摘要 以算子形式來表示李代數(shù)上的經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方程常數(shù)解的概念，首先 s e m o n o v - t i a n s h a n s k y 提出；后經(jīng)k u p e r s h m i d t 等人的工作，用算子構(gòu)造經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方程常數(shù)解的方法已取得相當(dāng)?shù)某晒?。受此啟發(fā)，本文首先推廣了p 一算子 的概念，使得。一算子能關(guān)聯(lián)到一種更為復(fù)雜的經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方程解一有理解。 這種推廣不僅不局限于與算子相關(guān)的李代數(shù)表示，更打破了單李代數(shù)的限制。接 著，我們給出兩種由p 算子構(gòu)造經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方程有理解的途徑。其中，一 種途徑描述了如何用相關(guān)于伴隨表示的移一算子給出一般李代數(shù)上的有理解；另 一種則不受與算子相關(guān)的李代數(shù)表示的限制，但要求表示空間內(nèi)的一個(gè)乘積是 平凡的。文章在最后用前面的方法給出了幾類三維李代數(shù)上經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方 程的所有低次有理解。 關(guān)鍵詞李代數(shù)， 帶參數(shù)的經(jīng)典y a n g - b a x t e r 方程， 有理解，o 一算子 ab s t r a c t m o t i v a t e db yt h es t u d yo ft h eo p e r a t o rf o r m so ft h ec o n s t a n tc l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o ng i v e nb ys e m o n o v - t i a n - s h a n s k y , k u p e r s h m i d ta n dt h eo t h e r s ，w e t r yt oc o n s t r u c tt h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o nw i t hp a - r a m e t e r sb yc e r t a i nl i n e a ro p e r a t o r s t h ef a c tt h a tt h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h ec y b e f o rt h es i m p l ec o m p l e xl i ea l g e b r a sc a nb ei n t e r p r e t e di nt e r mo fc e r t a i nl i n e a ro p e r o a t o r sm o t i v a t e su st og i v et h en o t i o no f0 一o p e r a t o r ss u c ht h a tt h e s el i n e a ro p e r a t o r s a r et h ep o p e r a t o r sa s s o c i a t e dt ot h ea d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n s s u c has t u d yc a nb e g e n e r a l i z e dt ot h el i ea l g e b r a sw i t hn o n d e g e n e r a t es y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m s f u r t h e r m o r ew eg i v eac o n s t r u c t i o no far a t i o n a ls o l u t i o no ft h ec y b ef r o ma no - o p e r a t o ra s s o c i a t e dt ot h ec o a d j o i n tr e p r e s e n t a t i o na n da na r b i t r a r yr e p r e s e n t a t i o n w i t hat r i v i a lp r o d u c ti nt h er e p r e s e n t a t i o ns p a c er e s p e c t i v e l y i np a r t i c u l a r ，w ec o n - s t r u c ta l lt h el o wd e g r e er a t i o n a ls o l u t i o n sf o rc e r t a i nt h r e e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s b ym e a n so fo u ro p e r a t o r s k e y w o r d s - l i ea l g e b r a ， c y b ew i t hp a r a m e t e r ，r a t i o n a ls o l u t i o n ，o - o p e r a t o r i i 南開大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，進(jìn)行 研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文 的研究成果不包含任何他人創(chuàng)作的、己公開發(fā)表或者沒有公開發(fā)表的 作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集 體，均己在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任 由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 氍砝。 q 沙7 年廠月f f 日 南開大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解南開大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、 掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供 本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國家有 關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版；在不以贏利為目的的前 提下，學(xué)?？梢赃m當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部內(nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。 學(xué)位論文作者簽名：歹7 1 。 沙c 1 年廠月e t 經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權(quán)書。 指導(dǎo)教師簽名：學(xué)位論文作者簽名： 解密時(shí)間：年 月日 各密級(jí)的最長保密年限及書寫格式規(guī)定如下： a no p e r a - r o ra p p r o a c ht ot h er 觚i o n a ls o l u t i o n so ft h ec y b e1 1 i n t r o d u c t i o n t h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ( c y b e ) f i r s ta r o s ei nt h es t u d yo ft h ei n v e r s es c a t t e r i n g t h e o r y ( s e e 1 】，【2 】) a n dh a sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo ft h ec l a s s i c a li n t e g r a b l e s y s t e m s ( 3 】，【4 】，【5 】，【6 】，e t c ) t h e r ea r es o m ec l o s er e l a t i o n sb e t w e e ni ta n dm a n yb r a n c h e s o fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sa n dp u r em a t h e m a t i c s ，l i k es y m p l e c t i cg e o m e t r y , q u a n t u mg r o u p s ， q u a n t u mf i e l dt h e o r ya n ds oo n ( s e e 7 】a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i n ) d e f i n i t i o n1 1 f o ral i ea l g e b r ago v e raf i e l df ，t h ec l a s s i c a l 阮哪一b a x t e re q u a t i o nw i t h s p e c t r a lp a r a m e t e r si sg i v e na s 【r ，r 】= r 1 2 ( u l ，u 2 ) ，r 1 3 ( u 1 ，u 3 ) + r 1 2 ( u l ，u s ) ，r 2 3 ( u 2 ，u 3 ) + 【r 1 3 ( u l ，u 3 ) ，r 2 3 ( u 2 ，u 3 ) = 0 ，( 1 1 ) w h e r eri saf u n c t i o nr ：f 2 _ g 固ga n dt h en o t a t i o n sr oa r eg i v e na sf o l l o w s f o ra n y r = a iob i gog ，s e t i r 1 2 = 。t 圓b i 。1 ，r 1 3 = o t 。1 固b i ，r 2 3 = 1 。t 。b i ， ( 1 2 ) iii a n dt h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o n si n ( 1 1 ) a r eg i v e ni nt h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r au ( g ) o ft h e l i ea l g e b r ag l e m m a1 1 f o raf i n i t e d i m e n s i o n a ll i n e a rs p a c eva n dat e n s o rr vov ，rc a nb e r e g a r d e da sal i n e a rm a pf r o mv + t ovb y ( r ，f o 叩) = ( r ( ) ，叼) h e r e ， ，叩v 。a n d ( ，) i st h en a t u r a lp a i rb e t w e e nva n dv 宰 p 伯o f s t r a i g h t f o r w a r d 口 i nt h i sw a y ，as o l u t i o nrg i v e nb yt h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ( 1 1 ) ，i sa l w a y sr e g a r d e d a sal i n e a rm a pw i t hp a r a m e t e r sb e t w e e nt w ol i n e a rs p a c e s m o s to ft h es t u d yo nt h ec l a s s i c a ly a n g b a x t e re q u a t i o n ( 1 1 ) i sc o n c e n t r a t e do nt h ef o l l o w i n g c a s e s ( i s ， 9 】， 1 0 1 ，e t c ) ：gi st a k e na saf i n i t e - d i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r ao v e rt h ec o m p l e x n u m b e rf i e l dc ，a n dri sam e r o m o r p h i cf u n c t i o na sw e l la sb e i n gn o n d e g e n e r a t e ，w h i c ha l s o d e p e n d so nas i n g l ep a r a m e t e r t h a ti s ，rs a t i s f i e s r ( u l ，u 2 ) = r ( u l 一亂2 ) ( 1 3 ) d e f i n i t i o n1 2 f o ral i ea l g e b r ago v e ra & l d ，l e tr ( u l ，亂2 ) b eas o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( 1 1 ) i ft h e r ei s a tl e a s to n ep o i n ti n 2w h i c hs a t i s f i e st h a tt h ea s s o c i a t e dl i n e a rm a p ( i n a 川o p e r a l o ra p p r o a c ht ot h er a 。l i o a ls o l u t i o n so ft h ec y b e2 l e m m a1 1 ) a tt h i sp o i n ti sa ni s o m o r p h i s mo ft w ov e c t o rs p a c e s ，t h e nr ( u l ，u 2 ) i ss a i dt ob e n o n d e g e n e r a t e a c c o r d i n gt ob e l a v i na n dd r i n f e l d 【8 】，t h en o n d e g e n e r a t es o l u t i o n so ft h ec l a s s i c a ly a n g - b a x t e re q u a t i o n ( 1 1 ) d e p e n d i n go nas i n g l ep a r a m e t e rf o rt h es i m p l ec o m p l e xl i ea l g e b r a s a r ed i v i d e di n t ot h r e ec a s e s ：t r i g o n o m e t r i c ，e l l i p t i ca n dr a t i o n a l i nt h i st h e s i s ，w ep a yo u r m a i na t t e n t i o nt ot h er a t i o n a ls o l u t i o n srw i t he x a c t l yo n ep o l eo v e rc o m p l e xf i e l di ns e c t i o n2 ， s e c t i o n3 ，s e c t i o n4 b u t ，i ns e c t i o n5 ，w ew i l lr e t u r nt ot h eg e n e r a lf i e l df ，s i n c ea l lt h er e l a t e d d e f i n i t i o n sa c t u a l l yd on o tl i eo nt h e i rn u m b e rf i e l d d e f i n i t i o n1 3 ar a t i o n a ls o l u t i o nro ft h ec y b ef o rag e n e r a ll i ea l g e b r ag ，i saf u n c t i o n f r o mf 2t ogq g ，w h i c hc a nb ew r i t t e na s ( i s ， 9 】 1 0 ，【1 1 】) r ( u l ，u 2 ) =u l 一亂2+ t o ( u 1 ，u 2 ) ，( 1 4 ) s a t i s f y i n gt h ec y b e ( 1 1 ) h e r e ，ti sas y m m e t r i ci n v a r i a n t ( s e ed e f i n i t i o n3 1 ) t e n s o ro fga n d r 0i sap o l y n o m i a li no u l 】pg “2 】- i np a r t i c u l a r ，w h e ngi sas i m p l el i ea l g e b r a ，ti sj u s tt h ec a s i m i re l e m e n to ri t sm u l t i p l e a ut h ew o r ki nt h i st h e s i si sa ne f f o r tt od e a lw i t ht h es o l u t i o n so ft h e ( a 俚；ei ns u c haf o r m h o w e v e r ，i ti sn o te a s yt og e ta ne x p l i c i te x p r e s s i o no fr 0f r o mt h ee q u a t i o n ( 1 4 ) m o r e o v e r ，i t i sa l s od i f f i c u l tt oe x t e n dt h o s ef a m o u sw o r kf o rt h es i m p l ec o m p l e xl i ea l g e b r a st ot h eo t h e r l i ea l g e b r a s o nt h eo t h e rh a n d ，f o ra n yr go g ，rc a nb ee x p r e s s e db yam a t r i xu n d e rab a s i s s oi t i sn a t u r a lt oc o n s i d e rt h ec o n d i t i o n ss a t i s f i e db yt h el i n e a rm a p sc o r r e s p o n d i n gt ot h em a t r i c e s ( c l a s s i c a lr m a t r i c e s ) s a t i s f y i n gt h ec y b e f o rt h o s ec o n s t a n ts o l u t i o n so ft h ec y b e ，s e m o n o v - t i a n - s h a n s k y ( 1 2 】) f i r s tg a v ea no p e r a t o rf o r mo ft h ec y b e d e f i n i t i o n1 4 f o ral i ea l g e b r ag ，a no p e r a t o r o n 孔o(hù) ft h ec y b ei sal i n e a rm a pr ：g g s a t i s f y i n g 【冗 ) ，冗( 耖) 】= r ( r ( z ) ，y 】+ k ，r ) 】) ，v 茁，y g ( 1 5 ) l e m m a1 2 ( 【1 2 】) a no p e r a t o r o r t no t h ec y b ei se q u i v a l e n tt ot h et e n s o r1 0 肌盯 t h ec y b ew h e nt h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n sa r es a t i s f i e d ：( 8 ) t h e r ee x i s t san o n d e g e n e r a t e s y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a r o r t no ng ；( b ) i ri ss k e w s y m m e t r i c r e m a r k1 1 n o t et h a te q u a t i o n ( 1 5 ) i se x a c t l yt h er o t a - b a x t e rr e l a t i o no fw e i g h t z e r o i nt h ev e r s i o no fl i ea l g e b r a s ( 13 ，【1 4 ) ，w h e r e a st h er o t a - b a x t e rr e l a t i o n sa r ei n t r o d u c e dt o g e n e r a l i z e st h ei n t e g r a t i o n - b y - p a r t sf o r m u l a ( 1 5 】) a n dt h e n ( t h ev e r s i o n so fa s s o c i a t i v ea l g e b r a s ) a no p e k a t o r a p p r o a c ht ot h er a t i o n a ls o l u t l o n so ft h ec y b e 3 p l a yi m p o r t a n tr o l e si nm a n yf i e l d si nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i c a lp h y s i c s ( c f 【1 6 】a n dt h e r e f e r e n c e st h e r e i n ) f u r t h e r m o r e ，k u p e r s h m i d t ( 【17 】) r e p l a c e dt h ea b o v ec o n d i t i o n ( a ) b yl e t t i n grb eal i n e a r m a pf r o mg 宰t oga n dw h e nri ss k e w s y m m e t r i c ，t h et e n s o rf o r mo ft h ec y b ei se q u i v a l e n tt o s u c hal i n e a rm a pr l e m m a1 3 ( 【17 】) f o ral i ea l g e b r ag ，7 gogi sc a l l e da no - o p e r a t o ra s s o c i a t e dt o c o a d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n rs a t i s f i e s 【r ( a ) ，r ( b 。) 】= r ( a d r ( a + ) ( 礦) 一a d 奉r ( b + ) ( o ) ) ，v a ，b g + ( 1 6 ) h e r eg 宰i st h ed u a ls p a c eo fga n da d i st h ed u a lr e p r e s e n t a t i o no ft h ea d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n ( c o a d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n ) o ft h el i ea l g e b r ag w h e nri ss k e w s y m m e t r i c ，ri sa nd o p e r a t o r 毽a n do n l yi li ti sat e n s o rs o l u t i o no t h ec y b e m o r e o v e r ，k u p e r s h m i d tg e n e r a l i z e dt h ea b o v ea d + t ob ea na r b i t r a r yr e p r e s e n t a t i o np ：g _ g l ( v ) o fg ，a n dg a v et h ef o l l o w i n gd e f i n i t i o n d e f i n i t i o n1 5 ( 1 7 】) l e tgb eal i ea l g e b r aa n dp ：g _ g l ( v ) b ear e p r e s e n t a t i o no fg l e t t ：v _ gb eal i n e a rm a ps a t i s f y i n g 【t ( 札) ，r ( 口) = t ( p ( t ( 札) ) 口一p ( t ( 口) ) u ) ，v u ，口v ( 1 7 ) s u c ha l lo p e r a t o rti sc a l l e da nd o p e r a t o ra s s o c i a t e dt o p i tw a sa l s om e n t i o n e di n 1 8 m o r e o v e r ，s u c ha l l0 o p e r a t o ri n d e e dg i v e sac o n s t a n ts o l u t i o n o ft h ec y b ei nal a r g e rl i ea l g e b r a ( f l 9 】) t h e ni ti sn a t u r a lt oc o n s i d e rh o wt oe x t e n ds u c ha ni d e ai no r d e rt os t u d yt h er a t i o n a l s o l u t i o n so ft h ec y b e ( 1 1 ) ，w h i c hi st h em a i na i mi nt h i st h e s i s w ew i l lp o i n to u tt h a tt h i s s t u d yi sn o tas i m p l eg e n e r a l i z a t i o ns i n c ei ti sq u i t ed i f f e r e n t 矗o mt h es t u d yo ft h ec o n s t a n t s o l u t i o n s ( s e et h ed i s c u s s i o ni ns e c t i o n6 ) ，o ro t h e rw a y st os o l v et h ee q u a t i o n ( 1 1 ) r e m a r k1 2 i nf a c t ，t h ea u t h o rf o u n dt w ow a y st od e f i n eal i n e a ro p e r a t o rf o rar a t i o h a l s o l u t i o n o n eo ft h e mh a sa p p e a r e di nx u sw o r kf 2 0 x ua l s oc o n s i d e r e dt ou s et h a to p e r a t o r f o r mt os o l v et h ec y b e ( 1 1 ) i n 2 0 ( e v e nh ee x t e n d e dh i ss t u d yt oa n yn o n a s s o c i a t i v e a l g e - b r a ) ，w h i l ew ec h o o s et h eo t h e rw a y w ew o u l dl i k et op o i n to u tt h a ta l t h o u g ht h ei d e a sa r e q u i t es i m i l a r ( w h i c hb o t ha r ei nf a c tm o t i v a t e db yt h es t u d yo fs e m o n o v - t i a n - s h a n s k y 1 2 ) ， t h e ya r et w od i f f e r e n ta p p r o a c h e s o n eo ft h em a i nd i f f e r e n c e si st h a tx u sa p p r o a c hg i v e sa l i n e a ro p e r a t o rw i t hp a r a m e t e r s b u to u rf o l l o w i n gw o r k sf o c u so nt h el i n e a ro p e r a t o r so nl i e a l g e b r a sw i t hp a r a m e t e r s a n o t h e re s s e n t i a ld i f f e r e n c ei st h a tx u sm e t h o d so n l yw o r kw e l lf o r a n o p e r a t o r a p p r o a c ht ot h era t i o n a ls o l u t i o n so ft h ec y b e4 t r i g o n o m e t r i cs o l u t i o n s ，w h e r e a sw ep a i d f o r m ( 1 4 ) t h e ya l et w ot o t a l l yd i f f e r e n t t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s o u rm a i na t t e n t i o nt ot h er a t i o n a ls o l u t i o n sw i t ht h e k i n d so fs o l u t i o n so ft h ec y b e i ns e c t i o n2 ，w ei n t e r p r e tt h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h ec y b ef o rt h es i m p l ec o m p l e xl i e a l g e b r a si nt e r m so fc e r t a i nl i n e a ro p e r a t o r sw h i c hm o t i v a t e s u st og i v et h en o t i o no fo - o p e r a t o r s s u c ht h a tt h e s eh n e a ro p e r a t o r sa l et h eo - o p e r a t o r sa s s o c i a t e dt ot h ea d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n s s u c has t u d yc a l lb eg e n e r a l i z e dt ot h el i ea l g e b r a sw i t hn o n d e g e n e r a t es y m m e t r i ci n v a r i a n t b i l i n e a rf o r m s i ns e c t i o n3 ，w eg e n e r a l i z et h ec a s i m i re l e m e n ta p p e a r i n gi nt h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h e c y b ei ns e c t i o n2 t oas y m m e t r i ci n v a r i a n tt e n s o ru n d e rt h ea c t i o no ft h ea d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n ， w h i c hg i v e sac o n s t r u c t i o no far a t i o n a ls o l u t i o no ft h ec y b ef r o ma no - o p e r a t o ra s s o c i a t e dt o t h ec o a d j o i n tr e p r e s e n t a t i o n i ns e c t i o n4 ，w eg i v eac o n s t r u c t i o no far a t i o n a ls o l u t i o no ft h ec y b ef r o ma no - o p e r a t o r a s s o c i a t e dt oa na r b i t r a r yr e p r e s e n t a t i o nw i t hat r i v i a lp r o d u c ti nt h er e p r e s e n t a t i o ns p a c e i ns e c t i o n5 ，w ec o n t i n u et h es t u d yi ns e c t i o n3 w el i s ta l lt h el o wd e g r e er a t i o n a ls o l u t i o n s o ft h ec y b ef o rs o m et h r e e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a s i ns e c t i o n6 ，w eg i v es o m ec o n c l u s i o n sa n df u r t h e rd i s c u s s i o n a no p e r a t o r a p p r o a c ht ot h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h ec y b e5 2 a no - - o p e r a t o ra s s o c i a t e dt oar a t i o n a ls o l u t i o no ft h ec y b ef o ral i ea l g e b r a w i t ha n o n d e g e n e r a t es y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a rf o r m d e f i n i t i o n2 1 l e tgb eal i ea l g e b r a w es a yt h a t 盯：gog gogi st h ee x c h a n g i n g o p e r a t o r , i f 盯( zoy ) = yqzf o ra n yz ，y g f o ra n yr = a i o 玩gog ，w es e t t r 2 1 = 仃( 7 ) = b i 。a i ( 2 1 ) i d e f i n i t i o n2 2 ab i l i n e a rf o r m 召o nal i ea l g e b r agi ss a i dt ob ei n v a r i a n ti f 召s a t i s f i e s 召( k ，糾，z ) = b ( x ，【y ，2 4 ) ，比，y ，名g 。 ( 2 2 ) l e m m a2 1 ( 2 4 】) s u p p o s et h a tgi sac o m p l e xs i m p l el i ea l g e b r a l e tk ( ，) b et h ek i l l i n g 加mo ng t h e nk ( ，) i st h eu n i q u en o n d e g e n e r a t es y m m e t r i ci n v a r i a n tb i l i n e a ri o mo ngu p t oas c a l a rm u l t i p l i c a t i o n d e f i n i t i o n2 3 l e tr ( u l ，u 2 ) b ean o n d e g e n e r a t er a t i o n a ls o l u t i o no ft h ec y b e ( 1 1 ) f o ra l i ea l g e b r ag r ( u l ，u 2 ) i ss a i dt os a t i s f yt h eu n i t a r yc o n d i t i o ni fr ( u l ，u 2 ) s a t i s f i e s r ( u l ，u 2 ) + r 2 1 ( 亂2 ，u 1 ) = 0 ( 2 3 ) w en e e ds o m en o t a t i o n sh e r e a si nd e f i n i t i o n1 3 ag e n e r a lf o r mo far a t i o n a ls o l u t i o nri s g i v e na 8 r ( u l ，u 2 ) =u l u 2+ r 0 ( u l ，u 2 ) ， ( 2 4 ) w h e r et = e io e ii st h ec a s i m i r e l e m e n to fg ，a n d e t ) i sa no r t h o n o r m a lb a s i so fga s s o c i a t e d i t ot h ek i l l i n gf o r m 忍( ，) a n dr 0 ( u l ，u 2 ) g 也1 og 【亂2 】 l e m ，m a2 2 ( 1 0 】) f o ra n ys i m p l el i ea l g e b r ag ，r 0 ( u l ，u 2 ) g u 1 og u 2 i nt h ee q u a t i o n ( 2 | ) c a nb ew r i t t e na 8 km r o ( u l ，u s ) = p ( 伽f p 。1 ) 。e i 譴， ( 2 5 ) i = 1p = 0 w h e r epi sal i n e a ro p e r a t o r 加mg u 一1u 一1t og u ，m ，k n ，a n dd i m g = k r e m a r k2 1 i n 2 0 ，t h eo p e r a t o rf o r mr sz ) r e l a t e dt oas o l u t i o nr ( z ) o ft h ec y b e ( 1 1 ) s a t i s f y i n gt h ee q u a t i o n ( 1 3 ) i sg i v e nb y r ( 名) = r k ) ( e t ) 。e i ， i e q ( 2 6 ) a n o p e r a t o ra p p r o a c ht ot h er a t i o n a ls o l u t i o n so ft h e c y b e 6 w h e r e e , i i q i sab a s i s o fg ，r ( z ) i saf u n c t i o nw i t hd o m a i n 囝cca n dr a n g egog ， r 7 ( z ) e n d ( g ) c o m p a r i n gw i t ht h ee q u a t i o n s ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) ，w ek n o wt h a tt h ed o m a i no f t h el i n e a ro p e r a t o rpi nt h ee q u a t i o n ( 2 5 ) i sg 釷一1 】缸一1 ( 1 a t e rw ew i l le x t e n di tt ob et h ew h o l e a l g e b r a0 u ，u _ 1 】) ，w h e r e a st h el i n e a ro p e r a t o r 一( z ) a p p e a r i n gi