實驗一 簡單應(yīng)用和操作一、實驗?zāi)康?本實驗的目的是熟悉 MATLAB軟件在矩陣運算方面的命令函數(shù)：求逆陣的函數(shù)inv；方陣A 的行列式的函數(shù)det(A)；求矩陣A秩的函數(shù)rank(A)；矩陣A的行階梯形矩陣函數(shù)rref(A) 。 二、實驗內(nèi)容 借助計算機(jī)完成矩陣的初等運算、逆矩陣、矩陣方程 、矩陣秩 的計算。 三、實驗儀器和設(shè)備 1. 計算機(jī)若干臺（裝有matlab6.5及以上版本軟件） 2. 打印機(jī) 四、實驗要求 1. 獨立完成各個實驗任務(wù)； 2. 實驗的過程保存成 .m 文件，以備檢查； 3. 實驗結(jié)果保存成 .mat 文件 五、實驗原理 在MATLAB中，矩陣用中括號括起來，同一行的數(shù)據(jù)用空格或逗號隔開，不同行用分號隔開。矩陣是MATLAB的基本數(shù)據(jù)形式，數(shù)和向量可視作它的特殊形式，不必對矩陣的行、列數(shù)作專門的說明。 （一）矩陣的直接輸入 矩陣有多種輸入方式，這里介紹一種逐一輸入矩陣元素的方法。具體做法是，在方括號內(nèi)逐行鍵入矩陣各元素，同一行各元素之間用逗號或空格分隔，兩行元素之間用分號分隔。 例1. 在MATLAB的提示符下輸入：A1,2,3；4,5,6；7,8,9得到一個3行3列的矩陣，屏幕上顯示為 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （二）. 矩陣元素 矩陣元素用矩陣名及其下標(biāo)表示。在作了例1的輸入后，若鍵入： A(2,3) 屏幕顯示 ans 6 即矩陣A第2行第3列的元素為6。 也可通過改變矩陣的元素來改變矩陣。在例1輸入矩陣A后鍵入： A(3，3)10 即得一新的矩陣，屏幕會顯示 A 1 2 34 5 67 8 10甚至可以通過給定一個元素的值，得到一個擴(kuò)大的新矩陣。 如再鍵入： A（5，3）2 * 0.15 屏幕顯示 A= 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 10.0000 0 0 0 0 0 0.3000 （三）.矩陣的運算矩陣運算的運算符為，*，和。其中，*是通常矩陣加法、減法和乘法的運算符。 例2. 在MATLAB的提示符下分別輸入矩陣M，N和V： M=1, 0.5,2；2,3,3；4.5,1,6M= 1.0000 0.5000 2.0000 2.0000 3.0000 3.0000 4.5000 1.0000 6.0000 N=2,2,3；3,1,4；1,1,2 N= 2 2 3 3 1 4 1 1 2V=1,2；2,1；3,1V= 1 2 2 1 3 1 鍵入： R1=M+N R1= 1.0000 2.5000 5.0000 5.0000 4.0000 7.0000 5.5000 2.0000 8.0000鍵入： R2=M-N R2=-1.0000 -1.5000 -1.0000 -1.0000 2.0000 -1.0000 3.5000 0.0000 4.0000 鍵入： R3=M*N R3= 5.5000 4.5000 9.0000 16.0000 10.0000 24.0000 18.0000 16.0000 29.5000鍵入： R4=M*V R4= 8.0000 4.5000 17.0000 10.0000 24.5000 16.0000 “”是矩陣轉(zhuǎn)置運算符，如鍵入： R5=V 得： R5= 1 2 3 2 1 1 （四）.逆矩陣的求法 定義 對于n階方陣A，如果存在n階方陣B，使得 ABBAE，則稱n階方陣A是可逆的，而B稱為A的逆矩陣，記為A-1。 在MATLAB中求逆陣的函數(shù)為inv( )。 例3. 在MATLAB的提示符下鍵入： A1,0,1；2,1,0；-3,2,-5 A 1 0 1 2 1 0 3 2 5鍵入： Xinv(A) X 2.5000 1 -0.5000 5 -1 1 3.5000 -1 0.5000（五）. 方陣行列式 定義：如果A是一個已知方陣，以A的元素按原次序所構(gòu)成的行列式，叫做A的行列式。 在MATLAB中求方陣A 的行列式的函數(shù)為det(A). 例4. 在MATLAB的提示符下鍵入： A1,1,1；1,2,3；1,3,6； D=det(A) 得 D= 1A1,0,1；2,1,0；-3,2,-5； 在MATLAB的提示符下鍵入： D=det(A)得 D= 2 （六）.矩陣方程 運算符和 分別稱為左除和右除。 設(shè)A和B是兩個列數(shù)相同的矩陣,XA/B得到一個矩陣X，它滿足XBA。 若A和B是同階且B是可逆的，則XAB-1。若A，B行數(shù)相同XAB得到的矩陣X滿足AXB，若A,B為同階方陣且A為可逆的，則XA-1B。 例5. 在MATLAB的提示符下 鍵入： A=2,1； 1,2； B=1,2； -1,4； X=A/B 得 X= 1.5 -0.5 1 0鍵入： Y=AB 得 Y= 1 0 1 2 例6. 設(shè)A= 4，3，21，1，0； -1，2，3； AB=A+2B，求B。 解：把上矩陣式變形為(A-2E)B=A，則求B即解此矩陣方程。 在MATLAB的提示符下輸入： A=4，3，2；1，1，0；-1，2，3； E=1，0，0；0，1，0；0，0，1； X=A-2E； B=XA得 B= 1.6667 -0.6667 -1.3333 0.6667 -1.6667 -1.3333 -0.6667 4.6667 4.3333 （七）.矩陣的初等變換 定義. 對矩陣施行以下三種變換： （1）互換變換：矩陣的兩行（列）互換位置； （2）倍法變換：用一個不等于零的數(shù)乘矩陣某一行（列）的所有元素； （3）消去變換：把矩陣某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去。 這三種變換為矩陣的初等行（列）變換,簡稱矩陣的初等變換。利用矩陣的一系列初等變換可以將一個矩陣化為與之等價的行階梯形矩陣。 在MATLAB中，函數(shù)rref(A)將返回A的行階梯形矩陣。 例6. 在MATLAB的提示符下 鍵入： % 化魔方矩陣a=magic(6)為行階梯形矩陣。 a=magic(6)a = 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 b=rref(a) b = 1 0 0 0 0 -2 0 1 0 0 0 -2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 （八）.矩陣的秩 定義 從矩陣A中任選r行r列,在這r行r列中的r2個 數(shù)按原次序作成一個行列式,稱為矩陣A的一個r階子 行列式(或稱r階子式)。若矩陣A至少有一個不為零的r階子式，而所有高于r階的子式都為零，則稱矩陣A 的秩為r，記為r(A)=r. 在MATLAB中,求矩陣秩的函數(shù)為rank(A). 例7. 在MATLAB的提示符下 鍵入： A=2,2,1； -3,12,3；8,-2,1；2,12,4； R_A=rank(A) 得 R_A= 2 例8. 鍵入： A=magic(6)； c=rank(A) 得c = 5六、實驗任務(wù) 一. 輸入A=1,1,1;1,2,3;1,3,6,B=8,1,6;3,5,7;4,9,2,u=3;1;4, 1.A+B; 2.A-B; 3.A*B; 4.A*u; 5.2A-3B; 6.A2+B2; 7.AB-BA。 二. 求下列矩陣的逆陣并求其行列式 1.A=1,3,3;1,4,3;1,3,4; 2.A=1,2,3;2,2,1;3,4,3; 3.A=1,1,1,1;1,1,-1,-1;1,-1,1,-1;1,-1,-1,1; 4. A=1,1,0,0;1,2,0,0;3,7,2,3;2,5,1,2。 三. 解矩陣方程 1.A=2,5;1,3,B=4,-6;2,1,AX=B; 2.A=2,1,-1;2,1,0;1,-1,1,B=1,-1,3;4,3,2;1,-2,5,XA=B; 3.A=1,4;-1,2,B=2,0;-1,1,C=3,1;0,-1,AXB=C; 4.A=0,1,0;1,0,0;0,0,1,B=1,0,0;0,0,1;0,1,0,C=1,-4,3;2,0,-1;1,-2,0, AXB=C. 四. 將下列矩陣化為階梯矩陣 1.A=1,-2,0;-1,1,1;1,3,2; 2.A=0,1;1,0;0,-1;3.A=1,2,3,4;0,1,2,3;0,0,1,2;0,0