第九節(jié) 一 二元函數(shù)泰勒公式 二 極值充分條件的證明 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 二元函數(shù)的泰勒公式 第八章 一 二元函數(shù)的泰勒公式 一元函數(shù) 的泰勒公式 推廣 多元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 記號(hào) 設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 一般地 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 表示 表示 定理1 的某一鄰域內(nèi)有直 到n 1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 為此鄰域內(nèi)任 一點(diǎn) 則有 其中 稱為f在點(diǎn) x0 y0 的n階泰勒公式 稱為其拉格 朗日型余項(xiàng) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 證 令 則 利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 一般地 由 的麥克勞林公式 得 將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 說明 1 余項(xiàng)估計(jì)式 因f的各n 1階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 在某閉 鄰域其絕對(duì)值必有上界M 則有 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 當(dāng)n 0時(shí) 得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式 3 若函數(shù) 在區(qū)域D上的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù) 恒為零 由中值公式可知在該區(qū)域上 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 求函數(shù) 解 的三階泰 勒公式 因此 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 其中 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 時(shí) 具有極值 二 極值充分條件的證明 的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 且 令 則 1 當(dāng) A 0時(shí)取極大值 A 0時(shí)取極小值 2 當(dāng) 3 當(dāng) 時(shí) 沒有極值 時(shí) 不能確定 需另行討論 若函數(shù) 定理2 充分條件 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 證 由二元函數(shù)的泰勒公式 并注意 則有 所以 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 其中 是當(dāng)h 0 k 0時(shí)的無窮小量 于是 1 當(dāng)AC B2 0時(shí) 必有A 0 且A與C同號(hào) 可見 從而 z 0 因此 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 從而 z 0 2 當(dāng)AC B2 0時(shí) 若A C不全為零 無妨設(shè)A 0 則 時(shí) 有 異號(hào) 同號(hào) 可見 z在 x0 y0 鄰近有正有負(fù) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 若A C 0 則必有B 0 不妨設(shè)B 0 此時(shí) 可見 z在 x0 y0 鄰近有正有負(fù) 3 當(dāng)AC B2 0時(shí) 若A 0 則 若A 0 則B 0 為零或非零 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 此時(shí) 因