論不真，設(shè)g 是一個(gè)極小階反 例那么g 是極小非p 冪零群 事實(shí)上，設(shè)h g 且r s y l p ( 日) 因p q g ，故由引理2 1 2 知r p 且 r = p n 日因h 7 g ，故： r n 日= p n h n = p n p n a , ， 且 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o h l h ( r ) g = v b ( p ) ， 第1 7 頁(yè)，共2 q 頁(yè)畢業(yè)論文 2 2p n g 子群的弱補(bǔ)性與有限群p 冪零性 從而由引理1 1 1 可知日滿足條件由g 的選擇可知h 是p 冪零群，從而g 是極小非p 冪零群由引理1 1 4 知g 是內(nèi)冪零群，且g = p q ，其中p q g 且為g 的s y l a wp - 子群，0 為g 的循環(huán)s y z o wq - 子群且0 硇g(shù) 設(shè)a 是p ng ，的任意極小子群，則由假設(shè)有k g 使得g = a k 出g 的內(nèi)冪零性知k 冪零又由a 為p ng ，極小子群，則l g ：k l = p 因p 是i g i 的最小素因子，由引理1 1 7 知kq g 因耳的s 們d wq - 子群j l 也是g 的 s ，l o wq - 子群，即= q 從而由c 枷kqg 可知q = 司g ，矛盾于 q 碧g 從而極小反例不存在故g 是p 冪零群 ( 2 ) n a ( p ) g 顯然n a ( p ) 滿足定理假設(shè)條件，因此n c ( p ) 是p - 冪零 群，故由定理2 ，2 1 可知結(jié)論成立， 定理2 2 3 設(shè)g 是有限群且有冪零極大子群m ，p 勛f 2 ( m ) 若p n g 的 每個(gè)極小子群在p 中弱補(bǔ)，則g 可解 證明若結(jié)論不真，設(shè)g 是一個(gè)極小階反例 因m 冪零，故可取m z 是m 的日礎(chǔ)非子群，再出引理2 1 1 知m 2 ，司g 若m 2 , 1 ，設(shè)是g 的極小正規(guī)子群且n m 2 , 由條件可知m n 是g 的冪零極大子群由引理1 1 1 知( png ，) i v 滿足定理假設(shè)條件，從而a n 滿足定理?xiàng)l件假設(shè)再由g 的極小性可知g n 可解，最后由冪零知是g 可解群，矛盾。因此m 2 , = 1 且p 是g 的極大子群，從而p s t 耽( a ) 且 尸= 舀( p ) 顯然此時(shí)有n g ( p ) 是2 - 冪零的，再由定理2 2 1 可知g 是互冪零 群利用f d t t h o m p s o n 的奇階定理即知g 是可解群矛盾 此矛盾表明g 是可解群 定理2 2 4 設(shè)p 是有限群g 的任意勖l o w 一子群若p n g 的每個(gè)極小階 子群在 b ( p ) 中弱補(bǔ)，則g 有超可解型勛l o 塔 證明對(duì)igl 用歸納法令g = m i n r r ( g ) 且q 函( g ) ，則由定理2 2 2 可知g 有正規(guī)q - 補(bǔ)k 顯然k 的每個(gè)s y t o - 子群也是g 的s y t 洲- 子群且 n k ( p ) g ( 尸) ，而p n j r5p ng ，故滿足定理假設(shè)條件，因此k 有超 可解型勖黜塔，從而g 也有超可解型s 彰倒塔 s y b 3 5 5 1 5 1 4 1 6 3 c o i n第1 8 頁(yè)，共2 8 頁(yè) 畢業(yè)論文 第三章關(guān)于廠群系的一些結(jié)果 3 1 基本概念與基本性質(zhì) 1 9 1 定義3 1 1 一設(shè)i 為任一個(gè)群系函數(shù)，用l f ( f ) 表示所有那樣的群g 的 全體，對(duì)于任意p 7 r ( g ) 有g(shù) b ( g ) ，( p ) 如果對(duì)于群系蘆有，= z f ( i ) ， 那么我們就說，局部定義了群系，或稱，為群系，的屏 r i 翻 定義3 1 2 一設(shè)i 為任一個(gè)群系函數(shù)，群g 的正規(guī)子群稱為在中是， 超中心的，如果中的每