1 A BCD丁AB CD丙AB CD戊ABCD甲ABCD乙新題型研究之 探究性問題（課標版原創(chuàng)） 【考點知曉】探究性試題通常是指必須經(jīng)過觀察、試驗、分析、比較、類比、歸納、猜測、推斷等探索活動把問題的條件、解題的依據(jù)、解題的方法或問題的結(jié)論加以明確的試題 .這類試題不具有定向的解題思路，解題時總要有合情合理、實事求是的分析，要把歸納與演繹協(xié)調(diào)配合起來，把直覺發(fā)現(xiàn)與邏輯推理相互結(jié)合起來，把一般能力和數(shù)學能力同時發(fā)揮出來 .通過探究性試題的解題活動，不僅可以促進數(shù)學知識和數(shù)學方法的鞏固和掌握，還有利于思維能力的全面提高，有利于加強主體意識、探究態(tài)度、科學方法和創(chuàng)造才能的 培養(yǎng)，所以這類試題在中考中占有越來越大的比例 . 【考題漫步】 例 1 在平面內(nèi)確定四個點，連接每兩個點，使任意三點構(gòu)成等腰三角形（包括等邊三角形），且每兩點之間的線段長只有兩個數(shù)值 .舉例如下： 如圖，相等的線段有： AB=BC=DA AC=BD.請你再畫出滿足題目 條件的三個圖形，并指出每個圖形中相等的線段 . 思路分析： 本題以方案設計為背景，探究滿足結(jié)論的條件 . 可以從平面上 唯一的四點構(gòu)成六條線段入手，分別設計五條、四條、三條、兩條分別 相等的情形 . 因為題目的示例是正方形，所以解題時，首先要找出類似 正方形的基本圖形，如：菱形、等邊三角形、等腰梯形 . 解： AB=BC=CD=DA=AC AB=BD=DA=AC BD=BD BC=CD AB=BC=CA AB=BC=DA AD=BD=CD=BC AD=BD=CD AC=BD=CD AB=AC 重要提醒： 這類試題是指在給定明確結(jié)論而未給出明確條件的前提下，需要采用證明、推斷去探索發(fā)現(xiàn)并補充完善，使結(jié)論成立的試題 .從所給結(jié)論出發(fā)，設想出合乎要求的一些條件，逐一列出，并進行邏輯證明，從而尋找出滿足結(jié)論的條件 . 如上題，應緊緊抓住圖形是由六條線段組成，而六條線段中 只有兩類相等的線段 . 例 2 將一直角三角形的直角頂點 M 放在等腰直角三角形 ABC 斜邊的中點，另兩直角邊分別與線段 BC、 AC 交于 D、 E 兩點 . （ 1）如圖，當點 D 是 BC 的中點時，求證： MD=ME； （ 2）當繞著直角頂點 M 旋轉(zhuǎn)時，該直角三角形兩直角邊與 ABC 兩直角邊的交點位置隨之發(fā)生變化 .有三位同學提出各自的判斷： 甲： MDE 的周長會發(fā)生變化 乙： MDE 的面積會發(fā)生變化 丙： MDE 的形狀會發(fā)生變化 你認為哪一位同學的判斷是 錯誤 的？請給出證明 . AB CDABCDEMABCM 2 例 3 思路分析： 這是一道操作性的結(jié)論探究題 .由于 ABC 是等腰直 角三角形，直角三角形的直角頂點 M 又放在等腰直角三角形 ABC 斜邊的中點，這一系列的特殊情況（特殊三角形、特殊點、特殊角）決定試題必有一些特殊 的結(jié)論，從而考查學生從特 殊中探究出一般性 結(jié)論 的能力 .由 三角形的中位線定理，可得 MD=ME；當繞著直角頂點 M 旋轉(zhuǎn)時，沒有發(fā)生變化的是 CD+CE 的值四邊形 CEMD 的面積 MD=ME DME=900，由可得 MDE 的形狀不會發(fā)生變化 . 解： （ 1）（略） （ 2） 連結(jié) CM，證明 BDM CEM, 可得 MD=ME，所以 MDE 的形狀不會發(fā)生變化，丙同學的判斷是錯誤的 . 重要提醒： 這類試題是指在給定明確條件但未給出明確結(jié)論或 結(jié)論不唯一的前提下，通過論證推斷、探索、發(fā)現(xiàn)與之相應的、 符合條件的結(jié)論的試題 .對于結(jié)論不明確的問題，應從所給條件（包括圖形特征） 出發(fā)，進行探索、歸納，猜想出結(jié)論，然后對猜想的結(jié)論進行證明 . 觸類旁通： 用水平線和豎直線將平面分成若干個邊長為 1 的小正方形格子，小正方形的頂點，叫格點，以格點為頂點的多邊形叫格點多邊形 .設格點多邊形的面積為 S，它各邊上格點的個數(shù)和為 x . （ 1）上圖中的格點多邊 形，其內(nèi)部都只有一個格點，它們的面積與各邊上格點的個數(shù)和的對應關(guān)系如下表，請寫出 S 與 x 之間的關(guān)系式 . 多邊形的序號 多邊形的面積 S 2 2.5 3 4 各邊上格點的個數(shù)和 x 4 5 6 8 （ 2）請你再畫出一些格點多邊形，使這些多邊形內(nèi)部都有而且只有 2 格點 .此時所畫的各個多邊形的面積 S 與它各邊上格點的個數(shù)和 x 之間的關(guān)系式是： S= . （ 3）請你繼續(xù)探索，當格點多邊形內(nèi)部有且只有 n 個格點時，猜想 S 與 x 有怎樣的關(guān)系？ 解：（ 1） S21x ； （ 2） S21x 1； （ 3）這是著名的皮克公式的探究過程 .可以嘗試探究 當格點多邊形內(nèi)部分別有 3 個、 4個等格點時， S 的值，從 中找出 S 與 x 的關(guān)系： S=n +21x -1. ABCMDE 3 思路分析： 首先尋找以 BE、 DF、 EF 為邊的 ABE、 ADF，結(jié)合同角的余角相等，設法證明 ABE、 ADF 全等，再由全等三角形對應邊相等及邊的關(guān)系可得出結(jié)論 . 解：如圖 BE DF EF；如圖 BE DF EF；如圖 BE EF DF. 證明：四邊形 ABCD 是正方形， AB AD； BE PA， DF PA， AEB AFD 90， ABE BAE 90； DAF BAE 90， ABE DAF， BE AF， AE DF； AF AE EF， BE DF EF. 重要提醒： 從題目中完備的條件出發(fā)，從不同角度探究數(shù)量關(guān)系和圖形特征，在不同的情況下運用類比思想解決問題 . 觸類旁通： 如圖， O 是等邊 ABC 的外接圓， AB=4 3 cm， P 是 BC 上的一個動點，（點P 不與點 B、 C 重合），連結(jié) AP、 BP、 CP，延長 CP 到 D，使 PD=PB，連結(jié) BD. （ 1）求 O 的半徑； （ 2）找出圖中一對全等的三角形，并加以證明； （ 3）試寫出（ PB+PC）的一個數(shù)值，并說明你寫出的數(shù)值符合要求 . 解答：（ 1） O 的半徑為 4 cm； （ 2） 120180 B A CB P C 601 2 01 8 0BPD BPD 是等邊三角形 60, B P ADBPBD 在 BEC 和 ABP 中 BCDBAP ABPBDC （ 3）取 PB+PC= 7(cm) CPBPDCPA 當 P 與 A(C)重合時， ,PA 最小， 34PA 當 P 是 BC 的中點時， PA 為 O 直徑，這時 PA 最大， PA=8 834 PA 取 PB+PC=PA=7(cm) B D O A C P 4 例 4 如圖， O 與 P 相交于 B、 C 兩點， BC 是 P 的直徑，且把 O 分成度數(shù)的比為 1:2的兩條弧， A 是 上的動點 (不與 B、 C 重合 )，連結(jié) AB、 AC 分別交 P 于 D、 E 兩點 . （ 1） 當 ABC 是銳角三角形 （ 圖 ） 時，判斷 PDE 的形狀，并證明你的結(jié)論； （ 2） 當 ABC 是直角三角形、鈍角三角形時，請你分別在 圖 2、 圖 3 畫出相應的圖形 （ 不要求尺規(guī)作圖 ） ，并按圖 標記字母； （ 3） 在你所畫的圖形中， (1)的結(jié)論是否成立？請就鈍角的情況加以證明 . 思路分析： 這類試題一般是利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出規(guī)律 .而大凡有“ 判斷 三角形 的形狀 ”試題，基本上可考慮它是特殊形狀的三角形，如正三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、直角三角形、含 300角的直角三角形等等 .利用“直徑所對的圓周角是直角”這一基本結(jié)論， 考慮連 DC，再聯(lián)系到有弧的 1： 2 的比，這樣 A 的度數(shù)就可知，利用圓心角、圓周角之間的數(shù)量關(guān)系，問題就可證了 .而當圖形發(fā)生了規(guī)律性的變化后，試題的證法卻往往是類似的 . 解： （ 1） PDE 是等邊三角形 . (2)圖 、圖 為所畫圖形 . (3)圖 和圖 中 PDE 仍為等邊三角形 . 重要提醒： 這類試題是指數(shù)學對象所具備的狀態(tài)或關(guān)系未知，需對其本質(zhì)屬性進行探索，從而尋求、發(fā)現(xiàn)其所服從的某一特定規(guī)律或具有的不變性 .在探究圖形的某一因素發(fā)生改變前后結(jié)論的狀況時，大多有兩種情況，是結(jié)論發(fā)生規(guī)律性的變化； 是結(jié)論仍舊不變 . 觸類旁通： 如圖 ， AB 為 O 的直徑， P 為 AB 延長線上的一個動點 .過點 P 作 O 的切線，切點為 C，連結(jié) AC；作 APC 的平分線，交 AC 于點 D，交 BC 于點 E. （ 1）當點 P 在何處時， A=300？ （ 2）在點 P 運動過程中， ADE 的形狀是否會發(fā)生變化？請證明你的判斷 . 解答：（ 1）當 BP=BC 時， A=300； 證明：（ 2） ADE 的形狀不會發(fā)生變化 AB 為 O 的直徑， ACB=90 點 P 與 O 相切于點 C， PCB= CAB PD 是 APC 的平分線， CPD= DPA CDP= CAP+ DPA， CED= PCB+ CPD O A B P C D E 5 BAC3C2C1BA CDP= CED CDE是等腰直角 即 ADE 的形狀不會發(fā)生變化 . 【輕松演練】 1.根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應依次填寫的數(shù)字是（ B ） . 000 110 010 111 001 101 A、 100， 011 B、 011， 100 C、 011， 101 D、 101， 110 2.如圖所示， A、 B 是 4 5 網(wǎng)絡中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為 1，請在圖中清晰標出使以、為頂點的三角形 是等腰三角形的所有格點的位置 解： 3.兩個全等的含 300, 600角的三角板 ADE 和三角板 ABC 如圖放置， E,A,C 三點在一條直線上，連結(jié) BD，取 BD 的中點 M，連結(jié) ME， MC試判斷 EMC 的形狀，并說明理由 解： EMC 是等腰直角三角形 證明：由題意，得 DE=AC， DAE BAC 900， DAB=900. 連接 AM DM=MB， MA=12DB=DM, MDA= MAB=450. MDE= MAC=1050， EDM CAM ， EM=MC, DME= AMC ， 又 EMC= EMA+ AMC= EMA+ DME=900， CM EM 所以 EMC 是等腰直角三角形 4.如圖，在 ABC 中， AB=AC=1，點 D,E 在直線 BC上運動設 BD=x, CE=y (l)如果 BAC=300， DAE=l050，試確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式； (2）如果 BAC= , DAE= ,當 , 滿足怎樣的 6 關(guān)系時， (l）中 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式還成立？試說明理由 解： (l）在 ABC 中， AB=AC =1， BAC=300, ABC ACB=750, ABD ACE=1050, DAE=1050， DAB CAE=750, 又 DAB+ ADB= ABC=750, CAE ADB ADB EAC AB BDEC AC， 即 11, y =1xxy 所 以. (2）當 、 滿足關(guān)系式 0902 時，函數(shù)關(guān)系式 1y=x成立 理由如下：要使 1y=x，即 AB BDEC AC成立，須且只須 ADB EAC. 由于 ABD ECA，故只須 ADB EAC. 又 ADB+ B