趨勢外推法,一、趨勢外推法概念：如果通過對時間序列的分析和計算,能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經濟變量y關于時間t的變化和趨勢,那么當有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時,便可用此模型對該社會經濟現(xiàn)象的未來進行預測,這就是趨勢外推法。,趨勢外推法的兩個假定：（1）社會經濟現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進的,沒有跳躍式突變；（2）社會經濟現(xiàn)象未來與過去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。,二、趨勢模型的種類多項式曲線外推模型：一次（線性）預測模型：二次（二次拋物線）預測模型：三次（三次拋物線）預測模型：一般形式：,指數(shù)曲線預測模型：一般形式：修正的指數(shù)曲線預測模型：,對數(shù)曲線預測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預測模型：龔珀茲曲線預測模型：,三、趨勢模型的選擇方法經驗法:數(shù)學和經濟分析結合,選定模型圖形識別法：這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型。有時所繪圖形與幾種數(shù)學模型的曲線相近,可試算,計算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。,差分法：利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達到平穩(wěn)序列。差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類。一階、二階、k階差分廣義差分法就是先計算時間序列的廣義差分(時間序列的倒數(shù)或對數(shù)的差分,以及相鄰項的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時間序列差分的特點,選擇適宜的數(shù)學模型。,差分法識別標準：,多項式趨勢預測模型及應用特別:直線(一元時間回歸)模型參數(shù)估計的簡捷算法套用參數(shù)估計公式,注意到,yt一般都是等間隔的時期或時點指標值,它與時間t并無嚴格的因果關系。時間t的取值只起到一種標明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個取值以原點為對稱,從而有化簡公式為,例1:某市最近幾年工業(yè)總產值資料如下表所列,試預測1999年該市的工業(yè)總產值。,解:若畫出散點圖,看出,時間序列呈明顯的線性趨勢。計算一階差分,基本上接近一個常數(shù),其波動范圍在0.50.8之間。因此,可配一元線性時間回歸模型進行預測。利用如上公式,易得回歸模型為1999年對應的t=5預測該年的工業(yè)總產值,指數(shù)曲線趨勢外推法,一、常見的指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線預測模型：修正指數(shù)曲線預測模型:,二、模型的選擇廣義差分法對于指數(shù)曲線,一階差比率(也稱環(huán)比)為常數(shù)對修正的指數(shù)曲線,一階差分比率當時間序列算得的一階差分比率大致相等時,就可以配修正指數(shù)曲線模型進行預測。,指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用,對指數(shù)曲線模型取對數(shù),作變換,轉化為直線模型。為計算方便,仍然約定于是,例2:某自行車廠最近幾年產量數(shù)據(jù)如下表所列,試預測該廠1999年的產量。指數(shù)曲線預測模型:預測1999年的產量,曲線的擬合優(yōu)度分析實際的預測對象往往無法通過圖形直觀確認某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標準誤差來作為優(yōu)度好壞的指標：,例3:下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額(按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額。,（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為y軸，年份為x軸。,（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進行參數(shù)擬合。適用的二次曲線模型為：適用的指數(shù)曲線模型為：,（3）進行二次曲線擬合。首先產生序列，得到估計模型為：其中調整的，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為151.7。(4)進行指數(shù)曲線模型擬合。對模型兩邊取對數(shù)：產生序列，之后進行普通最小二乘估計該模型,最終得到估計模型為：,其中調整的，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運用方程：進行預測將會取得較好的效果。,修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用,對于修正指數(shù)曲線模型一般0B1,y=K為其漸進線水平。用三段總和法來估計參數(shù),設時間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計式為,修正指數(shù)曲線預測模型1）模型的形式,2）模型的識別,例4我國衛(wèi)生機構人員總數(shù)如表4.13所示，試預測2003年我國衛(wèi)生機構總人數(shù)。解:繪制散點圖，如圖4.13所示。,得:,所以我國衛(wèi)生機構總人數(shù)修正指數(shù)曲線模型為:將代入模型,得到2003年我國衛(wèi)生機構總人數(shù)的預測值:,例5:某商品1991年投放市場以來,社會總需求量統(tǒng)計資料如下表所列,試預測2000年的社會總需求量。解:描散點圖,初步確定模型;計算一階差分比率,進一步驗證選用修正指數(shù)曲線模型是否合適;估計模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線預測模型:預測2000年的社會總需求量:,此例反映了這樣的時間序列變化規(guī)律:初期迅速增加,一段時期后增長量逐漸降低,而逐增長量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時間序列的發(fā)展趨勢就適宜用修正指數(shù)曲線來描述和預測。,生長曲線趨勢外推法,一般產品(或技術)的發(fā)展,基本上都要經歷一個萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過程。這里介紹兩種能夠較好地描述產品或技術生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型:皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。一、皮爾曲線模型及其應用皮爾(Pearl)是美國生物學家和人口統(tǒng)計學家,提出了著名的S型生長曲線模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。,皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預測;尤其適合處于成熟期的商品或技術的發(fā)展趨勢分析與預測。模型的識別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計及應用:令則有于是,可套用修正指數(shù)曲線的估計參數(shù)公式。注意,L是生長曲線的上限,有時通過定性分析或專家咨詢所定的L值往往比由公式計算得到的L值更接近實際,預測效果更好。,例6:吉林省19661983年年度人口數(shù)如下表所列,試預測該省1984年以后年度人口數(shù)。,解:人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。通過計算時間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線趨勢預測模型為:通過計算回溯擬合值與觀察擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當好。但是1988年以后,預測誤差越來越大。通過調整吉林省2010年人口的上限值L,重新計算模型中相應的參數(shù)a,修正皮爾曲線模型。對照模型調整后的人口預測值與實際值,計算預測誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開始,修正模型的預測效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢宜用兩個皮爾曲線模型刻畫,分時間段使用。,二、龔珀茲曲線預測模型及應用,龔珀茲曲線的數(shù)學表達式是:其中參數(shù):00與皮爾曲線類似,龔珀茲曲線也適于對產品或技術作生命周期分析,尤其適于對各種新技術或產品市場容量的發(fā)展趨勢作分析與預測。模型的識別:所以,當算得的時間序列各項對數(shù)的一階差分比率幾近相等時,就可配以龔珀茲曲線模型進行預測。模型的參數(shù)與應用:經變換,可化為修正指數(shù)曲線。,龔珀茲(Compertz)是英國統(tǒng)計學家和數(shù)學家。,龔珀茲曲線預測模型1）模型的形式,2）模型的識別,將其變換為對數(shù)形式,3）模型參數(shù)k、a、b的三和值估計法,仿照修正指數(shù)曲線參數(shù)的確定方法