第 1 頁 共 8 頁 黃岡中學 高考數學典型例題詳解 概率 概率是高考的重點內容之一，尤其是新增的隨機變量這部分內容 .要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想方法 . 難點磁場 ( )如圖，用 A、 B、 C 三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng) N1、 N2，當元件 A、 B、 C 都正常工作時，系統(tǒng) N1正常工作；當元件 A 正常工作且元件 B、C 至少有一個正常工作時，系統(tǒng) N2正常工作 .已知元件 A、 B、 C 正常工作的概率依次為 0.80,0.90,0.90，分別求系統(tǒng) N1， N2正常工作的概率 P1、 P2. 案例探究 例 1 ( )有一容量為 50 的樣本，數據的分組及各組的頻率數如下： 10， 15 4 30， 35) 9 15， 20) 5 35， 40) 8 20， 25) 10 40，45) 3 25， 30) 11 (1) 列出樣本的頻率分布表 (含累積頻率 )； (2) 畫出頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖 . 第 2 頁 共 8 頁 命題意圖：本題主要考查頻率分布表，頻率分布直方圖和累積頻率的分布圖的畫法 . 知識依托：頻率、累積頻率的概念以及頻率分布表、直方圖和累積頻率分布圖的畫法 . 錯解分析：解答本題時，計算容易出現(xiàn)失誤，且要注意頻率分布與累積頻率分布的區(qū)別 . 技巧與方法：本題關鍵在于掌握三種表格的區(qū)別與聯(lián)系 . 解： (1)由所給數據，計算得如下頻率分布表 數據段 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 總計 頻數 4 5 10 11 9 8 3 50 頻率 0.08 0.10 0.20 0.22 0.18 0.16 0.06 1 累積頻率 0.08 0.18 0.38 0.60 0.78 0.94 1 (2)頻率分布直方圖與累積頻率分布圖如下： 例 2 ( )某電器商經過多年的經驗發(fā)現(xiàn)本店每個月售出的電冰箱的臺數 是一個隨機變量，它的分布列如下： 1 2 3 12 第 3 頁 共 8 頁 P 121121121 121設每售出一臺電冰箱， 電器商獲利 300 元，如銷售不出而囤積于倉庫，則每臺每月需花保養(yǎng)費用 100 元，問電器商每月初購進多少臺電冰箱才能使自己月平均收益最大？ 命題意圖：本題考查利用概率中的某些知識如期望來解決實際問題 . 知識依托：期望的概念及函數的有關知識 . 錯解分析：在本題中，求 Ey 是一個難點，稍有不慎，就將產生失誤 . 技巧與方法：可借助概率分布、期望、方差等知識來解決日常生產生活中的實際問題 . 解：設 x 為月初電器商購進的冰箱臺數，只須考慮 1 x 12 的情況，設電器商每月的收益為 y 元，則 y 是隨機變量 的函數且 y=xxxxx),(100300,300 ,電器商平均每月獲益的平均數，即數學期望為： Ey=300x(Px+Px+1+ +P12)+ 300 100(x 1) P1+ 2 300 100(x 2) P2+ + 300(x 1) 100 Px 1 =300x(12 x+1)121+ 121 3002 )1(1 0 02 )1( xxxx =325( 2x2+38x) 由于 x N,故可求出當 x=9 或 x=10 時，也即電器商月初購進 9 臺或 10 臺電冰箱時，收益最大 . 錦囊妙記 本章內容分為概率初步和隨機變量兩部分 .第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率和獨立重復實驗 .第二部分包括隨機變量、離散型隨機變量的期望與方差 . 涉及的思維方法：觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化 . 主要思維形式有：邏輯思維、聚合思維、形象思維和創(chuàng)造性思維 . 第 4 頁 共 8 頁 殲滅難點訓練 一、選擇題 1.( )甲射擊命中目標的概率是21，乙命中 目標的概率是31，丙命中目標的概率是41.現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為 ( ) 10 7 D . 54C. 32 B . 43A.2.( )已知隨機變量 的分布列為： P( =k)=31,k=1,2,3,則 P(3 +5)等于 ( ) A.6 B.9 C.3 D.4 二、填空題 3.( )1 盒中有 9 個正品和 3 個廢品，每次取 1 個產品，取出后不再放回，在取得正品前已取出的廢品數 的期望 E =_. 4.( )某班有 52 人，男女各半，男女各自平均分成兩組，從這個班中選出 4 人參加某項活動，這 4 人恰好來自不同組別的概率是 _. 三、解答題 5.( )甲、乙兩人各進行一次射擊，如果兩人擊中目標的概率都是0.6，計算： (1)兩人都擊中目標的概率； (2)其中恰有一人擊中目標的概率； (3)至少有一人擊中目標的概率 . 6.( )已知連續(xù)型隨機變量 的概率密度函數 f(x)=2 021 1 0xxaxx (1)求常數 a 的值，并畫出 的概率密度曲線； 第 5 頁 共 8 頁 (2)求 P(1 23). 7.( )設 P 在 0,5上隨機地取值，求方程 x2+px+214p=0 有實根的概率 . 8.( )設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為 0.2，機器發(fā)生故障時全天停止工作 .若一周 5 個工作日里均無故障，可獲利潤 10 萬元；發(fā)生一次故障可獲利潤 5 萬元，只發(fā)生兩次故障可獲利潤 0 萬元，發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 2 萬元。求一周內期望利潤是多少？ 參考答案 難點磁場 解：記元件 A、 B、 C 正常工作的事件分別為 A、 B、 C，由已知條件 P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90. (1)因為事件 A、 B、 C 是相互獨立的，所以，系統(tǒng) N1 正常工作的概率P1=P(A B C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系統(tǒng) N1正常工作的概率為 0.648 (2)系統(tǒng) N2正常工作的概率 P2=P(A) 1 P( CB ) =P(A) 1 P(B )P(C ) =0.80 1 (1 0.90)(1 0.90) =0.792 故系統(tǒng) N2正常工作的概率為 0.792 殲滅難點訓練 一、 1.解析：設甲命中目標為事件 A，乙命中目標為事件 B，丙命中目標為事件 C，則目標被擊中的事件可以表示 為 A+B+C，即擊中目標表示事件 A、 B、C 中至少有一個發(fā)生 . 第 6 頁 共 8 頁 .41)411)(311)(211()(1)(1)(1)()()()(CPBPAPCPBPAPCBAP故目標被擊中的概率為 1 P(A B C )=14341答案： A 2.解析： E =(1+2+3)31=2， E 2=(12+22+32)31=314 D =E 2 (E )2=314 22=32. D(3 +5)=9E =6. 答案： A 二、 3.解析：由條件知， 的取值為 0， 1， 2， 3，并且有 P( =0)=43CC11219 , 3.02201322092449143022012CCC)3(,22092CCC)2(,4492CCC)1(412193331219232121913EPPP 答案： 0.3 4.解析：因為每組人數為 13，因此，每組選 1 人有 C113 種方法， 所以所求概率為 P=4524113C)C( . 答案：4524113C)C( 三、 5.解： (1)我們把“甲射擊一次擊中目標”叫做事件 A，“乙射擊一次擊中目第 7 頁 共 8 頁 標”叫做事件 B.顯然事件 A、 B 相互獨立，所以兩人各射擊一次都擊中目標的概率是 P(A B) =P(A) P(B)=0.6 0.6=0.36 答：兩人都擊中目標的概率是 0.36 (2) 同 理 ， 兩 人 各 射 擊 一 次 ， 甲 擊 中 、 乙 未 擊 中 的 概 率 是P(A B )=P(A) P(B )=0.6 (1 0.6)=0.6 0.4=0.24 甲未擊中、乙擊中的概率是 P(A B)=P(A )P(B)=0.24，顯然，“甲擊中、乙未擊中”和“甲未擊中、乙擊中”是不可能同時發(fā)生，即事件 A B 與 A B 互斥，所以恰有一人擊中目標的概率是 P(A B )+P(A B)=0.24+0.24=0.48 答：其中恰有一人擊中目標的概率是 0.48. (2) 兩人各射擊一次，至少有一人擊中目標的概率 P=P(A B)+ P(A B )+P(A ) B =0.36+0.48=0.84 答：至少有一人擊中目標的概率是 0.84. 6.解： (1)因為 所在區(qū)間上的概率總和為 1，所以21(1 a+2 a) 1=1, a=21概率密度曲線如圖： (2)P(1 23)=9323)121(21 7.解：一元二次方程有實數根 0 而 =P2 4(214P)=P2 P 2=(P+1)(P 2) 第 8 頁 共 8 頁 解得 P 1 或 P 2 故所求概率為 P=535,0 ),21,(5.0 的長度 的長度8.解：以 X 表示一周 5 天內機器發(fā)生故障的天數，則 X B(5， 0.2)，于是 X有概率分布 P(X=k)=Ck5 0.2k0.85 k,k=0,1,2,3,4,5. 以 Y 表示一周內所獲利潤，則 Y=g(X)=3 22 01 50 10XXXX若若若若Y 的