第5講空間向量及其運(yùn)算 知識(shí)梳理1 共線向量 共面向量定理和空間向量基本定理 1 共線向量定量對(duì)空間任意兩個(gè)向量a b b 0 b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使得 b a xa yb xe1 ye2 ze3 a b 互相垂直 0 a b a b cos a b a b即a b a b cos a b 2 空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律 結(jié)合律 a b 交換律 a b 分配律 a b c a b b a a b a c 3 空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 a1b1 a2b2 a3b3 a1 b1 a2 b2 a3 b3 a1b1 a2b2 a3b3 0 感悟 提升 1 一種思想理解空間向量概念 性質(zhì) 運(yùn)算 注意和平面向量類比 如 5 2 兩種方法一是用向量方法解決立體幾何問題 樹立 基底 意識(shí) 利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算 如 5 二是強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算 如 6 7 9 10 考點(diǎn)二共線定理 共面定理的應(yīng)用 例2 已知e f g h分別是空間四邊形abcd的邊ab bc cd da的中點(diǎn) 用向量方法求證 1 e f g h四點(diǎn)共面 2 bd 平面efgh 考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 例3 如圖 在平行四邊形abcd中 ab ac 1 acd 90 把 adc沿對(duì)角線ac折起 使ab與cd成60 角 求bd的長 訓(xùn)練3 如圖 在直三棱柱abc a b c 中 ac bc aa acb 90 d e分別為ab bb 的中點(diǎn) 1 求證 ce a d 2 求異面直線ce與ac 所成角的余弦值 1 利用向量的線性運(yùn)算和空間向量基本定理表示向量是向量應(yīng)用的基礎(chǔ) 2 利用共線向量定理 共面向量定理可以證明一些平行 共面問題 利用數(shù)量積運(yùn)算可以解決一些距離 夾角問題 3 利用向量解立體幾何題的一般方法 把線段或角度轉(zhuǎn)化為向量表示 用已知向量表示未知向量 然后通過向量的運(yùn)算或證明去解決問題 其中合理選取基底是優(yōu)化運(yùn)算的關(guān)鍵 答案0 反思感悟 與空間幾何體有關(guān)的向量運(yùn)算問題 當(dāng)運(yùn)算的結(jié)果與幾何體的形狀無關(guān)時(shí) 可構(gòu)造特殊的幾何體 如正四面體 正方體等 利用特殊幾何體的邊角關(guān)系 使運(yùn)算能夠快速準(zhǔn)確的解答 提高做題速度和效率 自主體驗(yàn) 2013 北京卷 如圖 在棱長為2的正方