達州市 2013 年高中階段教育學(xué)校招生統(tǒng)一考試 數(shù) 學(xué) 本試卷分為第 I 卷（選擇題）和第 II 卷（非選擇題）兩部分。第 I 卷 1 至 2 頁，第 II卷 3 至 10 頁?？荚嚂r間 120 分鐘，滿分 120 分。 第 I 卷（選擇題，共 30 分） 溫馨提示： 1、答第 I 卷前，請考生務(wù)必將姓名、準考證號、考試科目等按要求填涂在機讀卡上。 2、每小題選出正確答案后，請用 2B 鉛筆把機讀卡上對應(yīng)題號的答案標(biāo)號涂黑。 3、考試結(jié)束后，請將本試卷和機讀卡一并交回。 一選擇題： （本題 10 個小題，每小題 3 分，共 30 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符 合題目要求的） 1 2013 的絕對值是（ ） A 2013 B -2013 C 2013 D12013 答案 ： A 解析 ：負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，故選 A。 2某中學(xué)在蘆山地震捐款活動中，共捐款二十一萬三千元。這一數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ） A321310元 B42.1310元 C52.1310元 D60.21310元 答案 ： C 解析 ： 科學(xué)記數(shù)法寫成： 10na 形式，其中 1 10a ， 二十一萬三千元 21300052.1310元 3下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（ ） 答案 ： D 解析 ： A、 C 只是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形； B 是中心對稱圖形，不是軸對稱軸圖形，只有 D 符合。 4甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價相同的商品，甲超市先降價 20%，后又降價 10%；乙超市連續(xù)兩次降價 15%；丙超市一次降價 30%。那么顧客到哪家超市購買這種 商品 更合算 （ ） A甲 B乙 C丙 D一樣 答案 ： C 解析 ：設(shè)原價 a 元，則降價后，甲為： a（ 1 20%）（ 1 10%） 0.72a 元， 乙為：（ 1 15%） 2a 0.7225a 元，丙為：（ 1 30%） a 0.7a 元，所以，丙最便宜。 5 下面是一天中四個不同時刻兩座建筑物的影子，將它們按時間先后順序正確的是（ ） A（ 3）（ 1）（ 4）（ 2） B（ 3）（ 2）（ 1）（ 4） C（ 3）（ 4）（ 1）（ 2） D（ 2）（ 4）（ 1）（ 3） 答案 ： C 解析 ：因為太陽從東邊出來，右邊是東，所以，早上的投影在左邊，（ 3）最先，下午的投影在右邊，（ 2）最后，選 C。 6若方程23 6 0x x m 有兩個不相等的實數(shù)根，則 m 的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（ ） 答案 ： B 解析 ：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以， 36 12m 0，得 m 3，故選 B。 7下列說法正確的是（ ） A一個游戲中獎的概率是1100，則做 100 次這樣的游戲一定會中獎 B為了了解全國中學(xué)生的心理健康狀況，應(yīng)采用普查的方式 C一組數(shù)據(jù) 0， 1， 2， 1， 1 的眾數(shù)和中位數(shù)都是 1 D若甲組 數(shù)據(jù)的方差2 0.2S 甲，乙組數(shù)據(jù)的方差2 0.5S 乙，則乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定 答案 ： C 解析 ：由概率的意義，知 A 錯；全國中學(xué)生較多，應(yīng)采用抽樣調(diào)查，故 B 也錯；經(jīng)驗證 C正確；方差小的穩(wěn)定，在 D 中，應(yīng)該是甲較穩(wěn)定，故 D 錯。 8如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧 CD，點 O 是弧 CD 的圓心），其中 CD=600 米， E 為弧 CD 上一點，且 OE CD，垂足為 F， OF=3003米，則這段 彎路的長度為（ ） A 200 米 B 100 米 C 400 米 D 300 米 答案 ： A 解析 ： CF 300， OF3， 所以， COF 30， COD 60， OC 600，因此，弧 CD 的長為： 60 600160 200 米 9如圖，在 Rt ABC 中， B=90， AB=3， BC=4，點 D 在 BC 上，以 AC 為對角 線的所有 ADCE 中， DE 最小的值是 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案 ： B 解析 ：由勾股定理，得 AC 5，因為平行邊形的對角線互相平分，所以，DE 一定經(jīng)過 AC 中點 O，當(dāng) DE BC 時， DE最小，此時 OD 32，所以最小值 DE 3 10二次函數(shù)2y ax bx c 的圖象如圖所示，反比例函數(shù)by x與一次函數(shù)y cx a在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ） 答案 ： B 解析 ：由二次函數(shù)圖象，知 a 0， c 0，2ba 0，所以， b 0， 所以，反比例函數(shù)圖象在一、三象限，排除 C、 D，直線 y cx a 中，因為 a 0，所以，選 B。 第 II 卷（非選擇題，共 90 分） 二填空題：（本 題 6 個小題，每小題 3 分，共 18 分。把最后答案直接填在題中的橫線上） 11分解因式：3 9xx=_ _. 答案 ： x（ x 3）（ x 3） 解析 ：原式 x（ x2 9） x（ x 3）（ x 3） 12某校在今年“五四”開展了“好書伴我成長”的讀書活動。為了解八年級 450 名學(xué)生的讀書情況，隨機調(diào)查了八年級 50名學(xué)生本學(xué)期讀書冊數(shù)，并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)制成了扇形統(tǒng)計圖，則該校八年級學(xué)生讀書冊數(shù)等于 3 冊的約有 名。 答案 ： 162 解析 ：讀書冊數(shù)等于 3 的約占比例： 1 6% 24% 30% 6% 36%， 36% 450 162 13點 11,xy、 22,在反比例函數(shù)ky x的圖象上，當(dāng) 120xx時，yy,則 k 的取值可以是 _ _（只 填一個符合條件的 k 的值 ） . 答案 ： 1 解析 ：由題知， y 隨 x 的增大而增大，故 k 是負數(shù)，此題答案不唯一。 14 如果實數(shù) x 滿足2 2 3 0xx ，那么代數(shù)式2 1211x的值為 _ _. 答案 ： 5 解析 ：由知，得 2 2xx 3，原式 2 222 ( 1 ) 2 21xx x x xx 5。 15如圖，折疊矩形紙片 ABCD，使 B 點落在 AD 上一點 E 處，折痕的兩端點分別在 AB、BC 上（含端點），且 AB=6， BC=10。設(shè) AE=x，則 x 的取值范圍是 . 答案 ： 2 x 6 解析 ：如圖，設(shè) AG y，則 BG 6 y，在 Rt GAE 中， x2 y2（ 6 y） 2，即 3 6 1 2xy（ 8(0 )3y，當(dāng) y 0時， x 取最大值為 6；當(dāng) y 83時 ,x 取最小值 2，故有 2 x 6 16如圖，在 ABC 中， A=m， ABC 和 ACD 的平分線交于點 A1，得 A1； A1BC 和 A1CD 的平分線交于點 A2，得 A2； A2012BC 和 A2012CD 的平分線交于點 A2013，則A2013= 度 。 答案 ：20132m 解析 ： A1B、 A1C 分別平分 ABC 和 ACD， ACD=k A1CD， ABC=2 A1 BC， 而 A1CD= A1+ A1BC， ACD= ABC+ A， A=2 A1， A1=2m， 同理可得 A1=2 A2，即 A=22 A2， A2=22m ， 所以，猜想： A2013=20132m 三解答題（ 72 分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟） （一）（本題 2 個小題，共 13 分） 17（ 6 分）計算： 20 12 12 t a n 60 3 解 析 ：原式 1 2 3 3 9 10 3 18（ 7 分）釣魚島自古以來就是中國領(lǐng)土。中國有關(guān)部門已對釣魚島及其附屬島嶼開展常態(tài)化監(jiān)視監(jiān)測。如圖， E、 F 為釣魚島東西兩端。某日，中國一艘海監(jiān)船從 A 點向正北方向巡航，其航線距離釣魚島最近距離 CF=203公里，在 A 點測得釣魚島最西端 F在最東端 E 的東北方向（ C、 F、 E 在 同一直線上）。求釣魚島東西兩端的距離。（2 1.41，3 1.73，結(jié)果精確到 0.1） 解析 ： 由題知，在 Rt ACF 中， ACF=90 , A=30， CF=203公里 . cot30 =3AC. 解得， AC=60（公里） . (2 分 ) 又 E 在 B 的東北方向，且 ACF=90 E= CBE=45， CE=CB. (4 分 ) 又 CB=AC-AB=60-22=38(公里 )， CE=38 公里 . (5 分 ) EF=CE-CF=38-203 3.4（公里） (6 分 ) 答：釣魚島東西兩端的距離約為 3.4 公里 . (7 分 ) （二）（本題 2 個小題，共 14 分） 19（ 7 分）已知 1 1fx xx ，則 111 1 1 1 1 2f 2 2 2 1 2 3f 已知 141 2 3 15f f f f n ，求 n 的值。 解析 ： 由題知 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n) =211+321+43+ +)1( 1nn =1-21+ -3+1-4+ +n1-11 =1-1n (4 分） =n. (4 分） 又 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(n)=1514, 1nn=1514. 解得 n=14. (6 分） 經(jīng)檢驗， n=14 是上述方程的解 . 故 n 的值為 14. (7 分） 20（ 7 分）某中學(xué)舉行“中國 夢我的夢 ”演講比賽。志遠班的班長和學(xué)習(xí)委員都想去，于是老師制作了四張標(biāo)有算式的卡片， 背面朝上洗勻后，先由班長抽一張，再由學(xué)習(xí)委員在余下三張中抽一張。如果兩張卡片上的算式都正確，班長去；如果兩張卡片上的算式都錯誤，學(xué)習(xí)委員去；如果兩張卡片上的算式一個正確一處錯誤，則都放回去，背面朝上洗勻后再抽。 這個游戲公平嗎？請用樹狀圖或列 表的方法，結(jié)合概率予以說明。 解析：公平 . (1 分 ) 用列表法或樹狀圖列出該事件的等可能情況如下： 由此可知該事件共有 12 種等可能結(jié)果 . (4 分 ) 四張卡片中， A、 B 中的算式錯誤， C、 D 中的算式正確， 都正確的有 CD、 DC 兩種，都錯誤的有 AB、 BA 兩種 . (5 分 ) 班長去的概率 P（班長去） =122=61， 學(xué)習(xí)委員去的概率 P（學(xué)習(xí)委員去） = = ， P（班長去） =P（學(xué)習(xí)委員去 ) 這個游戲公平 . (7 分 ) （三）（本題 2 個小題，共 16 分） 21（ 8 分）已知反比例函數(shù)13ky x的圖象與一次函數(shù) 2y k x m的圖象交于 A 1,a、 B1,33兩點，連結(jié) AO。 （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式； （ 2）設(shè)點 C 在 y 軸上，且與點 A、 O 構(gòu)成等腰三角形，請直接寫出點 C的坐標(biāo)。 解析 ： (1) y=xk31的圖像過點（31， -3）， k1=3xy=3 (-3)=-3. 反比例函數(shù)為 y x. (1 分） a= 1=1， A（ -1,1） . (2 分） .331,122mkmk 解得.2,32mk 一次函數(shù)為 y=-3x-2. (4 分） 16、 C(0,2)、 (5 分） 或（ 0， - ）、 (6 分） 或（ 0,1）、 (7 分） 或（ 0， 2） . (8 分） 22（ 8 分）選取二次三項式 2 0ax bx c a 中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方。例如 選取二次項和一次項配方： 22 4 2 2 2x x x ； 選取二次項和常數(shù)項配方： 22 4 2 2 2 2 4x x x x ， 或 22 4 2 2 4 2 2x x x x 選取一次項和常數(shù)項配方： 24 2 2 2x x x x 根據(jù)上述材料，解決下面問題： （ 1）寫出2 84xx的兩種不同形式的配方； （ 2）已知22 3 3 0x y xy y ，求yx的值。 解析 ： ：（ 1）2 x2-8x+16-16+4=(x-4)2-12 或2（ x-2） 2-4x (2) 02)2(432)2(03322yyxyyyxx X=-1,y=2.因此 xy=(-1)2=1 （四）（本題 2 個小題，共 17 分） 23（ 8 分）今年， 6 月 12 日為端午節(jié)。在端午節(jié)前夕，三位同學(xué)到某超市調(diào)研一種進價為2 元的粽子的銷售情況。請根據(jù)小麗提供的信息，解答小華和小明提出的問題。 （ 1）小華的問題解答： 解析 ：（ 1）解：設(shè)實現(xiàn)每天 800 元利潤的定價為 x 元 /個，根據(jù)題意，得 （ x-2)（ 500-1.03x 10） =800 . (2 分） 整理得： x2-10x+24=0. 解之得： x1=4,x2=6. (3 分） 物價局規(guī)定，售價不能超過進價的 240%，即 2 240%=4.8（元） . x2=6 不合題意 ,舍去 ,得 x=4. 答：應(yīng)定價 4 元 /個，才可獲得 800 元的利潤 . (4 分） （ 2）解：設(shè)每天利潤為 W 元，定價為 x 元 /個，得 W=（ x-2)(500-1.03x 10) =-100x2+1000x-1600 =-100(x-5)2+900. (6 分 ） x 5 時 W 隨 x 的增大而增大 ,且 x 4.8， 當(dāng) x=4.8 時， W 最大， W 最大 =-100（ 4.8-5)2+900=896 800 . (7 分） 故 800 元不是最大利潤 .當(dāng)定價為 4.8 元 /個時，每天利潤最大 . (8 分） 24（ 9 分）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的。下面是一個案例，請補充完整。 FF 原題：如圖 1，點 E、 F 分別在正方形 ABCD 的邊 BC、 CD 上， EAF=45，連接EF，則 EF=BE+DF，試說明理由。 （ 1）思路梳理 AB=CD， 把 ABE 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 ADG，可使 AB 與 AD重合。 ADC= B=90， FDG=180，點 F、 D、 G共線。 根據(jù) _SAS_，易證 AFG _ AFE_，得 EF=BE+DF。 （ 2）類比引申 如圖 2，四邊形 ABCD 中， AB=AD， BAD=90點 E、 F分別在邊 BC、 CD 上， EAF=45。若 B、 D都不是直角，則當(dāng) B與 D 滿足等量關(guān)系 _互補_時，仍有 EF=BE+DF。 （ 3）聯(lián)想拓展 如圖 3，在 ABC 中， BAC=90， AB=AC，點 D、 E 均在邊 BC 上，且 DAE=45。猜想 BD、 DE、 EC 應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程。 解： BD2+EC2=DE2 解析： (1)SAS (1 分） AFE (2 分） (2) B+ D=180 (4 分） (3)解 ： BD2+EC2=DE2. (5 分 ） AB=AC， 把 ABD 繞 A 點逆時針旋轉(zhuǎn) 90至 ACG，可使 AB 與AC 重合 . ABC 中， BAC=90 . ACB+ ACG= ACB+ B=90 ,即 ECG=90 . EC2+CG2=EG2. (7 分） 在 AEG 與 AED 中 , EAG= EAC+ CAG= EAC+ BAD=90 - EAD=45 = EAD, 又 AD=AG， AE=AE， AEG AED. DE=EG.又 CG=BD, BD2+EC2=DE2. (9 分 ） （五）（本 題 12 分 ） 25如圖，在直角體系中，直線 AB 交 x 軸于點 A（ 5， 0），交 y 軸于 點 B，AO 是 M 的直徑，其半圓交 AB 于點 C，且 AC=3。取 BO 的中點 D，連接 CD、 MD 和 OC。 （ 1）求證： CD 是 M 的切線； （ 2）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點 D、 M、 A，其對稱軸上有一動點 P，連接PD、 PM，求 PDM 的周長最小時點 P 的坐標(biāo)； （ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng) PDM 的周長最小時，拋物線上是否存在點Q，使16QAM PDMSS？若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。 解析 ： （ 1）證明：連結(jié) CM. OA 為 M 直徑 , OCA=90 . OCB=90 . D 為 OB 中點 , DC=DO. DCO= DOC. (1 分 ） MO=MC, MCO= MOC. (2 分 ） DCM= DCO+ MCO= DOC+ MOC= DOM=90 . (3 分 ） 又點 C 在 M 上， DC 是 M 的切線 . (4 分） （ 2）解：在 Rt ACO 中 ,有 OC=22 ACOA . 又 A 點坐標(biāo)（ 5， 0）