1 三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 選修三 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 選修 2 22 2 2010 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 1 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 理數(shù)理數(shù) 1010 若曲線 1 2 yx 在點(diǎn) 1 2 a a 處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)圍成的三角 形的面積為 18 則a A A 64 B 32 C 16 D 8 命題意圖命題意圖 本試題主要考查求導(dǎo)法則 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 切線的求法和三角形的面積公 式 考查考生的計(jì)算能力 解析解析 33 22 11 22 yxka 切線方程是 13 22 1 2 yaaxa 令0 x 1 2 3 2 ya 令0y 3xa 三角形的面積是 1 2 13 318 22 saa 解得64a 2 2 20102010 遼寧文數(shù)遼寧文數(shù) 1212 已知點(diǎn)P在曲線 4 1 x y e 上 為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜 角 則 的取值范圍是 D A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 解析 解析 選 D 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 3 3 20102010 遼寧理數(shù)遼寧理數(shù) 1010 已知點(diǎn) P 在曲線 y 4 1 x e 上 a 為曲線在點(diǎn) P 處的切線的傾斜角 則 a 的取值范圍是 D A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 命題立意命題立意 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義 求導(dǎo)運(yùn)算以及三角函數(shù)的知識(shí) 解析解析 因?yàn)?2 44 1 1 2 x xxx e y eee 即 tan a 1 所以 3 4 4 4 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 2 2 文數(shù)文數(shù) 7 7 若曲線 2 yxaxb 在點(diǎn) 0 b處的切線方程是10 xy 則 A 2 A 1 1ab B 1 1ab C 1 1ab D 1 1ab 解析解析 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及過曲線上一點(diǎn)處的切線方程的求法 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切線 10 xy 1b 5 5 20102010 江西理數(shù)江西理數(shù) 1212 如圖 一個(gè)正五角星薄片 其對(duì)稱軸與水面垂直 勻速地升出水面 記 t 時(shí)刻五角星露出水面部分的圖形面積為 00S tS 則導(dǎo)函數(shù) yS t 的圖像 大致為 A 解析 本題考查函數(shù)圖像 導(dǎo)數(shù)圖 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義等知識(shí) 重點(diǎn)考查的是對(duì)數(shù)學(xué)的探 究能力和應(yīng)用能力 最初零時(shí)刻和最后終點(diǎn)時(shí)刻沒有變化 導(dǎo)數(shù)取零 排除 C 總面積一 直保持增加 沒有負(fù)的改變量 排除 B 考察 A D 的差異在于兩肩位置的改變是否平滑 考慮到導(dǎo)數(shù)的意義 判斷此時(shí)面積改變?yōu)橥蛔?產(chǎn)生中斷 選擇 A 6 6 設(shè)R R 函數(shù)a 1 0 1 0 ax xf x x xax 當(dāng) a 2 時(shí) 試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 f x 若對(duì)任何R R 且 都有 求 a 的取值范圍 x 0 x 1f xx 解 當(dāng)時(shí) 0 x 1 2f x x 因?yàn)?所以在上為增函數(shù) 0 1 2 x xf f x 0 當(dāng)時(shí) 0 x 2 1f xx x 由 解得 由 解得 31 2 fxx x 0fx 2 3 x 0fx 2 0 3 x 1f xx 11x xax axx 設(shè) 則 h xxx 2 11 24 h xxxx 所以當(dāng) 即時(shí) 有最小值 1 2 x 1 4 x h x 1 4 因?yàn)閷?duì)任何 不等式恒成立 所以 0 x axx 1 4 a 綜上 實(shí)數(shù)的取值范圍為 a 1 3 4 a 7 7 20102010 浙江理數(shù)浙江理數(shù) 2222 已知a是給定的實(shí)常數(shù) 設(shè)函數(shù) 22 f xxaxb e bR xa 是 f x的一個(gè)極大值點(diǎn) 求b的取值范圍 設(shè) 123 x x x是 f x的 3 個(gè)極值點(diǎn) 問是否存在實(shí)數(shù)b 可找到 4 xR 使得 1234 x x x x的某種排列 1234 iiii xxxx 其中 1234 i i i i 1 2 3 4 依次成等差數(shù)列 若存 在 求所有的b及相應(yīng)的 4 x 若不存在 說明理由 解析 解析 本題主要考查函數(shù)極值的概念 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí) 同時(shí)考查推理論證能力 分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識(shí) 解解 f x ex x a 2 3 2 xab xbaba 令 2 22 3 2 3 a b 4 2 1 80 g xxab xbaba babaab 則 4 于是 假設(shè) 1212 0 x xg xxx 是的兩個(gè)實(shí)根 且 1 當(dāng) x1 a 或 x2 a 時(shí) 則 x a 不是 f x 的極值點(diǎn) 此時(shí)不合題意 2 當(dāng) x1 a 且 x2 a 時(shí) 由于 x a 是 f x 的極大值點(diǎn) 故 x1 a0 由已知得 x alnx 1 2 x a x 解德 a 2 e x e2 兩條曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)為 e2 e 切線的斜率為 k f e2 1 2e 切線的方程為 y e 1 2e x e2 2 由條件知 當(dāng) a 0 時(shí) 令 h x 0 解得 x 2 4a 8 所以當(dāng) 0 x 2 4a時(shí) h x 2 4a時(shí) h x 0 h x 在 0 2 4a 上遞增 所以 x 2 4a是 h x 在 0 上的唯一極致點(diǎn) 且是極小值點(diǎn) 從而也是 h x 的最 小值點(diǎn) 所以 a h 2 4a 2a aln 2 4a 2 當(dāng) a 0 時(shí) h x 1 2 2a 2x 0 h x 在 0 遞增 無最小值 故 h x 的最小值 a 的解析式為 2a 1 ln2a a o 3 由 2 知 a 2a 1 ln2a 則 1 a 2ln2a 令 1 a 0 解得 a 1 2 當(dāng) 0 a0 所以 a 在 0 1 2 上遞增 當(dāng) a 1 2 時(shí) 1 a 0 為單調(diào)遞增區(qū) 間 最大值在右端點(diǎn)取到 max 1 1 2 ffa 14 14 20102010 安徽文數(shù)安徽文數(shù) 2020 sincos1f xxxx 0 2 x 求函數(shù) f x的單調(diào)區(qū)間與極值 命題意圖命題意圖 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法 考查綜合 應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo) 1 對(duì)函數(shù) sincos1f xxxx 求導(dǎo) 對(duì)導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形 利用導(dǎo)數(shù)等于 0 得極值點(diǎn) 通過列表的方法考查極值點(diǎn)的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù) 判斷區(qū)間的單 調(diào)性 求極值 12 4 23 0 422 xx xxxx xx 解 由f x si nx cosx x 1 0 x 2 知fsi n 令f 從面si n 得 或 當(dāng)變化時(shí) f f x 變化情況如下表 3 2 2 333 2 222 因此 由上表知f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是 0 與 單調(diào)遞增區(qū)間是 極小值為f 極大值為f 12 思維總結(jié)思維總結(jié) 對(duì)于函數(shù)解答題 一般情況下都是利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性或極值 利用導(dǎo)數(shù) 為 0 得可能的極值點(diǎn) 通過列表得每個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 進(jìn)而得出極值 點(diǎn) 15 15 20102010 重慶文數(shù)重慶文數(shù) 1919 已知函數(shù) 32 f xaxxbx 其中常數(shù) a b R g xf xfx 是奇函數(shù) 求 f x的表達(dá)式 討論 g x的單調(diào)性 并求 g x在區(qū)間 1 2 上的最大值和最小值 16 16 20102010 浙江文數(shù)浙江文數(shù) 2121 已知函數(shù) 2 f xxa a b a bR a 0 若 a 1 求曲線 y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程 若在區(qū)間 1 1 2 2 上 f x 0 恒成立 求 a 的取值范圍 解析解析 本小題主要考查曲線的切線方程 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值 解不等式 等基礎(chǔ)知識(shí) 考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法 滿分 12 分 解 解 當(dāng) a 1 時(shí) f x 32 3 xx1 2 f 2 3 f x 2 33xx f 2 6 所 以曲線 y f x 在點(diǎn) 2 f 2 處的切線方程為 y 3 6 x 2 即 y 6x 9 解 解 f x 2 333 1 axxx ax 令 f x 0 解得 x 0 或 x 1 a 17 以下分兩種情況討論 1 若 11 0a2 a2 則 當(dāng) x 變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 X 1 0 2 0 1 2 0 f x 0 f x A 極大值A(chǔ) 當(dāng) 1 1 xfx 2 2 時(shí) 0等價(jià)于 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式組得 5 a2 則 11 0 a2 當(dāng) x 變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 極大值A(chǔ)極小值A(chǔ) 當(dāng) 1 1 x 2 2 時(shí) f x 0 等價(jià)于 1 f 2 1 f 0 a 0 即 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 解不等式組得 2 5 2 a 或 2 2 a 因此 2 a 5 綜合 1 和 2 可知 a 的取值范圍為 0 a1 時(shí) 2x 2 0 從而 2x 2 e10 0 F x e 又所以 x 0 從而函數(shù) F x 在 1 是增函數(shù) 又 F 1 1 1 ee0 所以x 1時(shí) 有F x F 1 0 即 f x g x 證明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x則與矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得與矛盾 根據(jù) 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨設(shè) 由 可知 2 f x 2 g x 則 2 g x 2 f 2 x 所以 2 f x 2 f 2 x 從而 1 f x 2 f 2 x 因?yàn)?2 1x 所以 2 21x 又由 可知函數(shù) f x 在區(qū)間 1 內(nèi)事增函數(shù) 所以 1 x 2 2x 即 12 xx 2 19 22 22 20102010 福建文數(shù)福建文數(shù) 2222 已知函數(shù) f x 32 1 3 xxaxb 的圖像在點(diǎn) P 0 f 0 處的 切線方程為 y 3x 2 求實(shí)數(shù) a b 的值 設(shè) g x f x 1 m x 是 2 上的增函數(shù) i 求實(shí)數(shù) m 的最大值 ii 當(dāng) m 取最大值時(shí) 是否存在點(diǎn) Q 使得過點(diǎn) Q 的直線若能與曲線 y g x 圍成兩個(gè)封 閉圖形 則這兩個(gè)封閉圖形的面積總相等 若存在 求出點(diǎn) Q 的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 20 21 23 23 20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 理數(shù)理數(shù) 2020 已知函數(shù) 1 ln1f xxxx 若 2 1xfxxax 求a的取值范圍 證明 1 0 xf x 24 24 20102010 湖北文數(shù)湖北文數(shù) 2121 設(shè)函數(shù) 32 1a xxbxc 32 f x 其中 a 0 曲線 xyf 在點(diǎn) P 0 0f 處的切線方程為 y 1 確定 b c 的值 設(shè)曲線xyf 在點(diǎn) 11 xxf 及 22 xxf 處的切線都過點(diǎn) 0 2 證明 當(dāng) 12 xx 時(shí) 12 fxfx 若過點(diǎn) 0 2 可作曲線xyf 的三條不同切線 求 a 的取值范圍 22 25 25 20102010 湖北文數(shù)湖北文數(shù) 1919 已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a 單位 m2 其中 有部分舊住房需要拆除 當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10 建設(shè)新住房 同事也拆除面積為 b 單位 m2 的舊住房 分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式 如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30 則每年 拆除的舊住房面積 b 是多少 計(jì)算時(shí)取 1 15 1 6 26 26 20102010 山東理數(shù)山東理數(shù) 2222 已知函數(shù) 1 ln1 a f xxax x aR 當(dāng) 1 2 a 時(shí) 討論 f x的單調(diào)性 設(shè) 2 24 g xxbx 當(dāng) 1 4 a 時(shí) 若對(duì)任意 1 0 2 x 存在 2 1 2x 使 12 f xg x 求實(shí)數(shù)b取值范圍 23 當(dāng) 1 4 a 時(shí) f x 在 0 1 上是減函數(shù) 在 1 2 上是增函數(shù) 所以對(duì)任意 1 0 2 x 有 1 1 f x f 1 2 又已知存在 2 1 2x 使 12 f xg x 所以 2 1 2 g x 2 1 2x 即存在 1 2x 使 2 1 24 2 g xxbx 即 2 9 2 2 bxx 即 9 2 2bx x 11 17 24 所以 11 2 2 b 解得 11 4 b 即實(shí)數(shù)b取值范圍是 11 4 命題意圖 本題將導(dǎo)數(shù) 二次函數(shù) 不等式知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起 考查了利用導(dǎo)數(shù)研 24 究函數(shù)的單調(diào)性 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題 考查了同學(xué)們分類討 論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力 考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題 解決問題的 能力 1 直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性 2 利用導(dǎo)數(shù)求出 f x的最小值 利用二次函數(shù)知識(shí)或分離常數(shù)法求出 g x在閉區(qū)間 1 2 上的最大值 然后解不等式求參 數(shù) 27 27 20102010 湖南理數(shù)湖南理數(shù) 2020 已知函數(shù) 2 f xxbxc b cR 對(duì)任意的xR 恒有 fx f x 證明 當(dāng)0 x 時(shí) 2 f xxc 若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意 b c 不等式 22 f cf bM cb 恒成立 求 M 的最小值 解析 解析 25 28 28 20102010 湖北理數(shù)湖北理數(shù) 1717 為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗 房屋的屋頂和外墻 需要建造隔熱層 某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層 每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元 該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用 C 單位 萬元 與隔熱層厚度 x 單位 cm 滿足 關(guān)系 C x 010 35 k x x 若不建隔熱層 每年能源消耗費(fèi)用為 8 萬元 設(shè) f x 為隔熱層建造費(fèi)用與 20 年的能源消耗費(fèi)用之和 求 k 的值及 f x 的表達(dá)式 隔熱層修建多厚時(shí) 總費(fèi)用 f x 達(dá)到最小 并求最小值 26 29 29 20102010 福建理數(shù)福建理數(shù) 2020 已知函數(shù) 3 x x xf 其圖象記為曲線C i 求函數(shù) x f的單調(diào)區(qū)間 ii 證明 若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù) 1 x 曲線 C 與其在點(diǎn) 111 P x f x 處的切線交于另一點(diǎn) 222 P x f x 曲線 C 與其在點(diǎn) 222 P x f x 處的切線交于另一點(diǎn) 333 P x f x 線段 1 122312 2 PP P P S S C S 與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為S則為定值 對(duì)于一般的三次函數(shù) 32 g x ax bx cx d a0 請(qǐng)給出類似于 ii 的正 確命題 并予以證明 命題意圖命題意圖 本小題主要考查函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 定積分等基礎(chǔ)知識(shí) 考查抽象概括能力 運(yùn)算 求解能力 推理論證能力 考查函數(shù)與方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 化歸與轉(zhuǎn)化思想 特殊 與一般思想 解析解析 i 由 3 x x xf得 2 x 3x 1f 33 3 x x 33 當(dāng) 3 x 3 和 3 3 時(shí) x 0 f 當(dāng)