第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 對塔式起重機臂三維裂紋的有限元斷裂分析 曹宗杰 ,匡振邦和李昌平 中國上海交通大學工程力學系， 200240 中國 長春航空空軍大學機械工程系 ， 130022 ,,L 摘要 ：本文介紹了在三維裂紋前端位移域的局部解和構造三維裂紋問題的一種 新方法 ，和提出了一種新方法用于計算三維裂紋問題的應力強度因子。 用 現有的方法， 對 結構強度與縱向閉合裂紋軸向張力進行了分析。裂紋擴展是可能的，因為軸壓塔式起重機主臂的 關節(jié)附近有環(huán)拉伸應力。應力和應力強度因子 用于 塔式起重機主臂關節(jié)計算。探討了焊接殘余應力和應力強度因子的影響。 關鍵詞：應力強度因子；殘余應力奇異有限元；裂紋 1 引言 電力系統(tǒng)塔式起重機 是 塔式起重機類型 中 最重的 的一個 。一些災難性事故發(fā)生時塔式起重機 都是 在使用工程中的。磁測量，封閉式縱向裂縫在塔式起重機主臂的表面 經 常發(fā)現。裂縫影響結構的強度，因此 對 縱向閉合裂紋塔 式起重 機主臂的強度必須進行分析。因為裂紋尖端 ， 一般方法很難準確地確定裂紋如何影響塔式起重機結構強度。許多研究人員在裂紋尖端的奇異領域提出了各種模擬和處理16（ ）方 法 。每一種方法都有其優(yōu)點和缺點存在。他們中的大多數 是 需要密集的網格計算的有限元方法。一些更為精確的元素，如雜交 /混合有限元，有更精確的結果，但 是它 很難控制結果的穩(wěn)定性。因此需要在工程上應用一種特殊的算法。 奇異有限元求解應力強度因子裂紋問題 時有 特殊 的 優(yōu)勢。在本文中的三維裂紋的前端位移域解決方案，介紹了一種構建二維裂紋彈性問題和三維裂紋問題的新的奇異單元， 并 提出了一種新方法用于計算應力強度因子 的 三維裂紋問題。此方法不僅可以節(jié)省內存和計算時間，也增加了對涉及到 應力強度因子有限域問題的計算解的精度。與現有的方法 相比 ， 對 縱向閉合裂紋 的 結構強度軸向張力進行了分析。 對 塔起重機的主臂關節(jié)應力和應力強度因子 進行 計算 。 探討了焊接殘余應力和應力強度因子的影響。 第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 2 奇異有限元方法 由于應力裂紋奇異性的存在，常規(guī)有限元應力域精確的表達強度是非常困難的。因此，任意裂紋形狀的三維物體，局部位移場，應力場和應變場可以表示為如下形式： l l lSK （ 1） l l lBK（ 2） l l lMK （ 3） 這 里的lS、lB和LM分別是 分布函數矩陣的局部應力場，應變場和位移場。lK的應力強度因子（ SIF）的陣列在裂紋前沿的任意一點，二次插值函數模擬元素中裂紋 前沿的應力強度因子是該點放置在裂紋前端的功能。然后下面的公式可給出： lKL（ 4） 12, Tn （ 5） , Ti il ill illlK K K （ 6） 其中 L 是應力強度因子的二次插值函數矩陣； 是應力強度因子在單元節(jié)點的陣列，i是 在裂紋前沿的應力強度因子的節(jié)點數組。局部解 式 （ 1） -（ 3）為等參單元，對任意形狀的三維裂紋單元位移場如下： ( ) ；llN q M L N M L j mN q j m （ 7） 其中 q 是節(jié)點位移，并用奇異的元素數。 M 是 M 的節(jié)點單元邊界， L 是元素邊界節(jié)點。根據應變與位移之間的關系，為 ( )( )TEu ，可以得到以下方程 ；kB q B j mB q j m （ 8） 其中 和 為 應變向量應力矢量； ()TE 是微分算子； B 是應變矩陣；kB是奇異應變矩陣； D 是彈性系數矩陣。根據應力和應變之間的關系，可以得到以下方程： 第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 _；kD B q D B j mD B q j m （ 9） 3 三維裂紋應力強度因子 根據最小勢能原理，可以得到以下方程 211()2 eNe T T Tej f d u f d （ 10） 當 是 整個研究區(qū) 時 ，2e是奇異的 區(qū) 。 f 和 f分別 是表面力的 奇異單元。將 式（ 7） -（ 9）代入式（ 10），可以得到以下方程： 1122T T T T Ts N sQ K Q Q F K Q K F (11) 其中 Q 是全球位移陣列。 F 和 F分別 是 整體 區(qū)域 研究和奇異區(qū)域邊界力向量。 K 是整體剛度矩陣。NsK是耦合的整體剛度矩陣元素之間的定期和奇異的元素。SK是奇異單元的整體剛度矩陣。通過分別改變 Q 和 之間的獨立性，可以得到以下方程 0NsK Q K F (12) 0s N sK Q K F (13) 當 TsN NsKK時，式（ 13） 可以改寫為下列形式： 1 ()s N sK K Q F (14) 替代式（ 14）代入式（ 12），可以得到以下方程： 0KQ F (15) 當 1N s s s NK K K K K(16) 1N s sF F K K F (17) 4 數值例子 塔式起重機是桁架結構，其主 臂 是無縫鋼管（ 219x20 ） 是 20 鋼材料。裂紋的長度 為 5 500mm， 裂縫的深度 為 0.5 2.5mm。計算模型的建立應用二十節(jié)點三維有限元素。關節(jié)臂有限元網格與附近的封閉式縱向裂縫的主要危險如圖 1第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 所示。裂縫計算長度為 500mm。分別計算裂縫深度， 為 1.5,2.5， 3 和 3.5 毫米。計算負荷（p）等于21700kgcm。 出于 焊接殘余應力對主臂與封閉式縱向流的考慮，焊接殘余應 力 （0）相當于等于 0.5 7p 。泊松分布，材料的楊氏模量的比分別等于 0.3 和 0.07 MN / 2m 。環(huán)拉伸應力在不同的徑向截面無焊接殘余應力，如圖 2 所示。環(huán)拉伸應力不同軸向截面無焊接殘余應力 如 圖 3 和圖 4 所示。通過上述計算，塔 式起重機 主臂的關節(jié)部分有環(huán)的拉伸應力在可能的流環(huán)附近傳播。 從圖 24 可知，主臂縱向閉合裂紋的環(huán)拉伸應力降低時有焊接殘余應力。在不同的情況下，主臂關節(jié)部分應力強度因子的三維 裂紋附近無焊接殘余應力和 對焊接殘余應力進行了計算， 如 圖 5,圖 6 所示。從圖 5 可以看出，最大應力強度因子等于3 21.9 MNm時裂紋的厚度為 3.5mm，關節(jié) 處 發(fā)生較少 ， 在 10cm 左右 。單邊緣裂紋擴展門檻值 ， 它的長度是 0.025 到 5 毫米 ， 是從 4.0 至 3 26.4 MN m 的20 鋼材料。主臂關節(jié)附近的最大應力強度因子小于單邊緣裂紋擴展門檻值。 如圖 6，最大應力強度因子等于 3 20.9 MN m 時，裂紋深度等于 3.5mm。最大應力強度因子與焊接殘余應力小于無焊接殘余應力。 第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 5 結論 本文 對 三維裂紋前端位移域的解決方案進行了介紹和三維裂紋問題的一種新的奇異單元的構造 ， 和提出了一種新方法 ， 計算三維裂紋問題的應力強度因子。第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 與 用 現有的方法， 對 結構強度與縱向閉合裂紋軸向張力進行了分析。這是可能的裂紋擴展，因為 是 有環(huán)的拉伸應力下的軸壓塔式起重機主臂的關節(jié)附近的應力。焊接殘余應力對焊接材料強度有害，但焊接殘余應力使主臂環(huán)拉伸應力下 降 。在同一時間，應力強度因子的下降， 改進了 塔式起重機主臂的安全性。 參考文獻 1 王 志超，張理蘇 , 一種新的準諧調有限元列式方法及在斷裂力學中的應用 1990.37（ 6） 1195-1201 第 38 卷增刊 上海交通大學學報 Vol.38.sup 2004 年 6 月 JOURNAL OF SHANGHAI JIAOTONG UNIVERSITY Jun.2004 2 O.C.欽科維奇（ Zienkiewicz O.C.） ， 有限元法 ,麥格勞希爾圖書有限公司第三版： 669， 1977 3Barsoum RS.Int J.Numer.Merh.Engng.1976,10:2537 4 Abdel Wahab MM, De Roeck G A Finite Element Solution for Elliptical Cracks Using the ICCI Method Engineering Fracture Mechanics, 1996,53:518-526 5 曹宗杰 三維奇異準諧調單元理論研究及其數值分析 ， 1994。