壽險精算原理 精 算 的 素 描 復(fù)利 生命表 保險 年金 準(zhǔn)備金 現(xiàn)金價值 不喪失福利價值 凈在險額 保單紅利 期繳保費(fèi) 躉繳純保費(fèi) 表定成本 ? 主要內(nèi)容 一、精算和精算師 二、利息理論基礎(chǔ) 三、生命表 四、人壽保險躉繳純保費(fèi) 五、生存年金 六、人壽保險均衡純保費(fèi)和毛保費(fèi) 七、壽險準(zhǔn)備金 八、壽險負(fù)債 一、精算和精算師 精算的定義 精算的簡要?dú)v史 精算師的職責(zé) 什么是精算？ 精算就是應(yīng)用各種數(shù)理模型來估計和分析未來不確定事件（風(fēng)險）產(chǎn)生的影響（特別是財務(wù)方面）。以保險業(yè)為基礎(chǔ)產(chǎn)生的精算科學(xué)通常指處理保險業(yè)中的風(fēng)險管理問題。精算早已形成完整的體系，在社會保險、金融、投資、證券等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。 精算的簡要?dú)v史 The seventeenth century began to see personal risk placed on a more scientific basis. Compound interest was studied, . Probability theory emerged with a publication in 1657 by the Dutch mathematician, Christian Huygens； Another important advance came in 1662 from a London draper called John Graunt. His great achievement was to show the regularities of the patterns of life and death in a group of people . He making a statistical analysis of the London Bills of Mortality. These to warn wealthy householders when the plague was increasing, so that they could leave London in time. The first person to demonstrate publicly how this could be done was Edmond Halley, the famous mathematician and astronomer, after whom the comet is named. Halley used the data in 1693 to construct his own life table, which was found to give a reasonably accurate picture of survival and became well known throughout Europe. 精算師 精算師 針對精算問題逐步形成的一種專門職業(yè)的從業(yè)人員，經(jīng)過金融保險監(jiān)管部門認(rèn)可其從業(yè)資格。資格認(rèn)定：北美和英國體系，資格考試分壽險精算師、非壽險精算師、投資與資產(chǎn)管理精算師、養(yǎng)老金精算師、咨詢精算師。 中國精算職業(yè)制度 我國保險法規(guī)定： “經(jīng)營人身保險業(yè)務(wù)的保險公司，必須聘用金融監(jiān)督管理部門認(rèn)可的精算專業(yè)人員，建立精算報告制度。 ” 1999年組織了中國首次精算師資格考試，有 43人獲中國精算師資格主要應(yīng)用于壽險業(yè)務(wù)，而非壽險業(yè)務(wù)。 2008年 5月 9日， 中國精算師協(xié)會 成立大會在北京召開， 大會由中國精算師協(xié)會副會長 萬峰 主持， 產(chǎn)生了 110名中國精算師、640名中國準(zhǔn)精算師。 。 精算師的職責(zé) 設(shè)計產(chǎn)品 起草保單 計算保費(fèi) 精算評估 與會計部門的員工合作準(zhǔn)備財務(wù)報表 參加公司的計劃和經(jīng)營規(guī)劃 壽險公司各部門之間是相互依賴的！掌握基本的精算原理將有助于每一位保險公司的員工更好地理解和完成好自己的工作。 本課程的目的在于幫助大家對有關(guān)的精算原理的理解和掌握，為了提高我們的學(xué)習(xí)效率，我們可能會涉及一些簡單的手工計算，希望各位主管積極配合！ 二、利息理論基礎(chǔ) 利息理論要點(diǎn) 利息的度量 利息問題求解的原則 年金 分期償還表與償債基金 漢英名詞對照 積累值 現(xiàn)實(shí)值 實(shí)質(zhì)利率 單利 復(fù)利 名義利率 貼現(xiàn)率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest 利息的定義 定義： 利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場合，它的實(shí)質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補(bǔ)償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。 影響利息大小的三要素： 本金 利率 時期長度 利息的度量 積累函數(shù) 金額函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù) 第 N期利息 )(ta)(tA)(1 ta 0 t 1- K- -1 )(1 ta)(ta)(tA)1()()( nAnAnI()In利息度量一 計息時刻不同 期末計息 利率 第 N期實(shí)質(zhì)利率 期初計息 貼現(xiàn)率 第 N期實(shí)質(zhì)貼現(xiàn)率 )1()( nAnIin)()(nAnIdn 例：實(shí)質(zhì)利率 /貼現(xiàn)率 某人存 1000元進(jìn)入銀行，第 1年末存款余額為 1020元，第 2年存款余額為 1050元，求 分別等于多少？ 2121 ddii 、答案 1211112222( 0 ) 1 0 0 0 , (1 ) 1 0 2 0 , ( 3 ) 1 0 5 0(1 ) ( 0 ) 2 0( 3 ) ( 2 ) 3 0202%( 0 ) 1 0 0 0201 . 9 6 %(1 ) 1 0 2 0302 . 9 4 %(1 ) 1 0 2 0302 . 8 6 %( 2 ) 1 0 5 0A A AI A AI A AIiAIdAIiAIdA Q利息度量二 積累方式不同 線形積累 單利 單貼現(xiàn) 指數(shù)積累 復(fù)利 復(fù)貼現(xiàn) iniiittan )1(11)(iiitant )1()(dndddttan )1(11)(1dddtant )1()(1單復(fù)利計息之間的相關(guān)關(guān)系 單利的實(shí)質(zhì)利率逐期遞減，復(fù)利的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。 單貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率逐期遞增，復(fù)貼現(xiàn)的實(shí)質(zhì)利率保持恒定。 時，相同單復(fù)利場合，單利計息比復(fù)利計息產(chǎn)生更大的積累值。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計息。 時，相同單復(fù)利場合，復(fù)利計息比單利計息產(chǎn)生更大的積累值。所以長期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計息。 1t1t例： 某人存 5000元進(jìn)入銀行，若銀行分別以 2%的單利計息、復(fù)利計息、單貼現(xiàn)計息、復(fù)貼現(xiàn)計息，問此人第 5年末分別能得到多少積累值？ 答案 5531%215000)5(%2)4(5556%2515000)5(%2)3(5520%)21(5000)5(%2)2(5500%)251(5000)5(%2)1(55）（復(fù)貼現(xiàn)計息單貼現(xiàn)計息復(fù)利計息單利計息AAAA利息問題求解原則 利息問題求解四要素 原始投資本金 投資時期長度 利率及計息方式 期初 /期末計息：利率 /貼現(xiàn)率 積累方式：單利計息、復(fù)利計息 本金在投資期末的積累值 利息問題求解原則 本質(zhì)：任何一個有關(guān)利息問題的求解本質(zhì)都是對四要素知三求一的問題 工具：現(xiàn)金流圖 方法：建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程） 原則：在任意時間參照點(diǎn)，求值方程等號兩邊現(xiàn)時值相等。 0 1t 2t nt現(xiàn)金流 時間坐標(biāo) 1p 2p np0p例：求本金 某人為了能在第 7年末得到 1萬元款項(xiàng)，他愿意在第一年末付出 1千元，第 3年末付出 4千元，第 8年末付出 X元，如果以 6%的年利率復(fù)利計息，問 X=？ 答案 以第 7年末為時間參照點(diǎn)，有 以第 8年末為時間參照點(diǎn)，有 以其他時刻為時間參照點(diǎn)（同學(xué)們自己練習(xí)） 千元7 4 3 5.31006.106.1406.1 46 xx千元7 4 3 5.306.11006.1406.1 57 xx年金 漢英名詞對照 年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 變額年金 遞增年金 遞減年金 Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity 年金的定義與分類 定義 按一定的時間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推廣到任意間隔長度的系列付款。 分類 基本年金 等時間間隔付款 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 每次付款金額恒定 一般年金 不滿足基本年金三個約束條件的年金即為一般年金 基本年金 基本年金 等時間間隔付款 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 每次付款金額恒定 分類 付款時刻不同：初付年金 /延付年金 付款期限不同：有限年金 /永久年金 基本年金圖示 0 1 2 3 - n n+1 n+2- 1 1 1 - 1 0 0- 1 1 1 - 1 0 0 0- 1 1 1 - 1 1 1- 1 1 1 - 1 1 1- 延付永久年金 初付永久年金 延付年金 初付年金基本年金公式推導(dǎo) 211(1 ) 1111 (1 )1 (1 ) (1 ) 11 (1 ) (1 )1 (1 )1 (1 )(1 ) (1 ) (1 )11l i m l i m11l i m l i mnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnv v va v v vviva v v i adiis i iiiis i i i sdvaaiivaadd L& LL& L& &例 有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎學(xué)金，假如每年發(fā)出 5萬元獎金，問在年實(shí)質(zhì)利率為 20%的情況下，該獎學(xué)金基金的本金至少為多少？ 0 . 255 2 50 . 2Pa 答案：基本年金公式總結(jié) 年金 有限年金 永久年金 現(xiàn)時值 積累值 現(xiàn)時值 延付 初付 ivann 1 iis nn1)1( dvann 1 dis nn1)1( ia 1da 1分期支付與償債基金 中英文單詞對照 分期償還方法 分期償還表 償債基金 償債基金表 Amortization method Amortization schedule Sinking fund Sinking fund schedule 債務(wù)償還方式 分期償還： 借款人在貸款期內(nèi)，按一定的時間間隔，分期償還貸款的本金和利息。 償債基金： 借款人每期向貸款人支付貸款利息，并且按期另存一筆款項(xiàng)，建立一個基金，在貸款期滿時這一基金恰好等于貸款本金，一次償付給貸款者。 分期償還 常見分期償還類型 等額分期償還 不等額分期償還 遞增分期償還 遞減分期償還 分期償還五要素 時期 每次還款額 每次償還利息 每次償還本金 未償還貸款余額 分期償還表（等額貸款為例） 時期 每次還款額 每次償還利息 每次償還本金 貸款余額 0 - - - 1 1 k 1 n 1 0 總計 n - nanv1 nv1na11 knv 1knvknav1 vnan na例 某借款人每月末還款一次，每次等額還款3171.52元，共分 15年還清貸款。每年計息12次的年名義利率為 5.04%。計算（ 1）第12次還款中本金部分和利息部分各為多少？（ 2）若此人在第 18次還款后一次性償還剩余貸款，問他需要一次性償還多少錢？前18次共償還了多少利息？ 例 1 8 0 1 2 1 1 6 9121 2 1 218 1 8 0 1 8 0 . 4 2 %0 1 8 0 1 8( 1 )3 1 7 1 . 5 2 1 . 0 0 4 2 1 5 6 1 . 8 91 6 0 9 . 6 3( 2 )3 7 2 1 7 2 . 9 71 8 ( ) 2 9 2 6 0 . 3 3P P vI P PB P aI P B B 償債基金 常見償債基金類型 等額償債基金 不等額償債基金 償債基金六要素 時期 每期償還利息 每次存入償債基金金額 每期償債基金所得利息 償債基金積累額 未償還貸款余額 償債基金表 （貸款利率 i， 償債基金利率 j， 貸款 1元） 時期 支付貸款利息 每期償債基金儲蓄 每期償債基金利息 償債基金積累值 未償還貸款余額 0 - - - - 1 1 0 2 K n 1 0 iii1 njsi1 j n jj s s11 j n jss1 njs1 njs1 j n jss2 j n jssk j n jss21 j n jss1n j n jj s s1k j n jj s s 1 k j n jss償債基金利息本金分析 對償債基金而言，第次付款的實(shí)際支付利息為： 第次付款的實(shí)際償還本金為： ( 1 ) 1kkjn j n js ji j iss (1 )knjjs例 A曾借款 1萬元 ,實(shí)質(zhì)利率為 10%.A積累一筆實(shí)質(zhì)利率為 8%的償債基金一償還這筆貸款 .在第 10年末償債基金余額為 5000元 ,在第 11年末 A支付總額為 1500元 ,問 1500中又多少是當(dāng)前支付給貸款的利息 ? 1500中有多少進(jìn)入償債基金 ? 1500中又多少應(yīng)被認(rèn)為是利息 ? 1500中有多少應(yīng)被視為本金 ? 第 11年末的償債基金余額為多少 ? 答案 59004005005000)5(9006001500)4(6004001000:11400%85000:11)3(50010001500)2(1000%101 0 0 0 0)1(11111011IPBB次付款純利息為所以第年積累利息為償債基金第三 、 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造 00.00020.00040.00060.00080.0010.00120 2 4 6 810 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34男( C L 1 )女( C L 2 )男( C L 3 )女( C L 4 )本章重點(diǎn) 生命表函數(shù) 生存函數(shù) 剩余壽命 死亡效力 生命表的構(gòu)造 有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型 生命表的起源 生命表的構(gòu)造 選擇與終極生命表 有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的三種假定 本章中英文單詞對照 死亡年齡 生命表 剩余壽命 整數(shù)剩余壽命 死亡效力 極限年齡 選擇與終極生命表 Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables 生命表函數(shù) 生存函數(shù) 定義 意義：新生兒能活到 歲的概率。 與分布函數(shù)的關(guān)系： 與密度函數(shù)的關(guān)系： 新生兒將在 x歲至 z歲之間死亡的概率： )P r ()( xXxS )(1)( xFxS )()( xSxf xP r ( ) ( ) ( )x X z s x s z 剩余壽命 定義：已經(jīng)活到 x歲的人（簡記 (x)）， 還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 分布函數(shù) ： P r ( ( ) ) ( )( ) ( )()txq T X t p r x X x t X xs x s x tsx txq剩余壽命 剩余壽命的生存函數(shù) ： 特別： txpP r ( ( ) ) P r ( )()()txp T x t X x t X ts x tsx 0 ()x p s x剩余壽命 ： x歲的人至少能活到 x+1歲的概率 ： x歲的人將在 1年內(nèi)去世的概率 ： X歲的人將在 x+t歲至 x+t+u歲之間去世的概率 xpxqxtuq1xxpp1xxqqx t u x t x t x t u xtu q q q p p 整值剩余壽命 定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記 概率函數(shù) ()x ()Kx( ) , ( ) 1 , 0 , 1 ,K X k k T x k k L11P r ( ( ) ) P r ( ( ) 1 )k x k x k x k xk x x k xkK X k k T x kq q p pp q q 剩余壽命的期望與方差 期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值 (均值 ),簡記 剩余壽命的方差 ()x00( ( ) ) ( 1 )o x t x t xe E T x t d p p d t oxe2220( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ) 2 ot x xV a r T x E T x E T x t p d t e 整值剩余壽命的期望與方差 期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值 ),簡記 整值剩余壽命的方差 ()x100( ( ) )x k x x k k xkke E K x k p q p xe2 2 210( ( ) ) ( ) ( ) ( 2 1 ) k x xkV a r K x E K E K k p e 生命表的構(gòu)造 有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型 De Moivre模型 (1729) Gompertze模型 (1825) 1( ) 1 , 0x xxs x x ( ) e x p ( 1 ) / l n , B 0 , c 1 , 0xxxBcs x B c c x 有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型 Makeham模型 (1860) Weibull模型 (1939) ( ) e x p ( 1 ) / l n , B 0 , A - B , c 1 , 0xxxA B cs x A x B c c x 1( ) e x p / ( 1 ) , 0 , 0 , 0nxnkxs x k x n k n x 參數(shù)模型的問題 至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差 壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。 生命表起源 生命表的定義 根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表 . 生命表的發(fā)展歷史 1662年 ,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單 ,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。 1693年， Edmund Halley, 根據(jù) Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把 Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 生命表的特點(diǎn) 構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法） 生命表的構(gòu)造 原理 在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率） 常用符號 新生生命組個體數(shù)： 年齡： 極限年齡： x0l生命表的構(gòu)造 個新生生命能生存到年齡 X的期望個數(shù)： 個新生生命中在年齡 x與 x+n之間死亡的期望個數(shù)： 特別： n=1時，記作 0lnxdxd1n x x x n x n xx x x x xd l l l qd l l l q xl0 ()xl l s x0l生命表的構(gòu)造 個新生生命在年齡 x至 x+t區(qū)間共存活年數(shù)： 個新生生命中能活到年齡 x的個體的剩余壽命總數(shù)： txx yxt dylLxyxoxxxT l dyTel0l0ltxLxT生命表實(shí)例（美國全體人口生命表） 年齡區(qū)間 死亡比例 期初生存數(shù) 期間死亡數(shù) 在年齡區(qū)間共存活年數(shù) 剩余壽命總數(shù) 期初存活者平均剩余壽命 天 0-1 .00463 100000 463 273 7387758 73.88 1-7 .00246 99537 245 1635 7387485 74.22 7-28 .00139 99292 138 5708 7385850 74.38 年 0-1 .01260 10000 1260 98973 7387758 73.88 1-2 .00093 98740 92 98694 7288785 73.82 2-3 .00065 98648 64 98617 7190091 72.89 txx xtqxtd xtL xT xexl例 已知 計算下面各值： （ 1） （ 2） 20歲的人在 5055歲死亡的概率。 （ 3）該人群平均壽命。 )1 0 01(1 0 0 0 0 xl x 30103030302030 , qqpd答案 1000000020555020530304140301030603030303050302031303050)1001( 316/1 270/1 7/3 7/5 1001dxxlTlllqlllqlllqllpllde、四 、 人壽保險躉繳純保費(fèi)的厘定 人壽保險躉繳純保費(fèi)厘定原理 死亡即刻賠付保險躉繳純保費(fèi)的厘定 死亡年末賠付保險躉繳純保費(fèi)的厘定 中英文單詞對照一 躉繳純保費(fèi) 精算現(xiàn)時值 死亡即刻賠付保險 死亡年末給付保險 定額受益保險 Net single premium Actuarial present value Insurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year of death Level benefit insurance 中英文單詞對照二 定期人壽保險 終身人壽保險 兩全保險 生存保險 延期保險 變額受益保險 Term life insurance Whole life insurance Endowment insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance 人壽保險 躉繳純保費(fèi)厘定的原理 人壽保險簡介 什么是人壽保險 狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標(biāo)的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標(biāo)的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)底的生存保險和兩全保險。 人壽保險的分類 受益金額是否恒定 定額受益保險 變額受益保險 保單簽約日和保障期期始日是否同時進(jìn)行 非延期保險 延期保險 保障標(biāo)的的不同 人壽保險（狹義） 生存保險 兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險 人壽保險的性質(zhì) 保障的長期性 這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。 保險賠付金額和賠付時間的不確定性 人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機(jī)變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機(jī)變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。 被保障人群的大數(shù)性 這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險。 躉繳純保費(fèi)的厘定 假定條件 : 假定一：同性別 、 同年齡 、 同時參保的被保險人的剩余壽命是獨(dú)立同分布的 。 假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗(yàn)生命表進(jìn)行擬合 。 假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益（ 即預(yù)定利率 ） 。 純保費(fèi)厘定原理 原則 保費(fèi)凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費(fèi)收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實(shí)質(zhì)是 在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費(fèi)期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 基本符號 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值 )(x xtbtvtzttt vbz 躉繳純保費(fèi)的厘定 躉繳純保費(fèi)的定義 在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)時值 躉繳純保費(fèi)的厘定 按照凈均衡原則，躉繳純保費(fèi)就等于 ()tEz死亡即刻賠付 躉繳純保費(fèi)的厘定 死亡即刻賠付 死亡即刻賠付的含義 死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實(shí)際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。 主要險種的躉繳純保費(fèi)的厘定 n年期定期壽險 終身壽險 延期 m年的終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期 m年的 n年期的兩全保險 遞增終身壽險 遞減 n年定期壽險 1、 n年定期壽險 定義 保險人只對被保險人在投保后的 n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為 n年死亡保險。 假定： 歲的人，保額 1元 n年定期壽險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t nz b vtnb t ntn 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定： 1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtn ttxxtn tTnttnx 0001: )()(2、終身壽險 定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額 1元終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, 0 , 01 , 0 tttt t ttv v t z b v v tbt 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定： xA000( ) ( )x t t Tttt x x t t x x tA E z z f t d tv p d t e p d t 3、 延期終身壽險 定義 保險人對被保險人在投保 m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額 1元，延期 m年的終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , tt tt t ttv v tv t mz b vtmb t mtm 死亡即付定期壽險躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定： xm A001:( ) ( )( ) ( )mx t t Tmmt T t Tx x mA E z z f t d tz f t d t z f t d tAA4、 n 年定期生存保險 定義 被保險人投保后生存至 n年期滿時，保險人在第 n年末支付保險金的保險。 假定： 歲的人，保額 1元， n年定期生存保險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, 0, 1 , 0 , 0 , nt nt t ttv v tv t nz b vtnb t ntn 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 躉繳純保費(fèi)厘定 現(xiàn)值隨機(jī)變量的方差： 1:xnA1: () nnxnt n x n xA E z v p e p 222 1 1 2:( ) ( )()nnt n x n xx n x nV a r z v p v pAA 5、 n年定期兩全保險 定義 被保險人投保后如果在 n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至 n年期滿，保險人在第 n年末支付保險金的保險。它等價于 n年生存保險加上 n年定期壽險的組合。 假定： 歲的人，保額 1元， n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, , , , 1 , 0ttt nt t t ntv t nv v t nz b vv t nv t nbt 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定 記： n年定期壽險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機(jī)變量為 已知 則 :xnA1z2z3z3 1 2z z z11: : :3 1 2( ) ( ) ( ) x n x n x nE z E z E z A A A 6、 延期 m年 n年定期兩全保險 定義 被保險人在投保后的前 m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第 m+1年開始為期 n年的定期兩全保險 假定： 歲的人，保額 1元，延期 m年的 n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系 )(x, 0 , , , m0 , , 1 , tt mntt t tmntv t m ntmvv t m nz b v v t m ntmv t m nbtm 躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定 :m x nA1:11:m x n x mx m nm x nmxnA A AAA7、遞增終身壽險 定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù) 特別： 一年遞增一次 一年遞增 m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增） 一年遞增一次 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 1 ttz t v01 1( ) ( ) 1 tx t t x x tktt x x tk kI A E z t v p d tk v p d t 一年遞增 m次 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 ()011 1 1 ( ) ( )mtx t t x x tm k smmtt x x tks m k smmtI A E z v p d tmm k sv p d tm 1 ttmtzvm一年遞增無窮次（連續(xù)遞增） 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 ttz tv0( ) ( ) tx t t x x tI A E z t v p d t 8、遞減定期壽險 定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù) 特別： 一年遞增一次 一年遞增 m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增） 一年遞減一次 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 ,0,ttn t v t nztn 1 :01 1( ) ( )( 1 )tt t x x txnkntt x x tk kD A E z n t v p d tn k v p d t 一年遞減 m次 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 ,0,tttmn v t nz mtn ( ) 1:011 1( ) ( )1nmtt t x x txnm k smnmtt x x tks m k smmtD A E z n v p d tmsn v p d tm 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減） 現(xiàn)值隨機(jī)變量 躉繳保費(fèi)厘定 ( ) ,0,ttn t v t nztn 1:0( ) ( ) ( )ntt t x x txnD A E z n t v p d t 死亡年末賠付 躉繳純保費(fèi)的厘定 死亡年末賠付 死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。 由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機(jī)變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費(fèi)時通常先假定的理賠方式。 基本符號 歲投保的人整值剩余壽命 保險金在死亡年末給付函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險賠付金在簽單時的現(xiàn)時值。 躉繳純保費(fèi)。 kxK )(kbkvkzk k kz b v()kEzx定期壽險死亡年末賠付場合 基本函數(shù)關(guān)系 記 k為被保險人整值剩余壽命，則 11, 0 , 1 , , 11 , 0 , 1 , , 10 , , 0 , 1 , , 10 , kkkkk k kv v k nknbknv k nz b vkn LLL躉繳純保費(fèi)的厘定 符號： 厘定： 11:011:0()nkk k x x kxnknkx x kxnkA E z v p ql A v d 1:xnA死亡年末給付躉繳純保費(fèi)公式歸納 終身壽險 延期 m年的 n年定期壽險 延期 m年的終身壽險 n年期兩全保險 延期 m年的 n年期兩全保險 遞增終身壽險 遞減 n年定期壽險 11: xx n x n nA A A1 :xxm xmA A A1 1 1: : :xxm m mx n x n n m x m nA A A A A 1 1 1: : :m x n x m n x mA A A1 11 :10() kx k x x k j xjkjI A k v p q A 1111:( ) ( 1 )nnkk x x kx n x n jD A n k v p q A kxxkk kx qpvA 01死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系 （剩余壽命在分?jǐn)?shù)時期均勻分布假定） 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分?jǐn)?shù)生存壽命： 則有 ( ) ( ) 1 ( ) 1( ) ( ) ( )T x K x S xT x K x S xv v v 11110( ) ( ) ( )T K Ssx x xE v E v E viA A v d s A 死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費(fèi)之間的關(guān)系 (UDD) 在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費(fèi)是死亡年末賠付凈躉繳純保費(fèi)的 倍。 條件 1： 條件 2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 i, l nttv v v tb * 1tKbb五、生存年金 生存年金簡介 與生存相聯(lián)的一次性支付 離散生存年金 年 h次支付生存年金 等額年金的計算基數(shù)公式 中英文單詞對照 生存年金 初付年金 延付年金 確定性年金 當(dāng)期支付技巧 綜合支付技巧 Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique 生存年金簡介 生存年金 生存年金的定義： 以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型 分類 初付年金 /延付年金 連續(xù)年金 /離散年金 定期年金 /終身年金 非延期年金 /延期年金 生存年金與確定性年金的關(guān)系 確定性年金 支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金） 生存年金與確定性年金的聯(lián)系 都是間隔一段時間支付一次的系列付款 生存年金與確定性年金的區(qū)別 確定性年金的支付期數(shù)確定 生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險人生存為條件） 生存年金的用途 被保險人保費(fèi)交付常使用生存年金的方式 某些場合保險人保險理賠的保險金采用生